山东省滨州市2019年中考数学真题试题（A卷，含解析）

2019年山东省滨州市中考数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共 12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。每小题涂对得 3分，满分 36 分。 1．（3分）下列各数中，负数是（　　） A．﹣（﹣2） B．﹣|﹣2| C．（﹣2）2 D．（﹣2）0 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x6 C．x3÷x2＝x D．（2×2）3＝6×6 3．（3分）如图，AB∥CD，∠FGB＝154°，FG 平分∠EFD，则∠AEF 的度数等于（　　） A．26° B．52° C．54° D．77° 4．（3分）如图，一个几何体由 5个大小相同、棱长为 1的小正方体搭成，下列说法正确的是（　　） A．主视图的面积为 4 C．俯视图的面积为 3 B．左视图的面积为 4 D．三种视图的面积都是 4 5．（3分）在平面直角坐标系中，将点 A（1，﹣2）向上平移 3个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 B，则点 B 的坐标是（　　） A．（﹣1，1） B．（3，1） C．（4，﹣4） D．（4，0） 6．（3分）如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD 的大小为（　　） 1A．60° B．50° C．40° D．20° 7．（3分）若 8xmy 与 6x3yn 的和是单项式，则（m+n）3的平方根为（　　） A．4 8．（3分）用配方法解一元二次方程 x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3 B．8 C．±4 D．±8 9．（3分）已知点 P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则 a 的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． C． B． D． 10．（3分）满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为（　　） A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5 D．|cosA﹣ |+（tanB﹣ C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 ）2＝0 11．（3分）如图，在△OAB 和△OCD 中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM 平分∠ BOC；④MO 平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过对角线 OB 的中点 D 和顶点 C．若菱形 OABC 的面积为 12，则 k 的值为（　　） 2A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题：本大题共 8个小题，每小题 5分，满分 40分。 13．（5分）计算：（﹣ ）﹣2﹣| ﹣2|+ ÷ ＝　． 14．（5分）方程 +1＝的解是　． 15．（5分）若一组数据 4，x，5，y，7，9的平均数为 6，众数为 5，则这组数据的方差为　． 16．（5分）在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A（﹣2，4），B（﹣4，0）， O（0，0）．以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点 A 的对应点 C 的坐标是　． 17．（5分）若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为　． 18．（5分）如图，直线 y＝kx+b（k＜0）经过点 A（3，1），当 kx+b＜ x 时，x 的取值范围为　． 19．（5分）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，交 BD 于点 F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接 OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC： BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有　（填写所有正确结论的序号） 20．（5分）观察下列一组数： a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…， 3它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第 n 个数 an＝　　（用含 n 的式子表示）三、解答题：本大题共 6个小题，满分 74分。解答时请写出必要的演推过程。 21．（10 分）先化简，再求值：（ ﹣）÷ ，其中 x 是不等式组的整数解． 22．（12分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与 3辆乙种客车的总载客量为 180人，1辆甲种客车与 2辆乙种客车的总载客量为 105人．（1）请问 1辆甲种客车与 1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织 240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共 6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为 400元，每辆乙种客车的租金为 280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用． 23．（12分）某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．请根据图中信息，解决下列问题：（1）两个班共有女生多少人？（2）将频数分布直方图补充完整；（3）求扇形统计图中 E 部分所对应的扇形圆心角度数；（4）身高在 170≤x＜175（cm）的 5人中，甲班有 3人，乙班有 2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率． 24．（13分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将△BCE 沿 BE 折叠，点 C 落在 AD 边上的点 F 处，过点 F 作 FG∥CD 交 BE 于点 G，连接 CG．（1）求证：四边形 CEFG 是菱形； 4（2）若 AB＝6，AD＝10，求四边形 CEFG 的面积． 25．（13分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F．（1）求证：直线 DF 是⊙O 的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O 的半径为 4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积． 26．（14分）如图①，抛物线 y＝﹣ x2+ x+4与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，C，将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°，所得直线与 x 轴交于点 D．（1）求直线 AD 的函数解析式；（2）如图②，若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点 P 到直线 AD 的距离最大时，求点 P 的坐标和最大距离； ②当点 P 到直线 AD 的距离为时，求 sin∠PAD 的值． 52019年山东省滨州市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。每小题涂对得 3分，满分 36 分。 1．（3分）下列各数中，负数是（　　） A．﹣（﹣2） B．﹣|﹣2| C．（﹣2）2 D．（﹣2）0 【分析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质、相反数的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、﹣（﹣2）＝2，故此选项错误； B、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项正确； C、（﹣2）2＝4，故此选项错误； D、（﹣2）0＝1，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了绝对值以及零指数幂的性质、相反数的性质，正确化简各数是解题关键． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x6 C．x3÷x2＝x D．（2×2）3＝6×6 【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的除法运算法则和积的乘方运算法则等知识分别化简得出即可．【解答】解：A、x2+x3不能合并，错误； B、x2•x3＝x5，错误； C、x3÷x2＝x，正确； D、（2×2）3＝8×6，错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及同底数幂的除法运算法则和积的乘方运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键． 3．（3分）如图，AB∥CD，∠FGB＝154°，FG 平分∠EFD，则∠AEF 的度数等于（　　） 6A．26° B．52° C．54° D．77° 【分析】先根据平行线的性质，得到∠GFD 的度数，再根据角平分线的定义求出∠EFD 的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠FGB+∠GFD＝180°， ∴∠GFD＝180°﹣∠FGB＝26°， ∵FG 平分∠EFD， ∴∠EFD＝2∠GFD＝52°， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD＝52°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 4．（3分）如图，一个几何体由 5个大小相同、棱长为 1的小正方体搭成，下列说法正确的是（　　） A．主视图的面积为 4 B．左视图的面积为 4 C．俯视图的面积为 3 D．三种视图的面积都是 4 【分析】根据该几何体的三视图可逐一判断．【解答】解：A．主视图的面积为 4，此选项正确； B．左视图的面积为 3，此选项错误； C．俯视图的面积为 4，此选项错误； D．由以上选项知此选项错误；故选：A． 7【点评】本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法及比较，关键是掌握三视图的画法． 5．（3分）在平面直角坐标系中，将点 A（1，﹣2）向上平移 3个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 B，则点 B 的坐标是（　　） A．（﹣1，1） B．（3，1） C．（4，﹣4） D．（4，0）【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．【解答】解：∵将点 A（1，﹣2）向上平移 3个单位长度，再向左平移 2个单位长度，得到点 B， ∴点 B 的横坐标为 1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1， ∴B 的坐标为（﹣1，1）．故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 6．（3分）如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD 的大小为（　　） A．60° B．50° C．40° D．20° 【分析】连接 AD，先根据圆周角定理得出∠A 及∠ADB 的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接 AD， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°． ∵∠BCD＝40°， 8∴∠A＝∠BCD＝40°， ∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键． 7．（3分）若 8xmy 与 6x3yn 的和是单项式，则（m+n）3的平方根为（　　） A．4 B．8 C．±4 D．±8 【分析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得 m、n 的值，再代入计算可得答案．【解答】解：由 8xmy 与 6x3yn 的和是单项式，得 m＝3，n＝1．（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8．故选：D．【点评】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 8．（3分）用配方法解一元二次方程 x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3 【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 9．（3分）已知点 P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则 a 的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． C． B． D．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于 a 的不等式组进而求出答案． 9【解答】解：∵点 P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限， ∴点 P（a﹣3，2﹣a）在第二象限， ∴，解得：a＜2．则 a 的取值范围在数轴上表示正确的是：故选：C．．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解不等式组，正确掌握不等式组的解法是解题关键． 10．（3分）满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为（　　） A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5 D．|cosA﹣ |+（tanB﹣ C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 ）2＝0 【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】解：A、∵ ，∴△ABC 是直角三角形，错误； B、∵（3x）2+（4x）2＝9×2+16×2＝25×2＝（5x）2，∴△ABC 是直角三角形，错误； C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，∴△ABC 不是直角三角形，正确； 2D、∵|cosA﹣ |+（tanB﹣ ）＝0，∴ ，∴∠A＝60°，∠B＝30 °，∴∠C＝90°，∴△ABC 是直角三角形，错误；故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键． 11．（3分）如图，在△OAB 和△OCD 中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM 平分∠ BOC；④MO 平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） 10 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由 SAS 证明△AOC≌△BOD 得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+ ∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作 OG⊥MC 于 G，OH⊥MB 于 H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由 AAS 证明△OCG≌△ ODH（AAS），得出 OG＝OH，由角平分线的判定方法得出 MO 平分∠BMC，④正确；即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC 和△BOD 中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； ∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作 OG⊥MC 于 G，OH⊥MB 于 H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG 和△ODH 中，，∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO 平分∠BMC，④正确；正确的个数有 3个；故选：B． 11 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过对角线 OB 的中点 D 和顶点 C．若菱形 OABC 的面积为 12，则 k 的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据题意，可以设出点 C 和点 A 的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得 k 的值，本题得以解决．【解答】解：设点 A 的坐标为（a，0），点 C 的坐标为（c，），则∴，点 D 的坐标为（），，解得，k＝4，故选：C．【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题：本大题共 8个小题，每小题 5分，满分 40分。 13．（5分）计算：（﹣ ）﹣2﹣| ﹣2|+ ÷ ＝　2+4 　． 12 【分析】根据二次根式的混合计算解答即可．【解答】解：原式＝故答案为：2+4 【点评】此题考查二次根式的混合计算，关键是根据二次根式的混合计算解答． 14．（5分）方程 +1＝的解是　x＝1　．，．【分析】公分母为（x﹣2），去分母转化为整式方程求解，结果要检验．【解答】解：去分母，得 x﹣3+x﹣2＝﹣3，移项、合并，得 2x＝2，解得 x＝1，检验：当 x＝1时，x﹣2≠0，所以，原方程的解为 x＝1，故答案为：x＝1．【点评】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根． 15．（5分）若一组数据 4，x，5，y，7，9的平均数为 6，众数为 5，则这组数据的方差为　　．【分析】根据众数的定义先判断出 x，y 中至少有一个是 5，再根据平均数的计算公式求出 x+y＝11，然后代入方差公式即可得出答案．【解答】解：∵一组数据 4，x，5，y，7，9的平均数为 6，众数为 5， ∴x，y 中至少有一个是 5， ∵一组数据 4，x，5，y，7，9的平均数为 6， ∴（4+x+5+y+7+9）＝6， ∴x+y＝11， ∴x，y 中一个是 5，另一个是 6， ∴这组数据的方差为 [（4﹣6）2+2（5﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（9﹣6）2]＝；故答案为：．【点评】此题考查了众数、平均数和方差，一般地设 n 个数据，x1，x2，…xn 的平均数为 13 ，则方差 S2＝ [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]；解答本题的关键是掌握各个知识点的概念． 16．（5分）在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A（﹣2，4），B（﹣4，0）， O（0，0）．以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点 A 的对应点 C 的坐标是　（﹣1，2）或（1，﹣2）　．【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．【解答】解：以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A 的坐标为（﹣ 2，4）， ∴点 C 的坐标为（﹣2× ，4× ）或（2× ，﹣4× ），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或﹣k． 17．（5分）若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为　　．【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质和三角函数求解即可．【解答】解：如图，连接 OA、OB，作 OG⊥AB 于 G；则 OG＝2， ∵六边形 ABCDEF 正六边形， ∴△OAB 是等边三角形， ∴∠OAB＝60°， ∴OA＝＝＝，∴正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为故答案为：．．14 【点评】本题考查了正六边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB 是等边三角形是解决问题的关键． 18．（5分）如图，直线 y＝kx+b（k＜0）经过点 A（3，1），当 kx+b＜ x 时，x 的取值范围为　x＞3　．【分析】根据直线 y＝kx+b（k＜0）经过点 A（3，1），正比例函数 y＝ x 也经过点 A 从而确定不等式的解集．【解答】解：∵正比例函数 y＝ x 也经过点 A， ∴kx+b＜ x 的解集为 x＞3，故答案为：x＞3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y＝ax+b 的值大于（或小于）0的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 y＝kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题的关键． 19．（5分）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，交 BD 于点 F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接 OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC： BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有　①③④　（填写所有正确结论的序号）【分析】①正确．只要证明 EC＝EA＝BC，推出∠ACB＝90°，再利用三角形中位线定理即可判断． 15 ②错误．想办法证明 BF＝2OF，推出 S△BOC＝3S△OCF 即可判断． ③正确．设 BC＝BE＝EC＝a，求出 AC，BD 即可判断． ④正确．求出 BF，OF，DF（用 a 表示），通过计算证明即可．【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD∥AB，OD＝OB，OA＝OC， ∴∠DCB+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠DCB＝120°， ∵EC 平分∠DCB， ∴∠ECB＝ ∠DCB＝60°， ∴∠EBC＝∠BCE＝∠CEB＝60°， ∴△ECB 是等边三角形， ∴EB＝BC， ∵AB＝2BC， ∴EA＝EB＝EC， ∴∠ACB＝90°， ∵OA＝OC，EA＝EB， ∴OE∥BC， ∴∠AOE＝∠ACB＝90°， ∴EO⊥AC，故①正确， ∵OE∥BC， ∴△OEF∽△BCF， ∴＝＝， ∴OF＝ OB， ∴S△AOD＝S△BOC＝3S△OCF，故②错误，设 BC＝BE＝EC＝a，则 AB＝2a，AC＝ a，OD＝OB＝＝a， ∴BD＝ a， ∴AC：BD＝ a： a＝：7，故③正确， 16 ∵OF＝ OB＝ ∴BF＝ a， ∴BF2＝ a2，OF•DF＝ a， a（• a+ a）＝ a2， ∴BF2＝OF•DF，故④正确，故答案为①③④．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于填空题中的压轴题． 20．（5分）观察下列一组数： a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第 n 个数 an＝　　（用含 n 的式子表示）【分析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为 2n+1；观察分子的，1，3，6， 10，15，…，可知规律为，即可求解；【解答】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为 2n+1，观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，∴an＝＝；故答案为；【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．三、解答题：本大题共 6个小题，满分 74分。解答时请写出必要的演推过程。 21．（10 分）先化简，再求值：（ ﹣）÷ ，其中 x 是不等式组 17 的整数解．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出 x 的整数解，由分式有意义的条件确定最终符合分式的 x 的值，代入计算可得．【解答】解：原式＝[ ﹣]• ＝＝•，解不等式组得 1≤x＜3，则不等式组的整数解为 1、2，又 x≠±1且 x≠0， ∴x＝2， ∴原式＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力． 22．（12分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与 3辆乙种客车的总载客量为 180人，1辆甲种客车与 2辆乙种客车的总载客量为 105人．（1）请问 1辆甲种客车与 1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织 240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共 6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为 400元，每辆乙种客车的租金为 280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．【分析】（1）可设辆甲种客车与 1辆乙种客车的载客量分别为 x 人，y 人，根据等量关系 2辆甲种客车与 3辆乙种客车的总载客量为 180人，1辆甲种客车与 2辆乙种客车的总载客量为 105人，列出方程组求解即可；（2）根据题意列出不等式组，进而求解即可．【解答】解：（1）设辆甲种客车与 1辆乙种客车的载客量分别为 x 人，y 人，，18 解得：，答：1辆甲种客车与 1辆乙种客车的载客量分别为 45人和 30人；（2）设租用甲种客车 x 辆，依题意有：，解得：6＞x≥4，因为 x 取整数，所以 x＝4或 5，当 x＝4时，租车费用最低，为 4×400+2×280＝2160．【点评】本题考查一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系． 23．（12分）某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．请根据图中信息，解决下列问题：（1）两个班共有女生多少人？（2）将频数分布直方图补充完整；（3）求扇形统计图中 E 部分所对应的扇形圆心角度数；（4）身高在 170≤x＜175（cm）的 5人中，甲班有 3人，乙班有 2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．【分析】（1）根据 D 部分学生人数除以它所占的百分比求得总人数，（2）用总人数乘以 C、E 所占的百分比求得 C、E 部分人数，从而补全条形图；（3）用 360°乘以 E 部分所占百分比即可求解；（4）利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）总人数为 13÷26%＝50人，答：两个班共有女生 50人； 19 （2）C 部分对应的人数为 50×28%＝14人，E 部分所对应的人数为 50﹣2﹣6﹣13﹣14﹣5 ＝10；频数分布直方图补充如下：（3）扇形统计图中 E 部分所对应的扇形圆心角度数为 ×360°＝72°；（4）画树状图：共有 20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占 8种，所以这两人来自同一班级的概率是＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图． 24．（13分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将△BCE 沿 BE 折叠，点 C 落在 AD 边上的点 F 处，过点 F 作 FG∥CD 交 BE 于点 G，连接 CG．（1）求证：四边形 CEFG 是菱形；（2）若 AB＝6，AD＝10，求四边形 CEFG 的面积． 20 【分析】（1）根据题意和翻着的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；（2）根据题意和勾股定理，可以求得 AF 的长，进而求得 EF 和 DF 的值，从而可以得到四边形 CEFG 的面积．【解答】（1）证明：由题意可得， △BCE≌△BFE， ∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE， ∵FG∥CE， ∴∠FGE＝∠CEB， ∴∠FGE＝∠FEG， ∴FG＝FE， ∴FG＝EC， ∴四边形 CEFG 是平行四边形，又∵CE＝FE， ∴四边形 CEFG 是菱形；（2）∵矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF， ∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10， ∴AF＝8， ∴DF＝2，设 EF＝x，则 CE＝x，DE＝6﹣x， ∵FDE＝90°， ∴22+（6﹣x）2＝x2，解得，x＝ ∴CE＝，，∴四边形 CEFG 的面积是：CE•DF＝ ×2＝．【点评】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 25．（13分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F． 21 （1）求证：直线 DF 是⊙O 的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O 的半径为 4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．【分析】（1）如图所示，连接 OD，证明∠CDF+∠ODB＝90°，即可求解；（2）证明△CFD∽△CDA，则 CD2＝CF•AC，即 BC2＝4CF•AC；（3）S 阴影部分＝S 扇形 OAE﹣S△OAE 即可求解．【解答】解：（1）如图所示，连接 OD， ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而 OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C， ∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°， ∴∠ODF＝90°， ∴直线 DF 是⊙O 的切线；（2）连接 AD，则 AD⊥BC，则 AB＝AC，则 DB＝DC＝，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA， ∴CD2＝CF•AC，即 BC2＝4CF•AC；（3）连接 OE， ∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA， ∴∠AOE＝120°， 22 S△OAE ＝AE×OEsin∠OEA＝ ×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝4 ×π×42﹣4 S 扇形 OAE﹣S△OAE ﹣4 ．，S 阴影部分＝＝＝【点评】本题为圆的综合题，涉及到解直角三角形、三角形相似、等腰三角形的性质等，难度不大． 26．（14分）如图①，抛物线 y＝﹣ x2+ x+4与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，C，将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°，所得直线与 x 轴交于点 D．（1）求直线 AD 的函数解析式；（2）如图②，若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点 P 到直线 AD 的距离最大时，求点 P 的坐标和最大距离； ②当点 P 到直线 AD 的距离为时，求 sin∠PAD 的值．【分析】（1）根据抛物线 y＝﹣ x2+ x+4与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，C，可以求得点 A、B、C 的坐标，再根据将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°，所得直线与 x 轴交于点 D，可以求得点 D 的坐标．从而可以求得直线 AD 的函数解析式；（2）①根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点 P 到直线 AD 的距离最大值，进而可以得到点 P 的坐标； ②根据①中关系式和题意，可以求得点 P 对应的坐标，从而可以求得 sin∠PAD 的值．【解答】解：（1）当 x＝0时，y＝4，则点 A 的坐标为（0，4），当 y＝0时，0＝﹣ x2+ x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点 B 的坐标为（﹣4，0），点 C 的坐标为（8，0）， ∴OA＝OB＝4， ∴∠OBA＝∠OAB＝45°， ∵将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到直线 AD， 23 ∴∠BAD＝90°， ∴OAD＝45°， ∴∠ODA＝45°， ∴OA＝OD， ∴点 D 的坐标为（4，0），设直线 AD 的函数解析式为 y＝kx+b，，得，即直线 AD 的函数解析式为 y＝﹣x+4；（2）作 PN⊥x 轴交直线 AD 于点 N，如右图①所示，设点 P 的坐标为（t，﹣ t2+ t+4），则点 N 的坐标为（t，﹣t+4）， ∴PN＝（﹣ t2+ t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣ t2+ t， ∴PN⊥x 轴， ∴PN∥y 轴， ∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作 PH⊥AD 于点 H，则∠PHN＝90°， ∴PH＝ ∴当 t＝6时，PH 取得最大值即当点 P 到直线 AD 的距离最大时，点 P 的坐标是（6，），最大距离是 ②当点 P 到直线 AD 的距离为时，如右图②所示， t＝解得，t1＝2，t2＝10，＝（﹣ t2+ t）＝ t＝﹣ （t﹣6）2+ ，，此时点 P 的坐标为（6，），；则，则 P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，﹣ ），当 P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P1AD＝＝；24 当 P2的坐标为（10，﹣ ），则P2A＝＝，∴sin∠P2AD＝＝；由上可得，sin∠PAD 的值是或．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 25 26