2016年辽宁省朝阳市中考数学试卷（含解析版）

2016年辽宁省朝阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的． 1．（3分）在下列实数中，﹣3，，0，2，﹣1中，绝对值最小的数是（　　）A．﹣3 B．0 C． D．﹣1 2．（3分）“互联网+”已全面进入人们的日常生活，据有关部门统计，目前全国4G用户数达到4.62亿，其中4.62亿用科学记数法表示为（　　） A．4.62×104 B．4.62×106 C．4.62×108 D．0.462×108 3．（3分）如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）方程2×2=3x的解为（　　） A．0 B． C． D．0， 5．（3分）如图，已知a∥b，∠1=50°，∠2=90°，则∠3的度数为（　　） A．40° B．50° C．150° D．140° 6．（3分）若一组数据2，3，4，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能的是（　　） A．6 B．3.5 C．2.5 D．1 7．（3分）如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（　　）第1页（共33页） A． B．3π C． D．2π 8．（3分）如图，直线y=mx（m≠0）与双曲线y= 相交于A（﹣1，3）、 B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．1.5 C．4.5 D．6 9．（3分）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF ，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：（1）b2﹣4ac＞0；（2）2a=b；（3）点（﹣ ，y1）、（﹣ ，y2）、（，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2 ＜y3；（4）3b+2c＜0；（5）t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）．其中正确结论的个数是（　　）第2页（共33页） A．2 B．3 C．4 D．5 　二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分．11．（3分）函数y= 的自变量x的取值范围是　　． 12．（3分）已知在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）、B（﹣2，﹣4）、C （﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，则点B的对应点的坐标为　　． 13．（3分）若方程（x﹣m）（x﹣n）=3（m，n为常数，且m＜n）的两实数根分别为a，b（a＜b），则m，n，a，b的大小关系是　　． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA=8，CF =4，则点E的坐标是　　． 15．（3分）通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1= ，x2= ，于是：x1+x2= ，x1•x2= 、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+ k+1=0的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=1，则k的值为　　．第3页（共33页） 16．（3分）如图，在菱形ABCD中，tanA= ，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，给出如下几个结论：（1）△AED≌△DFB；（2）CG与BD一定不垂直；（3）∠BGE的大小为定值；（4）S四边形BCDG= CG2；（5）若AF=2DF，则BF=7GF．其中正确结论的序号为　　．　三、解答题：本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的步骤，文字说明或证明过程． 17．（5分）（﹣1）2016+2•cos60°﹣（﹣ ）﹣2+（）0． 18．（6分）先化简，再求值：，请你从﹣1≤x＜3的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值． 19．（7分）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．第4页（共33页） 20．（7分）如图，一渔船自西向东追赶鱼群，在A处测得某无名小岛C在北偏东 60°方向上，前进2海里到达B点，此时测得无名小岛C在东北方向上．已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁，问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险？（参考数据：）21．（8分）为全面开展“大课间”活动，某校准备成立“足球”、“篮球”、 “跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体工处根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图，请根据以上信息，完成下列问题：（1）m=　　，n=　　，并将条形统计图补充完整；（2）试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？（3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“ 踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率．第5页（共33页） 22．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD为∠BAC的平分线，以AB上一点 O为圆心的半圆经过A、D两点，交AB于E，连接OC交AD于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OF：FC=2：3，CD=3，求BE的长． 23．（9分）为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）第6页（共33页） 24．（10分）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ ADE，从而有DE=PC，连接PD得到PD=PA，同时∠APB+∠APD=120°+60°=180°， ∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．在△ ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′ 、D′、E四点不共线，所以P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，即点P到三个顶点距离之和最小．【探究】（1）如图2，P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=120°，证明PA+PB+PC的值最小；【拓展】（2）如图3，△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=30°，且点P为△ABC内一点，求点P到三个顶点的距离之和的最小值．第7页（共33页） 25．（12分）如图1，已知抛物线y= （x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若抛物线过点T（1，﹣ ），求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．　第8页（共33页） 2016年辽宁省朝阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的． 1．（3分）（2016•朝阳）在下列实数中，﹣3，，0，2，﹣1中，绝对值最小的数是（　　） A．﹣3 B．0 C． D．﹣1 【解析】|﹣3|=3，| |= ，|0|=0，|2|=2，|﹣1|=1， ∵3＞2＞＞1＞0， ∴绝对值最小的数是0，故选：B．　2．（3分）（2016•朝阳）“互联网+”已全面进入人们的日常生活，据有关部门统计，目前全国4G用户数达到4.62亿，其中4.62亿用科学记数法表示为（　　）A．4.62×104 B．4.62×106 C．4.62×108 D．0.462×108 【解析】将4.62亿用科学记数法表示为：4.62×108．故选：C．　3．（3分）（2016•朝阳）如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的主视图是（　　） A． B． C． D．第9页（共33页）【解析】根据题意的主视图为：，故选B 　4．（3分）（2016•朝阳）方程2×2=3x的解为（　　） A．0 B． C． D．0，【解析】方程整理得：2×2﹣3x=0，分解因式得：x（2x﹣3）=0，解得：x=0或x= ，故选D 　5．（3分）（2016•朝阳）如图，已知a∥b，∠1=50°，∠2=90°，则∠3的度数为（　　） A．40° B．50° C．150° D．140° 【解析】作c∥a， ∵a∥b， ∴c∥b． ∴∠1=∠5=50°， ∴∠4=90°﹣50°=40°， ∴∠6=∠4=40°， ∴∠3=180°﹣40°=140°．故选D．第10页（共33页）　6．（3分）（2016•朝阳）若一组数据2，3，4，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能的是（　　） A．6 B．3.5 C．2.5 D．1 【解析】（1）将这组数据从小到大的顺序排列为2，3，4，5，x，处于中间位置的数是4， ∴中位数是4，平均数为（2+3+4+5+x）÷5， ∴4=（2+3+4+5+x）÷5，解得x=6；符合排列顺序；（2）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，4，x，5，中位数是4，此时平均数是（2+3+4+5+x）÷5=4，解得x=6，不符合排列顺序；（3）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，x，4，5，中位数是x，平均数（2+3+4+5+x）÷5=x，解得x=3.5，符合排列顺序；（4）将这组数据从小到大的顺序排列后2，x，3，4，5，中位数是3，平均数（2+3+4+5+x）÷5=3，解得x=1，不符合排列顺序；（5）将这组数据从小到大的顺序排列后x，2，3，4，5，中位数是3，平均数（2+3+4+5+x）÷5=3，第11页（共33页）解得x=1，符合排列顺序； ∴x的值为6、3.5或1．故选C．　7．（3分）（2016•朝阳）如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A． B．3π C． D．2π 【解析】n边形的内角和（n﹣2）×180°，圆形的空白部分的面积之和S= =π= π= π．所以图中阴影部分的面积之和为：5πr2﹣ π=5π﹣ π= π．故选：C．　8．（3分）（2016•朝阳）如图，直线y=mx（m≠0）与双曲线y= 相交于 A（﹣1，3）、B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为（　　）A．3 B．1.5 C．4.5 D．6 【解析】∵直线y=mx（m≠0）与双曲线y= ∴﹣m=3， ∴m=﹣3，n=﹣3，相交于A（﹣1，3），，第12页（共33页） ∴直线的解析式为：y=﹣3x，双曲线的解析式为：y=﹣ 解方程组得：，则点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（1，﹣3） ∴点C的坐标为（1，0） ∴S△ABC= ×1×（3+3）=3 故：选A 　9．（3分）（2016•朝阳）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】∵AF∥BC， ∴∠FAD=∠ADB， ∵∠BAC=∠FAD， ∴∠BAC=∠ADB， ∵∠B=∠B， ∴△BAC∽△BDA， ∴ = ，∴ = ， ∴BD=9， ∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，故选B．　10．（3分）（2016•朝阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1 ，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则第13页（共33页）下列结论：（1）b2﹣4ac＞0；（2）2a=b；（3）点（﹣ ，y1）、（﹣ ，y2）、（，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2 ＜y3；（4）3b+2c＜0；（5）t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】（1）由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac＞0， ∴（1）正确；（2）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1， ∴﹣ =﹣1， ∴2a=b， ∴（2）正确；（3）∵抛物线的对称轴为x=﹣1，点（，y3）在抛物线上， ∴（﹣ ，y3）． ∵﹣ ＜﹣＜﹣ ，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大， ∴y1＜y3＜y2． ∴（3）错误；（4）∵当x=﹣3时，y=9a﹣3b+c＜0，且b=2a，第14页（共33页） ∴9a﹣3×2a+c=3a+c＜0， ∴6a+2c=3b+2c＜0， ∴（4）正确；（5）∵b=2a， ∴方程at2+bt+a=0中△=b2﹣4a•a=0， ∴抛物线y=at2+bt+a与x轴只有一个交点， ∵图中抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴y=at2+bt+a≤0，即at2+bt≤﹣a=a﹣b． ∴（5）正确．故选C．　二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分．11．（3分）（2016•朝阳）函数y= x≥2且x≠3　．的自变量x的取值范围是　【解析】由题意得，，解得x≥2且x≠3，故答案为x≥2且x≠3．　12．（3分）（2016•朝阳）已知在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）、B（ ﹣2，﹣4）、C（﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2 ，则点B的对应点的坐标为　（1，2）或（﹣1，﹣2）　．【解析】∵点B的坐标为（﹣2，﹣4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2， ∴点B的对应点的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2），第15页（共33页）故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．　13．（3分）（2016•朝阳）若方程（x﹣m）（x﹣n）=3（m，n为常数，且m＜n ）的两实数根分别为a，b（a＜b），则m，n，a，b的大小关系是　a＜m＜n＜b　．【解析】 ∵（x﹣m）（x﹣n）=3， ∴可得或，∵m＜n， ∴可解得x＞n或x＜m， ∵方程的两根为a和b， ∴可得到a＞n或a＜m，b＞n或b＜m，又a＜b，综合可得a＜m＜n＜b，故答案为：a＜m＜n＜b．　14．（3分）（2016•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA 分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F 处．若OA=8，CF=4，则点E的坐标是　（﹣10，3）　．【解析】设CE=a，则BE=8﹣a，由题意可得，EF=BE=8﹣a， ∵∠ECF=90°，CF=4， ∴a2+42=（8﹣a）2，解得，a=3，设OF=b，第16页（共33页） ∵△ECF∽△FOA， ∴即，，得b=6，即CO=CF+OF=10， ∴点E的坐标为（﹣10，3），故答案为（﹣10，3）．　15．（3分）（2016•朝阳）通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0 时有两个实数根：x1= ，x2= ，于是：x1+x2= ，x1•x2 = 、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=1，则k的值为　﹣1　．【解析】∵x1，x2为一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根， ∴△=k2﹣4（k+1）≥0，且x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，解得：k≤2﹣2 或k≥2+2 ，又∵x12+x22=1，即（x1+x2）2﹣x1x2=1， ∴（﹣k）2﹣（k+1）=1，即k2﹣k﹣2=0，解得：k=﹣1或k=2（舍），故答案为：﹣1．　16．（3分）（2016•朝阳）如图，在菱形ABCD中，tanA= ，点E、F分别是AB 、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG 与BD相交于点H，给出如下几个结论：（1）△AED≌△DFB；（2）CG与BD一定不垂直；（3）∠BGE的大小为定值；第17页（共33页）（4）S四边形BCDG= CG2；（5）若AF=2DF，则BF=7GF．其中正确结论的序号为　（1）（3）（4）（5）　．【解析】（1）∵ABCD为菱形， ∴AB=AD． ∵AB=BD， ∴△ABD为等边三角形． ∴∠A=∠BDF=60°．又∵AE=DF，AD=BD，在△AED和△DFB中，，∴△AED≌△DFB，故本小题正确；（2）当点E，F分别是AB，AD中点时（如图1），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形， ∵点E，F分别是AB，AD中点， ∴∠BDE=∠DBG=30°， ∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，，∴△GDC≌△BGC， ∴∠DCG=∠BCG， ∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；第18页（共33页）（3）∵△AED≌△DFB， ∴∠ADE=∠DBF， ∴∠BGE=∠BDG+∠DBG=∠BDG+∠ADE=60°，故本选项正确．（4）∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°， ∴点B、C、D、G四点共圆， ∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°． ∴∠BGC=∠DGC=60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．（如图2）则△CBM≌△CDN，（AAS） ∴S四边形BCDG=S四边形CMGN ，S四边形CMGN=2S△CMG ，∵∠CGM=60°， ∴GM= CG，CM= CG， ∴S四边形CMGN=2S△CMG=2× × CG×CG= CG2，故本小题正确；（5）过点F作FP∥AE于P点．（如图3） ∵AF=2FD， ∴FP：AE=DF：DA=1：3， ∵AE=DF，AB=AD， ∴BE=2AE， ∴FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF， ∴BF=7GF，故本小题正确．综上所述，正确的结论有（1）（3）（4）（5）．故答案为：（1）（3）（4）（5）．第19页（共33页）　三、解答题：本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的步骤，文字说明或证明过程． 017．（5分）（2016•朝阳）（﹣1）2016+2•cos60°﹣（﹣ ）﹣2+（）．【解析】原式=1+2× ﹣4+1 =1+1﹣4+1 =﹣1．　18．（6分）（2016•朝阳）先化简，再求值：，请你从﹣ 1≤x＜3的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值．第20页（共33页）【解析】原式= ÷=•=，由﹣1≤x＜3，x为整数，得到x=﹣1，0，1，2，经检验x=﹣1，0，1不合题意，舍去，则当x=2时，原式=4．　19．（7分）（2016•朝阳）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．【解析】设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．根据题意，得（x﹣3）（500﹣10× ）=800，解得x1=7，x2=5． ∵售价不能超过进价的200%， ∴x≤3×200%．即x≤6． ∴x=5．答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．　20．（7分）（2016•朝阳）如图，一渔船自西向东追赶鱼群，在A处测得某无名小岛C在北偏东60°方向上，前进2海里到达B点，此时测得无名小岛C在东北方向上．已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁，问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险？（参考数据：）【解析】作CD⊥AB于D，第21页（共33页）根据题意，∠CAD=30°，∠CBD=45°，在Rt△ACD中，AD= 在Rt△BCD中，BD= = CD， =CD， ∵AB=AD﹣BD， ∴ CD﹣CD=2（海里），解得：CD= +1≈2.732＞2.5，答：渔船继续追赶鱼群没有触礁危险．　21．（8分）（2016•朝阳）为全面开展“大课间”活动，某校准备成立“足球 ”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体工处根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图，请根据以上信息，完成下列问题：（1）m=　25　，n=　108　，并将条形统计图补充完整；（2）试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？（3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“ 踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率．【解析】（1）调查的总人数=15÷15%=100（人），第22页（共33页）所以m%= ×100%=25%，即m=25，参加跳绳活动小组的人数=100﹣30﹣25﹣15=30（人），所以n°= ×360°=108°，即n=108，如图，故答案为：25，108；（2）2000× =600，所以全校2000人中，大约有600人报名参加足球活动小组；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中一男一女两名同学的结果数为8，所以恰好选中一男一女两名同学的概率= =．　22．（8分）（2016•朝阳）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD为∠BAC的平分线，以AB上一点O为圆心的半圆经过A、D两点，交AB于E，连接OC交AD于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OF：FC=2：3，CD=3，求BE的长．【解析】（1）BC是⊙O的切线，理由：如图，第23页（共33页）连接OD， ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAC=2∠BAD， ∵∠DOE=2∠BAD， ∴∠DOE=∠BAC， ∴OD∥AC， ∴∠ODB=∠ACB=90°， ∵点D在⊙O上， ∴BC是⊙O的切线．（2）如图2，连接OD，由（1）知，OD∥AC， ∴∵∴，，，∵OD∥AC， ∴，∴∵CD=3， ∴DB=6，第24页（共33页）过点D作DH⊥AB， ∵AD是∠BAC的角平分线，∠ACB=90°， ∴DH=CD=3，在Rt△BDH中，DH=3，BD=6， ∴sin∠B= = ， ∴∠B=30°，BO= = =4 ，∴∠BOD=60°，在Rt△ODB中，sin∠DOH= ，∴，，∴OD=2 ∴BE═OB﹣OE=OB﹣OD=4 ﹣2 =2 ．　23．（9分）（2016•朝阳）为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）第25页（共33页）【解析】（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（7，3.2），设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+3.2，将点C（0，1.8）代入，得：49a+3.2=1.8，解得：a=﹣ ，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y=﹣ （x﹣7）2+ ；（2）由题意当x=9.5时，y=﹣ （9.5﹣7）2+ ≈3.02＜3.1，故这次她可以拦网成功；（3）设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+h，将点C（0，1.8）代入，得：49a+h=1.8，即a= ，∴此时抛物线解析式为y= （x﹣7）2+h，根据题意，得：，解得：h≥3.025，答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．　24．（10分）（2016•朝阳）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ ADE，从而有DE=PC，连接PD得到PD=PA，同时∠APB+∠APD=120°+60°=180°，第26页（共33页） ∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．在△ ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′ 、D′、E四点不共线，所以P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，即点P到三个顶点距离之和最小．【探究】（1）如图2，P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=120°，证明PA+PB+PC的值最小；【拓展】（2）如图3，△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=30°，且点P为△ABC内一点，求点P到三个顶点的距离之和的最小值．【解析】（1）如图1，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE， ∴∠PAD=60°，△PAC≌△DAE， ∴PA=DA、PC=DE、∠APC=∠ADE=120°， ∴△APD为等边三角形， ∴PA=PD，∠APD=∠ADP=60°， ∴∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线， ∴PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE． ∴PA+PB+PC的值最小．（2）如图，分别以AB、BC为边在△ABC外作等边三角形，连接CD、AE交于点P，第27页（共33页） ∴AB=DB、BE=BC=8、∠ABD=∠EBC=60°， ∴∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中， ∵，∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴CD=AE、∠BAE=∠BDC，又∵∠AOP=∠BOD， ∴∠APO=∠OBD=60°，在DO上截取DQ=AP，连接BQ，在△ABP和△DBQ中， ∵，∴△ABP≌△DBQ（SAS）， ∴BP=BQ，∠PBA=∠QBD，又∵∠QBD+∠QBA=60°， ∴∠PBA+∠QBA=60°，即∠PBQ=60°， ∴△PBQ为等边三角形， ∴PB=PQ，则PA+PB+PC=DQ+PQ+PC=CD=AE，在Rt△ACE中，∵AC=6、CE=8， ∴AE=CD=10，故点P到三个顶点的距离之和的最小值为10．第28页（共33页）　25．（12分）（2016•朝阳）如图1，已知抛物线y= （x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若抛物线过点T（1，﹣ ），求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．【解析】（1）如图1，把T（1，﹣ ）代入抛物线y= （x﹣2）（x+a）得： ﹣ = （1﹣2）（1+a），解得：a=4， ∴抛物线的解析式为：y= x2+ x﹣2；（2）当x=0时，y= ×（﹣2）×a=﹣2， ∴C（0，﹣2），当y=0时，（x﹣2）（x+a）=0， x1=2，x2=﹣a， ∴A（﹣a，0）、B（2，0），如图2，过D作DE⊥x轴于E，设D（m，n）， ∵点D在第二象限，∠DAB为钝角， ∴分两种情况：第29页（共33页） ①如图2，当△BDA∽△ABC时，∠BAC=∠ABD， ∴tan∠BAC=tan∠ABD，即， ∴，n= ，则，解得：m=﹣2﹣a或2， ∴E（﹣2﹣a，0），由勾股定理得：AC= ，∵∴，==，BD= ，∵△BDA∽△ABC， ∴，∴AB2=AC•BD，即（a+2）2= •，解得：0=16，此方程无解； ②当△DBA∽△ABC时，如图3，∠ABC=∠ABD， ∵B（2，0），C（0，﹣2）， ∴OB=OC=2， ∴△OBC是等腰直角三角形，有BC=2 ，∴∠OCB=∠OBC=45°， ∴∠ABC=∠ABD=45°，第30页（共33页） ∴DE=BE， n=﹣m+2， ∴BD= ，∵△DBA∽△ABC， ∴，∴AB2=BD•BC， ∴（a+2）2= •2 =4n，则，解得：，则a=2+2 ；（3）当x=6时，y= （6﹣2）（6+4）=10， ∴Q（6，10），如图4，作P关于x轴的对称点P′，过P′作P′G∥x轴，且P′G=2，连接GQ交x轴于N，过P′作P′M∥GN，交x轴于M，此时，QG就是MP+NQ的最小值，由于PQ、NM为定值，所以此时，四边形PMNQ的周长最小， ∵P（﹣1，1）， ∴P′（﹣1，﹣1）， ∵P′G∥MN，P′M∥GN， ∴四边形P′GNM是平行四边形， ∴MN=P′G=2，NG=P′M=PM， ∴G（1，﹣1），设GQ的解析式为：y=kx+b，把G（1，﹣1）和Q（6，10）代入得：，第31页（共33页）解得：，∴GQ的解析式为：y= x﹣ 当y=0时，x= ，，∴N（，0）， ∵MN=2， ∴M（﹣ ，0）．第32页（共33页）　第33页（共33页）