2015年山东省德州市中考数学试卷（含解析版）下载

2015年山东省德州市中考数学试卷 一、选择题 1．（3分）（2015•德州）| 　A． B． 2．（3分）（2015•德州）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（　　） |的值是（　　） ﹣2 C． D．2 圆锥 圆柱 长方体 　A． B． C． D．四棱柱 3．（3分）（2015•德州）2014年德州市农村中小学校含标准化工程开工学校项目356个， 开工面积56.2万平方米，开式面积量创历年最高，56.2万平方米用科学记数法表示正确的是 （　　） 42425242　A． B． C． D． 5.62×10 m 56.2×10 m 5.62×10 m 0.562×10 m 4．（3分）（2015•德州）下列运算正确的是（　　） 236222 4 4a﹣9a=﹣5 C． ﹣=　A． B． D． b •b =b （ab ） =a b 5．（3分）（2015•德州）一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于 它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（　　） 　A．8 B．9 C．13 D．15 6．（3分）（2015•德州）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到 △AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） 35° 40° 50° 65° D． 　A． B． C． 7．（3分）（2015•德州）若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　 ）a≤4 a≤1 a≥1 D． 　A．a＜1 B． C． 第1页（共28页） 8．（3分）（2015•德州）下列命题中，真命题的个数是（　　） ；②若﹣1≤x≤2，则1≤x2≤4 ①若﹣1＜x＜﹣ ，则﹣2 ③凸多边形的外角和为360°；④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB． 　A．4 B．3 C．2 D．1 9．（3分）（2015•德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的 比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（　　） 288° 144° 216° 120° D． 　A． B． C． 10．（3分）（2015•德州）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如 果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是 （　　） 　A． B． C． D． 11．（3分）（2015•德州）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD 的高，得到下列四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正 方形；④AE+DF=AF+DE．其中正确的是（　　） ②③ ②④ ①③④ ②③④ D． 　A． B． C． 12．（3分）（2015•德州）如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（2，2），点P（m，n ）在直线y=﹣x+2上运动，设△APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是 （　　） 第2页（共28页） 　A． B． C． D． 　二、填空题（每小题4分） 13．（4分）（2015•德州）计算2﹣2+（ ）0=　　　　　　． 14．（4分）（2015•德州）方程 ﹣ =1的解是　　　　　　． 15．（4分）（2015•德州）在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8 ，10，8，9，6，计算这组数据的方差为　　　　　　． 16．（4分）（2015•德州）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观 测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度均为　　　　　　 m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 17．（4分）（2015•德州）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠A=60°． 取AB的中点A1，连接A1C，再分别取A1C，BC的中点D1，C1，连接D1C1，得到四边形A1B C1D1．如图2，同样方法操作得到四边形A2BC2D2，如图3，…，如此进行下去，则四边形A nBCnDn的面积为　　　　　　． 第3页（共28页） 　三、解答题： 18．（6分）（2015•德州）先化简，再求值： ÷（a﹣ ），其中a=2+ ，b=2﹣ ．　19．（8分）（2015•德州）2014年1月，国家发改委出台指导意见，要求2015年底前，所有 城市原则上全面实行居民阶梯水价制度，小明为了解市政府调整水价方案的社会反响，随 机访问了自己居住小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个 问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1，图2． 小明发现每月每户的用水量在5m3﹣35m3之间，有8户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓， 不会考虑用水方式的改变，根据小明控制的图表和发现的信息，完成下列问题： （1）n=　　　　　　，小明调查了　　　　　　户居民，并补全图1； （2）每月每户用水量的中位数和众数分别落在什么范围？ 第4页（共28页） （3）如果小明所在小区有1800户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的 居民户数有多少． 　20．（8分）（2015•德州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相 交于点D，且BE∥AC，AE∥OB， （1）求证：四边形AEBD是菱形； （2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式． 　21．（10分）（2015•德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠AP C=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状：　　　　　　； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于 的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 第5页（共28页） 　22．（10分）（2015•德州）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一 段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）根据图象求y与x的函数关系式； （2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为 多少？ 　23．（10分）（2015•德州）（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP ．（2）探究 如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然 成立？说明理由． （3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿 边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为 半径的圆与AB相切时，求t的值． 第6页（共28页） 24．（12分）（2015•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β， 0），且 =﹣2， （1）求抛物线的解析式． （2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在 x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作 图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形 时，求点P的坐标． 　　第7页（共28页） 2015年山东省德州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　一、选择题 1．（3分）（2015•德州）| |的值是（　　） ﹣2 　A． B． C． D．2 绝对值．菁优网版权所有 考点 ：绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的 绝对值是0． 分析 ：解答 ：解：根据负数的绝对值是它的相反数，得| |= ． 故选B． 点评 本题考查了绝对值的性质． ：　2．（3分）（2015•德州）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（　　） 圆锥 圆柱 长方体 　A． B． C． D．四棱柱 简单几何体的三视图．菁优网版权所有 考点 ：根据三视图的主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到 分析 ：的图形进行分析可知几何体的名称． 解：∵主视图和左视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， 解答 ：∵俯视图是一个圆， ∴此几何体为圆柱， 故选：B． 点评 此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体 是柱体，椎体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状． ：　3．（3分）（2015•德州）2014年德州市农村中小学校含标准化工程开工学校项目356个， 开工面积56.2万平方米，开式面积量创历年最高，56.2万平方米用科学记数法表示正确的是 （　　） 第8页（共28页） 42425242　A． B． C． D． 0.562×10 m 5.62×10 m 56.2×10 m 5.62×10 m 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 考点 ：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要 看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 分析 ：解：56.2万=562000=5.62×105， 故选C， 解答 ：点评 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤| a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． ：　4．（3分）（2015•德州）下列运算正确的是（　　） 236222 4 4a﹣9a=﹣5 ﹣=　A． B． C． D． （ab ） =a b b •b =b 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；二次根式的加减法．菁优网版权所有 考点 ：分析 A：根据二次根式的加减法的运算方法判断即可； B：根据同底数幂的乘法法则判断即可； ：C：根据合并同类项的方法判断即可； D：积的乘方法则：（ab）n=anbn（n是正整数），据此判断即可． 解答 ：解：∵ ∴选项A错误； ，∵b2•b3=b5， ∴选项B错误； ∵4a﹣9a=﹣5a， ∴选项C错误； ∵（ab2）2=a2b4， ∴选项D正确． 故选：D． 点评 （1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有 相乘时才是底数不变，指数相加． ：（2）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： ①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）． （3）此题还考查了合并同类项问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确合并同 类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （4）此题还考查了二次根式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次 根式的加减法的步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二 次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式． 　5．（3分）（2015•德州）一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于 它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（　　） 　A．8 B．9 C．13 D．15 第9页（共28页） 规律型：数字的变化类．菁优网版权所有 考点 ：分析 根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答即 可． 解答 解：∵每个数都等于它前面的两个数之和， ：：∴x=1+2=3， ∴y=x+5=3+5=8， 即这组数中y表示的数为8． 故选：A． 点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解 答此题的关键是求出x的值是多少． ：　6．（3分）（2015•德州）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到 △AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） 35° 40° 50° 65° D． 　A． B． C． 旋转的性质．菁优网版权所有 考点 ：根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然 后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答． 分析 ：解答 解：∵CC′∥AB， ∴∠ACC′=∠CAB=65°， ：∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′， ∴AC=AC′， ∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°， ∴∠CAC′=∠BAB′=50°． 故选C． 点评 本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解 题的关键． ：　7．（3分）（2015•德州）若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　 ）a≤4 a≤1 a≥1 D． 　A．a＜1 B． C． 根的判别式．菁优网版权所有 考点 ：若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不 分析 第10页（共28页） 等式，通过解不等式即可求得a的值． 解：因为关于x的一元二次方程有实根， 所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0， 解之得a≤1． ：解答 ：故选C． 点评 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0 ，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程 没有实数根． ：　8．（3分）（2015•德州）下列命题中，真命题的个数是（　　） ①若﹣1＜x＜﹣ ，则﹣2 ；②若﹣1≤x≤2，则1≤x2≤4 ③凸多边形的外角和为360°； ④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB． 　A．4 B．3 C．2 D．1 命题与定理．菁优网版权所有 考点 ：根据分式成立的条件对①进行判断；根据乘方的意义对②进行判断；根据多边形外 角和定理对③进行判断；根据互余公式对④进行判断． 分析 ：解答 ：解：若﹣1＜x＜﹣ ，﹣2 ，所以①正确； 若﹣1≤x≤2，则0≤x2≤4，所以②错误； 凸多边形的外角和为360°，所以③正确； 三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，所以④正确． 故选B． 点评 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和 结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以 写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定 理． ：　9．（3分）（2015•德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的 比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（　　） 288° 144° 216° 120° D． 　A． B． C． 圆锥的计算．菁优网版权所有 考点 ：根据底面圆的半径与母线长的比设出二者，然后利用底面圆的周长等于弧长列式计 分析 ：算即可． 第11页（共28页） 解：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5， ∴设底面圆的半径为4x， 则母线长是5x， 解答 ：设圆心角为n°， 则2π×4x= ，解得：n=288， 故选A． 点评 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的 周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． ：　10．（3分）（2015•德州）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如 果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是 （　　） 　A． B． C． D． 列表法与树状图法．菁优网版权所有 考点 ：此题可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，两辆汽车一辆左转， 一辆右转的有2种情况，根据概率公式求解即可． 分析 ：解：（1）画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示： 解答 ：∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果； （2）由（1）中“树形图”知，两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有结 果的可能性相等， ∴P（两辆汽车一辆左转，一辆右转）= ． 故选C． 点评 此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情 况数与总情况数之比求解． ：　11．（3分）（2015•德州）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD 的高，得到下列四个结论： ①OA=OD； ②AD⊥EF； ③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形； ④AE+DF=AF+DE． 第12页（共28页） 其中正确的是（　　） ②③ ②④ ①③④ ②③④ D． 　A． B． C． 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．菁优网版权所有 考点 ：①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确． ②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然 后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF． ③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形 ，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可． ④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立 ，据此解答即可． 分析 ：解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意， ∴①不正确； 解答 ：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD∠FAD， 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE=AF，DE=DF， ∴AE+DF=AF+DE， ∴④正确； 在△AEO和△AFO中， ，∴△AE0≌△AF0（SAS）， ∴EO=FO， 又∵AE=AF， ∴AO是EF的中垂线， ∴AD⊥EF， ∴②正确； ∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角， ∴四边形AEDF是矩形， 又∵DE=DF， ∴四边形AEDF是正方形， 第13页（共28页） ∴③正确． 综上，可得 正确的是：②③④． 故选：D． 点评 （1）此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应 用，要熟练掌握． ：（2）此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握． （3）此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握． 　12．（3分）（2015•德州）如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（2，2），点P（m，n ）在直线y=﹣x+2上运动，设△APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是 （　　） 　A． B． C． D． 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 考点 ：根据题意得出临界点P点横坐标为1时，△APO的面积为0，进而结合底边长不变得出 分析 ：即可． 解：∵点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动， ∴当m=1时，n=1，即P点在直线AO上，此时S=0， 当0＜m≤1时，S△APO不断减小，当m＞1时，S△APO不断增大，且底边AO不变，故S 与m是一次函数关系． 解答 ：故选：B． 点评 此题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意得出临界点是解题关键． ：第14页（共28页） 　二、填空题（每小题4分） 13．（4分）（2015•德州）计算2﹣2+（ ）0=　． 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有 考点 ：首先根据负整数指数幂的运算方法，求出2﹣2的值是多少；然后根据a0=1（a≠0）， 分析 ：求出 的值是多少；最后再求和，求出算式2﹣2+（ ）0的值是多少即可． 解答 ：0解：2﹣2+（ = +1 ）=故答案为： ． 点评 （1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确 ：：（1）a﹣p =（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整 数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可 变为正指数． （2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1 ）a0=1（a≠0）；（2）00≠1． 　14．（4分）（2015•德州）方程 ﹣ =1的解是　x=2　． 考点 解分式方程．菁优网版权所有 ：专题 ：计算题． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分 分析 ：式方程的解． 解：去分母得：x2﹣2x+2=x2﹣x， 解答 ：解得：x=2， 经检验x=2是分式方程的解， 故答案为：x=2 点评 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为 整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． ：　第15页（共28页） 15．（4分）（2015•德州）在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8 ，10，8，9，6，计算这组数据的方差为　． 考点 方差．菁优网版权所有 ：专题 ：计算题． 先计算出这组数据的平均数，然后根据方差公式求解． 分析 ：解答 ：解：平均数= （7+8+10+8+9+6）=8， 所以方差S2= [（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2] = ． 故答案为 ． 点评 本题考查方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [（x1﹣ ：）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动 性越大，反之也成立． 　16．（4分）（2015•德州）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观 测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度均为　7.2　 m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有 考点 ：根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度． 分析 ：解：根据题意得：EF⊥AC，CD∥FE， ∴四边形CDEF是矩形， 解答 ：已知底部B的仰角为45°即∠BEF=45°， ∴∠EBF=45°， 第16页（共28页） ∴CD=EF=FB=38， 在Rt△AEF中， AF=EF•tan50°=38×1.19≈45.22 ∴AB=AF﹣BF=45.22﹣38≈7.2， ∴旗杆的高约为7米． 故答案为：7.2． 点评 此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角 三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解． ：　17．（4分）（2015•德州）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠A=60°． 取AB的中点A1，连接A1C，再分别取A1C，BC的中点D1，C1，连接D1C1，得到四边形A1B C1D1．如图2，同样方法操作得到四边形A2BC2D2，如图3，…，如此进行下去，则四边形A nBCnDn的面积为　 a2　． 等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有 考点 ：专题 规律型． ：首先求得梯形ABCD的面积，然后证明梯形AnBCnDn∽梯形An﹣1BCn﹣1 Dn﹣1，然后 分析 ：根据相似形面积的比等于相似比的平方即可求解． 解答 解：作DE⊥AB于点E． ：在直角△ADE中，DE=AD•sinA= a，AE= AD= a， 则AB=2AD=2a，S梯形ABCD= （AB+CD）•DE= （2a+a）• a= 如图2，∵D1、C1是A1C和BC的中点， a2． ∴D1C1∥A1B，且C1D1= A1B， 第17页（共28页） ∵AA1=CD，AA1∥CD， ∴四边形AA1CD是平行四边形， ∴AD∥A1C，AD=A1C=a， ∴∠A=∠CA1B， 又∵∠B=∠B， ∴∠D=∠A1D1C1，∠DCB=∠D1C1B， = ， ∴梯形A1BC1D1∽梯形ABCD，且相似比是 ． 同理，梯形AnBCnDn∽梯形An﹣1BCn﹣1Dn﹣1，相似比是 ． 则四边形AnBCnDn的面积为 a2． 故答案是： a2． 本题考查了相似多边形的判定与性质，正确证明梯形AnBCnDn∽梯形An﹣1BCn﹣1Dn ﹣1是关键． 点评 ：　三、解答题： 18．（6分）（2015•德州）先化简，再求值： ÷（a﹣ ），其中a=2+ ，b=2﹣ ．分式的化简求值．菁优网版权所有 考点 ：专题 计算题． ：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则计算， 约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 分析 ：解答 ：解：原式= ÷=•=，第18页（共28页） 当a=2+ ，b=2﹣ 时，原式= ==．点评 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ：　19．（8分）（2015•德州）2014年1月，国家发改委出台指导意见，要求2015年底前，所有 城市原则上全面实行居民阶梯水价制度，小明为了解市政府调整水价方案的社会反响，随 机访问了自己居住小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个 问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1，图2． 小明发现每月每户的用水量在5m3﹣35m3之间，有8户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓， 不会考虑用水方式的改变，根据小明控制的图表和发现的信息，完成下列问题： （1）n=　210　，小明调查了　96　户居民，并补全图1； （2）每月每户用水量的中位数和众数分别落在什么范围？ （3）如果小明所在小区有1800户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的 居民户数有多少． 条形统计图；用样本估计总体．菁优网版权所有 考点 ：（1）首先根据圆周角等于360°，求出的值是多少即可；然后用“视水价格调价涨幅抱 无所谓态度”的居民的户数除以它占被调查的居民户数的分率，求出小明调查了多少 户居民；最后求出每月每户的用水量在15m3﹣20m3之间的居民的户数，补全图1即 可． 分析 ：（2）根据中位数和众数的含义分别进行解答即可． （3）根据分数乘法的意义，用小明所在小区居民的户数乘以“视调价涨幅采取相应 的用水方式改变”的居民户数占被调查的居民户数的分率，求出“视调价涨幅采取相 应的用水方式改变”的居民户数有多少即可． 解：（1）n=360﹣30﹣120=210， 解答 ：∵8÷ ==96（户） ∴小明调查了96户居民． 第19页（共28页） 每月每户的用水量在15m3﹣20m3之间的居民的户数是： 96﹣（15+22+18+16+5） =96﹣76 =20（户）． （2）96÷2=48（户），15+12=37（户），15+22+20=57（户）， ∵每月每户的用水量在5m3﹣15m3之间的有37户，每月每户的用水量在5m3﹣20m3之 间的有57户， ∴把每月每户用水量这组数据从小到大排列后，第48个、第49个数在15﹣20之间， ∴第48个、第49个数的平均数也在15﹣20之间， ∴每月每户用水量的中位数落在15﹣20之间； ∵在这组数据中，10﹣15之间的数出现的次数最多，出现了22次， ∴每月每户用水量的众数落在10﹣15之间． （3）∵1800× =1050（户）， ∴“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有1050户． 故答案为：210、96． 点评 （1）此题主要考查了对条形统计图的认识和了解，要善于从条形统计图中获取信息 ，并能利用获取的信息解决实际问题． ：（2）此题还考查了用样本估计总体，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确众数、 中位数、平均数、标准差与方差等的含义以及求法． 　20．（8分）（2015•德州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相 交于点D，且BE∥AC，AE∥OB， （1）求证：四边形AEBD是菱形； （2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式． 第20页（共28页） 反比例函数综合题．菁优网版权所有 考点 ：（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四 边形AEBD是菱形； 分析 ：（2）连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF ，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y= ，把点E坐标代入求出k 的值即可． （1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵四边形OABC是矩形， 解答 ：∴DA= AC，DB= OB，AC=OB，AB=OC=2， ∴DA=DB， ∴四边形AEBD是菱形； （2）解：连接DE，交AB于F，如图所示： ∵四边形AEBD是菱形， ∴AB与DE互相垂直平分， ∵OA=3，OC=2， ∴EF=DF= OA= ，AF= AB=1，3+ = ， ∴点E坐标为：（ ，1）， 设经过点E的反比例函数解析式为：y= ， 把点E（ ，1）代入得：k= ， ∴经过点E的反比例函数解析式为：y= ．点评 本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质 、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特 别是（2）中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果． ：　21．（10分）（2015•德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠AP C=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状：　等边三角形　； 第21页（共28页） （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于 的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理．菁优网版权所有 考点 ：（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所 以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状； 分析 ：（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明B P=CD，即可证得； （3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化 为两个三角形的面积进行计算，当点P为 的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积 ．证明：（1）△ABC是等边三角形． 证明如下：在⊙O中 解答 ：∵∠BAC与∠CPB是 所对的圆周角，∠ABC与∠APC是 所对的圆周角， ∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC， 又∵∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）在PC上截取PD=AP，如图1， 又∵∠APC=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°． 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°， ∴∠ADC=∠APB， 在△APB和△ADC中， ，∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP=CD， 又∵PD=AP， ∴CP=BP+AP； 第22页（共28页） （3）当点P为 的中点时，四边形APBC的面积最大． 理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E． 过点C作CF⊥AB，垂足为F． ∵S△APE= AB•PE，S△ABC= AB•CF， ∴S四边形APBC= AB•（PE+CF）， 当点P为 的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径， ∴此时四边形APBC的面积最大． 又∵⊙O的半径为1， ∴其内接正三角形的边长AB= ，∴S四边形APBC= ×2× =．点评 本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等 的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键． ：　22．（10分）（2015•德州）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一 段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）根据图象求y与x的函数关系式； （2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为 多少？ 第23页（共28页） 一次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有 考点 ：（1）根据图象可设y=kx+b，将（40，160），（120，0）代入，得到关于k、b的二 元一次方程组，解方程组即可； 分析 ：（2）根据每千克的利润×销售量=2400元列出方程，解方程求出销售单价，从而计算 销售量，进而求出销售成本，与3000元比较即可得出结论． 解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b， 解答 ：将（40，160），（120，0）代入， 得，解得 ，所以y与x的函数关系式为y=﹣2x+240（40≤x≤120）； （2）由题意得（x﹣40）（﹣2x+240）=2400， 整理得，x2﹣160x+6000=0， 解得x1=60，x2=100． 当x=60时，销售单价为60元，销售量为120千克，则成本价为40×120=4800（元）， 超过了3000元，不合题意，舍去； 当x=100时，销售单价为100元，销售量为40千克，则成本价为40×40=1600（元）， 低于3000元，符合题意． 所以销售单价为100元． 答：销售单价应定为100元． 点评 本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，利用待定系数法求出y与x的 函数关系式是解题的关键． ：　23．（10分）（2015•德州）（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP ．（2）探究 如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然 成立？说明理由． （3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿 边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为 半径的圆与AB相切时，求t的值． 第24页（共28页） 相似形综合题；切线的性质．菁优网版权所有 考点 ：专题 探究型． ：（1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然 后运用相似三角形的性质即可解决问题； 分析 ：（2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后 运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据 勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5﹣4=1．易证∠DPC=∠A=∠B． 根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值． 解：（1）如图1， 解答 ：∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP+∠APD=90°， ∠BPC+∠APD=90°， ∴∠ADP=∠BPC， ∴△ADP∽△BPC， ∴=，∴AD•BC=AP•BP； （2）结论AD•BC=AP•BP仍然成立． 理由：如图2， ∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP， 第25页（共28页） ∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP． ∵∠DPC=∠A=∠B=θ， ∴∠BPC=∠ADP， ∴△ADP∽△BPC， ∴=，∴AD•BC=AP•BP； （3）如图3， 过点D作DE⊥AB于点E． ∵AD=BD=5，AB=6， ∴AE=BE=3． 由勾股定理可得DE=4． ∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切， ∴DC=DE=4， ∴BC=5﹣4=1． 又∵AD=BD， ∴∠A=∠B， ∴∠DPC=∠A=∠B． 由（1）、（2）的经验可知AD•BC=AP•BP， ∴5×1=t（6﹣t）， 解得：t1=1，t2=5， ∴t的值为1秒或5秒． 点评 本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质 、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二 次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想． ：　24．（12分）（2015•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β， 0），且 =﹣2， （1）求抛物线的解析式． （2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在 x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作 图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 第26页（共28页） （3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形 时，求点P的坐标． 二次函数综合题．菁优网版权所有 考点 ：分析 ：（1）利用根据与系数的关系得出α+β= ，αβ=﹣2，进而代入求出m的值即可得出答 案； （2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称 点E′，得出四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，进而利用勾股定理求出即可； （3）利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4，进而分别求出即可． 解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得 ，解答 ：α+β= ，αβ=﹣2， ∵∴=﹣2， =﹣2，即 =﹣2， 解得：m=1， 故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2； （2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小， ∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6， ∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6）， 又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称， ∴E点坐标为：（4，2）， 作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′， 则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2）， 连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N， 此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示： 延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8， 则D′E′= ==10， 设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2， 第27页（共28页） ∴DE= ==2 ，∴四边形DNME的周长最小值为：10+2 ；（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H， 若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE， ∴PH=DG=4， ∴|y|=4， ∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4， 解得：x1=2+ ，x2=2﹣ 当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4， 解得：x3=2+ ，x4=2﹣ ，，故P点的坐标为；（2﹣ ，4），（2+ ，4），（2﹣ ﹣4）． ，﹣4），（2+ ，点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识， 利用数形结合以及分类讨论得出P点坐标是解题关键． ：　第28页（共28页）