2014年福建省漳州市中考数学试卷（含解析版）

2014年福建省漳州市中考数学试卷一、单项选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）(2014年福建漳州)如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（　　）　 A．点A与点D 　 B．点A与点C 　 C．点B与点D 　 D．点B与点C 2．（4分）(2014年福建漳州)如图，∠1与∠2是（　　）　 A．对顶角 3．（4分）(2014年福建漳州)下列计算正确的是（　　）　 A． =±2 B．3﹣1=﹣ C．（﹣1）2014=1 D． |﹣2|=﹣2 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 4．（4分）(2014年福建漳州)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）　 A． B． C． D． 5．（4分）(2014年福建漳州)若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（　　）　 A．﹣1 B．0 C．1 D． 2 6．（4分）(2014年福建漳州)如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1 ，点O，A，B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ ABC的面积为3，则这样的点C共有（　　）　 A．2个 B．3个 C．4个 D． 5个 7．（4分）(2014年福建漳州)中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（　　）　 A．调查方式是普查　 C．样本是360个家长 B．该校只有360个家长持反对态度 D．该校约有90%的家长持反对大度 8．（4分）(2014年福建漳州)学校小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有（　　）　 A．7盒 B．8盒 C．9盒 D． 10盒 9．（4分）(2014年福建漳州)如图，有以下3个条件：①AC=AB，②AB∥CD， ③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是（　　）　 A．0 B． C． D． 1 10．（4分）(2014年福建漳州)世界文化遗产“华安二宜楼”是一座圆形的土楼，如图，小王从南门点A沿AO匀速直达土楼中心古井点O处，停留拍照后，从点 O沿OB也匀速走到点B，紧接着沿回到南门，下面可以近似地刻画小王与土楼中心O的距离s随时间t变化的图象是（　　）　 A． B． D．　 C．　二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（4分）(2014年福建漳州)若菱形的周长为20cm，则它的边长是　cm． 12．（4分）(2014年福建漳州)双曲线y= 所在象限内，y的值随x值的增大而减小，则满足条件的一个数值k为　　． 13．（4分）(2014年福建漳州)在《中国梦•我的梦》演讲比赛中，将5个评委对某选手打分情况绘成如图的统计图，则该选手得分的中位数是　　分． 14．（4分）(2014年福建漳州)如图，将一幅三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是　　．15．（4分）(2014年福建漳州)水仙花是漳州市花，如图，在长为14m，宽为10 m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为　m． 16．（4分）(2014年福建漳州)已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n 个数是　．（用含n的代数式表示）　三、解答题（共9小题，满分86分） 17．（8分）(2014年福建漳州)先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1），其中x= ． 18．（8分）(2014年福建漳州)解不等式组：．　19．（8分）(2014年福建漳州)如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）20．（8分）(2014年福建漳州)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是　度和　度；（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有　个等腰三角形，其中有　个黄金等腰三角形．　21．（8分）(2014年福建漳州)某中学组织网络安全知识竞赛活动，其中七年级 6个班组每班参赛人数相同，学校对该年级的获奖人数进行统计，得到每班平均获奖15人，并制作成如图所示不完整的折线统计图．（1）请将折线统计图补充完整，并直接写出该年级获奖人数最多的班级是　班；（2）若二班获奖人数占班级参赛人数的32%，则全年级参赛人数是　人；（3）若该年级并列第一名有男、女同学各2名，从中随机选取2名参加市级比赛，则恰好是1男1女的概率是　． 22．（10分）(2014年福建漳州)将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）．（参考数据： ≈1.73， ≈1.41）　23．（10分）(2014年福建漳州)杨梅是漳州的特色时令水果，杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批杨梅每件进价多少元？（2）老板以每件150元的价格销售第二批杨梅，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批杨梅的销售利润不少于320元，剩余的杨梅每件售价至少打几折？（利润=售价﹣进价）　24．（12分）(2014年福建漳州)阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA= OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）（1）【理解与应用】如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上， PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为　．（2）【类比与推理】如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；（3）【拓展与延伸】如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH， DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG= ∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．　25．（14分）(2014年福建漳州)已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是　　，衍生直线的解析式是　　；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2×2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n， P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．　2014年福建省漳州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）(2014年福建漳州)如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（　　）　 A．点A与点D 　 B．点A与点C 　 C．点B与点D 　 D．点B与点C 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：2与﹣2互为相反数，故选：A．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．　2．（4分）(2014年福建漳州)如图，∠1与∠2是（　　）　 A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角【考点】同位角、内错角、同旁内角．【分析】根据同位角的定义得出结论．【解答】解：∠1与∠2是同位角．故选：B．【点评】本题主要考查了同位角的定义，熟记同位角，内错角，同旁内角，对顶角是关键．　3．（4分）(2014年福建漳州)下列计算正确的是（　　）　 A． =±2 B．3﹣1=﹣ C．（﹣1）2014=1 D． |﹣2|=﹣2 【考点】算术平方根；绝对值；有理数的乘方；负整数指数幂．【分析】根据算术平方根的定义，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，有理数的乘方，绝对值的性质对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、 =2，故本选项错误； B、3﹣1= ，故本选项错误； C、（﹣1）2014=1，故本选项正确； D、|﹣2|=2，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了算术平方根的定义，有理数的乘方，绝对值的性质，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．　4．（4分）(2014年福建漳州)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）　 A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．　5．（4分）(2014年福建漳州)若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（　　）　 A．﹣1 B．0 C．1 D． 2 【考点】因式分解-提公因式法．【分析】利用提取公因式法分解因式的方法得出即可．【解答】解：∵代数式x2+ax可以分解因式， ∴常数a不可以取0．故选；B．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，理解提取公因式法分解因式的意义是解题关键．　6．（4分）(2014年福建漳州)如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1 ，点O，A，B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ ABC的面积为3，则这样的点C共有（　　）　 A．2个 B．3个 C．4个 D． 5个【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．【分析】根据点A、B的坐标判断出AB∥x轴，然后根据三角形的面积求出点C到 AB的距离，再判断出点C的位置即可．【解答】解：由图可知，AB∥x轴，且AB=3，设点C到AB的距离为h，则△ABC的面积= ×3h=3，解得h=2， ∵点C在第四象限， ∴点C的位置如图所示，共有3个．故选B．【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形面积，判断出AB∥x轴是解题的关键．　7．（4分）(2014年福建漳州)中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（　　）　 A．调查方式是普查　 C．样本是360个家长 B．该校只有360个家长持反对态度 D．该校约有90%的家长持反对大度【考点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量．【分析】根据抽查与普查的定义以及用样本估计总体解答即可．【解答】解：A．共2500个学生家长，从中随机调查400个家长，调查方式是抽样调查，故本项错误； B．在调查的400个家长中，有360个家长持反对态度，该校只有2500× 个家长持反对态度，故本项错误； =2250 C．样本是360个家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故本项错误； D．该校约有90%的家长持反对态度，本项正确，故选：D．【点评】本题考查了抽查与普查的定义以及用样本估计总体，这些是基础知识要熟练掌握．　8．（4分）(2014年福建漳州)学校小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有（　　）　 A．7盒 B．8盒 C．9盒 D． 10盒【考点】由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：易得第一层有4碗，第二层最少有2碗，第三层最少有1碗，所以至少共有7盒．故选A．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．　9．（4分）(2014年福建漳州)如图，有以下3个条件：①AC=AB，②AB∥CD， ③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是（　　）　 A．0 B． C． D． 1 【考点】列表法与树状图法；平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；命题与定理．【专题】计算题．【分析】根据题意找出组成命题的所有等可能的情况数，找出组成的命题是真命题的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：所有等可能的情况有3种，分别为①②⇒③；①③⇒②；② ③⇒①，其中组成命题是真命题的情况有：①②⇒③；①③⇒②；②③ ⇒①，则P=1，故选D 【点评】此题考查了列表法与树状图法，平行线的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，以及命题与定理，弄清题意是解本题的关键．　10．（4分）(2014年福建漳州)世界文化遗产“华安二宜楼”是一座圆形的土楼，如图，小王从南门点A沿AO匀速直达土楼中心古井点O处，停留拍照后，从点 O沿OB也匀速走到点B，紧接着沿回到南门，下面可以近似地刻画小王与土楼中心O的距离s随时间t变化的图象是（　　）　 A． B．　 C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】从A→O的过程中，s随t的增大而减小；直至s=0；从O→B的过程中，s 随t的增大而增大；从B沿回到A，s不变．【解答】解：如图所示，当小王从A到古井点O的过程中，s是t的一次函数，s随 t的增大而减小；当停留拍照时，t增大但s=0；当小王从古井点O到点B的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而增大．当小王回到南门A的过程中，s等于半径，保持不变．综上所述，只有C符合题意．故选：C．【点评】主要考查了动点问题的函数图象．此题首先正确理解题意，然后根据题意把握好函数图象的特点，并且善于分析各图象的变化趋势．　二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（4分）(2014年福建漳州)若菱形的周长为20cm，则它的边长是　5　cm．【考点】菱形的性质．【分析】由菱形ABCD的周长为20cm，根据菱形的四条边都相等，即可求得其边长．解答：解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD， ∵菱形ABCD的周长为20cm， ∴边长为：20÷4=5（cm）．故答案为：5．【点评】此题考查了菱形的性质，注意掌握菱形四条边都相等定理的应用是解此题的关键，比较容易解答．　12．（4分）(2014年福建漳州)双曲线y= 所在象限内，y的值随x值的增大而减小，则满足条件的一个数值k为　3（答案不唯一）　．【考点】反比例函数的性质．【专题】开放型．【分析】首先根据反比例函数的性质可得k+1＞0，再解不等式即可．【解答】解：∵双曲线y= 所在象限内，y的值随x值的增大而减小， ∴k+1＞0，解得：k＞﹣1， ∴k可以等于3（答案不唯一）．故答案为：3（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数（k≠0），当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x 的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．　13．（4分）(2014年福建漳州)在《中国梦•我的梦》演讲比赛中，将5个评委对某选手打分情况绘成如图的统计图，则该选手得分的中位数是　9　分．【考点】中位数．【分析】将所有成绩排序后找到中间位置的数就是这组数据的中位数．【解答】解：5个数据分别为：8，8，9，9，10，位于中间位置的数为9，故中位数为9分，故答案为：9．【点评】考查了中位数的定义，正确的排序是解答本题的关键，难度较小．　14．（4分）(2014年福建漳州)如图，将一幅三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是　 ∠BOC　．【考点】余角和补角．【分析】因为是一幅三角尺，所以∠AOB=∠COD=90°，再利用∠AOD=∠AOB﹣ ∠BOD=90°﹣∠BOD，∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，同角的余角相等，可知与∠AOD始终相等的角是∠BOC．【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣∠BOD， ∴∠AOD=∠BOC．故答案为：∠BOC．【点评】本题主要考查了余角和补角．用到同角的余角相等．　15．（4分）(2014年福建漳州)水仙花是漳州市花，如图，在长为14m，宽为10 m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为　16　m．【考点】二元一次方程组的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设小长方形的长为xm，宽为ym，由图可知，长方形展厅的长是（2x+ y）m，宽为（x+2y）m，由此列出方程组求得长、宽，进一步解决问题．【解答】解：设小长方形的长为xm，宽为ym，由图可得解得x+y=8， ∴每个小长方形的周长为8×2=16m．故答案为：16．【点评】此题考查二元一次方程组的运用，看清图意，正确利用图意列出方程组解决问题．　16．（4分）(2014年福建漳州)已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n 个数是　3n﹣1　．（用含n的代数式表示）【考点】规律型：数字的变化类．【分析】根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得答案．【解答】解；已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是 3n﹣1，故答案为：3n﹣1．【点评】本题考查了数字的变化类，规律是第几个数就是3的几次方减1．　三、解答题（共9小题，满分86分） 17．（8分）(2014年福建漳州)先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1），其中x= ．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：原式=x2﹣1﹣x2+x=x﹣1，当x= 时，原式= ﹣1=﹣ ．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力，题目比较好，难度适中．　18．（8分）(2014年福建漳州)解不等式组：．【考点】解二元一次方程组．【专题】计算题．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：由①得：x＜2；由②得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x＜2．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　19．（8分）(2014年福建漳州)如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】先求出BC=EF，添加条件AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】AC=DE．证明：∵BF=EC， ∴BF﹣CF=EC﹣CF， ∴BC=EF，在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．　20．（8分）(2014年福建漳州)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是　108　度和　36　度；（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有　2n　个等腰三角形，其中有　n　个黄金等腰三角形．【考点】作图—应用与设计作图；黄金分割．【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及∠A的度数，进而得出这2个等腰三角形的顶角度数；（2）利用（1）种思路进而得出符合题意的图形；（3）利用当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形，进而得出规律求出答案．【解答】解：（1）如图1所示：∵AB=AC，∠A=36°， ∴当AE=BE，则∠A=∠ABE=36°，则∠AEB=108°，则∠EBC=36°， ∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；故答案为：108，36；（2）如图2所示：（3）如图3所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形； …∴在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．故答案为：2n，n．【点评】此题主要考查了应用作图与设计以及等腰三角形的性质，得出分割图形的规律是解题关键．　21．（8分）(2014年福建漳州)某中学组织网络安全知识竞赛活动，其中七年级 6个班组每班参赛人数相同，学校对该年级的获奖人数进行统计，得到每班平均获奖15人，并制作成如图所示不完整的折线统计图．（1）请将折线统计图补充完整，并直接写出该年级获奖人数最多的班级是　四　班；（2）若二班获奖人数占班级参赛人数的32%，则全年级参赛人数是　300　人；（3）若该年级并列第一名有男、女同学各2名，从中随机选取2名参加市级比赛，则恰好是1男1女的概率是　．【考点】折线统计图；列表法与树状图法．【专题】数形结合．【分析】（1）共有15×6=90人获奖，然后用90分别减去其他5个班的获奖人数即可得到三班获奖人数，然后将折线统计图补充完整，并且可得到四班有17人获奖，获奖人数最多；（2）先计算出二班参赛人数，然后乘以6即可得到全年级参赛人数；（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好是1男1女所占的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）三班获奖人数=6×15﹣14﹣16﹣17﹣15﹣15=13，折线统计图如图，该年级获奖人数最多的班级为四班；（2）二班参赛人数=16÷32%=50（人），所以全年级参赛人数=6×50=300（人）；（3）画树状图为：，共有12种等可能的结果数，其中恰好是1男1女占8种，所以恰好是1男1女的概率= =．【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了列表法与树状图法．　22．（10分）(2014年福建漳州)将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）．（参考数据： ≈1.73， ≈1.41）【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据题意得出AP，BP的长，再利用三角形面积求法得出NP的长，进而得出容器中牛奶的高度．【解答】解：过点P作PN⊥AB于点N，由题意可得：∠ABP=30°，AB=8cm，则AP=4cm，BP=AB•cos30°=4 cm， ∴NP×AB=AP×BP， ∴NP= ==2 （cm）， ∴9﹣2 ≈5.5（cm），答：容器中牛奶的高度为：5.5cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形以及三角形面积求法等知识，得出PN的长是解题关键．　23．（10分）(2014年福建漳州)杨梅是漳州的特色时令水果，杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批杨梅每件进价多少元？（2）老板以每件150元的价格销售第二批杨梅，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批杨梅的销售利润不少于320元，剩余的杨梅每件售价至少打几折？（利润=售价﹣进价）【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设第一批杨梅每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，再根据等量关系：第二批杨梅所购件数是第一批的2倍；（2）设剩余的杨梅每件售价y元，由利润=售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于320元，可列不等式求解．【解答】解：（1）设第一批杨梅每件进价x元，则 ×2= ，解得 x=120．经检验，x=120是原方程的根．答：第一批杨梅每件进价为120元；（2）设剩余的杨梅每件售价打y折．则： ×150×80%+ ×150×（1﹣80%）×0.1y﹣2500≥320，解得 y≥7．答：剩余的杨梅每件售价至少打7折．【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．　24．（12分）(2014年福建漳州)阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA= OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）（1）【理解与应用】如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上， PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为　．（2）【类比与推理】如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；（3）【拓展与延伸】如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH， DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG= ∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【考点】圆的综合题；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；弦切角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】（1）易证：OA=OB，∠AOB=90°，直接运用阅读材料中的结论即可解决问题．（2）易证：OA=OB=OC=0D= ，然后由条件PE∥OB，PF∥AO可证△AEP∽△AO B，△BFP∽△BOA，从而可得 ==1，进而求出EP+FP= ．（3）易证：AD=BC=4．仿照（2）中的解法即可求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值．【解答】解：（1）如图2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°． ∵AB=BC=2， ∴AC=2 ∴OA= ．．∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE+PF=OA= ．（2）如图3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°． ∵AB=4，AD=3， ∴BD=5． ∴OA=OB=OC=OD= ． ∵PE∥OB，PF∥AO， ∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA． ∴∴，．==1． ∴+=1． ∴EP+FP= ． ∴PE+PF的值为．（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4． ∵DG与⊙O相切， ∴∠GDA=∠ABD． ∵∠ADG=30°， ∴∠ABD=30°． ∴∠AOD=2∠ABD=60°． ∵OA=OD， ∴△AOD是等边三角形． ∴AD=OA=4．同理可得：BC=4． ∵PE∥BC，PF∥AD， ∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA． ∴∴∴，．==1． =1． ∴PE+PF=4． ∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了类比联想的能力，由一定的综合性．要求PE+PF的值，想到将相似所得的比式相加是解决本题的关键．　25．（14分）(2014年福建漳州)已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是　y=﹣x2﹣3　，衍生直线的解析式是　y=﹣x﹣3　；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2×2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n， P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△P OM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3）， ∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3， ∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4， ∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4）， ∴﹣4=a•1﹣3，解得 a=﹣1， ∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．设衍生直线为y=kx+b， ∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4）， ∴∴，，∴衍生直线为y=﹣x﹣3．（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点， ∴将y=﹣2×2+1和y=﹣2x+1联立，得，解得或，∵衍生抛物线y=﹣2×2+1的顶点为（0，1）， ∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1， ∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1）， ∴1=a（0﹣1）2﹣1，解得 a=2， ∴原抛物线为y=2×2﹣4x+1．（3）∵N（0，﹣3）， ∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3， ∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．设点P坐标为（x，﹣2）， ∵O（0，0），M（1，﹣4）， ∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17， OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4， MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5． ①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，解得x= 或x= ，即P（，﹣2）或P（，﹣2）． ②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得 x=9，即P（9，﹣2）． ③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．综上所述，当P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8， ﹣2）时，△POM为直角三角形．【点评】本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是“利用其表示坐标系中两点距离” 是近几年考试的热点，学生需熟练运用．