2014年福建省泉州市中考数学试卷（含解析版）

2014年福建省泉州市中考数学试卷一、选择题（每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡题目区域内作答答对的得3分，答错或不答一律得0分．） 1．（3分）（2014•泉州）2014的相反数是（　　） ﹣2014 　A．2014 B． C． D． D． 2．（3分）（2014•泉州）下列运算正确的是（　　） 22 2 632336　A． B．2（a+1）=2a+1 C．（ab） =a b a +a =a a ÷a =a 3．（3分）（2014•泉州）如图的立体图形的左视图可能是（　　）　 A． B． C． D． 4．（3分）（2014•泉州）七边形外角和为（　　） 180° 360° 900° 1260° D．　A． 5．（3分）（2014•泉州）正方形的对称轴的条数为（　　）　A．1 B．2 C．3 B． C． D．4 6．（3分）（2014•泉州）分解因式x2y﹣y3结果正确的是（　　） y（x﹣y）2 y（x+y）（x﹣y） D． y（x2﹣y2） 2　A． B． C． y（x+y） 7．（3分）（2014•泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y= （m≠0）的图象可能是（　　）　A． B． C． D．二、填空题(每小题4分，共40分） 8．（4分）（2014•泉州）2014年6月，阿里巴巴注资1200000000元入股广州恒大，将数据1 200000000用科学记数法表示为　　． 9．（4分）（2014•泉州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=50°，则∠BOC=　°． 10．（4分）（2014•泉州）计算： 11．（4分）（2014•泉州）方程组 +=　．的解是　　． 12．（4分）（2014•泉州）在综合实践课上，六名同学的作品数量（单位：件）分别为：3 、5、2、5、5、7，则这组数据的众数为　件． 13．（4分）（2014•泉州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b都相交，∠1=65°，则∠2= 　　 °． 14．（4分）（2014•泉州）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10c m，则CD的长为　cm． 15．（4分）（2014•泉州）如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD= 　　°． 16．（4分）（2014•泉州）已知：m、n为两个连续的整数，且m＜＜n，则m+n=　．17．（4分）（2014•泉州）如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是 90°的最大扇形ABC，则：（1）AB的长为　米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为　米．三、解答题（共89分） 18．（9分）（2014•泉州）计算：（2 ﹣1）0+|﹣6|﹣8×4﹣1 +．19．（9分）（2014•泉州）先化简，再求值：（a+2）2+a（a﹣4），其中a= ．20．（9分）（2014•泉州）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，B E=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE． 21．（9分）（2014•泉州）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率． 22．（9分）（2014•泉州）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点O（0， 0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？ 23．（9分）（2014•泉州）课外阅读是提高学生素养的重要途径．某校为了了解学生课外阅读情况，随机抽查了50名学生，统计他们平均每天课外阅读时间（t小时）．根据t的长短分为A，B，C，D四类，下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表．请根据图中提供的信息，解答下面的问题： 50名学生平均每天课外阅读时间统计表类别 A时间t（小时） t＜0.5 人数 10 20 15 aB0.5≤t＜1 1≤t＜1.5 t≥1.5 CD（1）求表格中的a的值，并在图中补全条形统计图；（2）该校现有1300名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于1小时？　24．（9分）（2014•泉州）某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B 处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：（1）填空：乙的速度v2=　米/分；（2）写出d1与t的函数关系式；（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？　25．（12分）（2014•泉州）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥BC． ①判断四边形DECF一定是什么形状？ ②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．　26．（14分）（2014•泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′； ①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值； ②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC= ．　2014年福建省泉州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡题目区域内作答答对的得3分，答错或不答一律得0分．） 1．（3分）（2014•泉州）2014的相反数是（　　） ﹣2014 　A．2014 B． C． D．考点相反数．：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．分析：解：2014的相反数是﹣2014．故选B．解答：点评本题考查了相反数的概念，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．：　2．（3分）（2014•泉州）下列运算正确的是（　　） 22 2 632336　A． B．2（a+1）=2a+1 C． D． a ÷a =a （ab） =a b a +a =a 同底数幂的除法；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方．根据二次根式的运算法则，乘法分配律，幂的乘方及同底数幂的除法法则判断．考点：分析：解：A、a3+a3=2a3，故选项错误； B、2（a+1）=2a+2≠2a+1，故选项错误； C、（ab）2=a2b2，故选项正确； D、a6÷a3=a3≠a2，故选项错误．故选：C．解答：点评本题主要考查了二次根式的运算法则，乘法分配律，幂的乘方及同底数幂的除法法则，解题的关键是熟记法则运算：　3．（3分）（2014•泉州）如图的立体图形的左视图可能是（　　）　A． B． C． D．简单几何体的三视图．考点：左视图是从物体左面看，所得到的图形．分析：解：此立体图形的左视图是直角三角形，故选：A．解答：点评本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．：　4．（3分）（2014•泉州）七边形外角和为（　　） 180° 360° 900° 1260° D．　A． B． C．多边形内角与外角．考点：根据多边形的外角和等于360度即可求解．分析：解：七边形的外角和为360°．故选B．解答：点评本题考查了多边形的内角和外角的知识，属于基础题，掌握多边形的外角和等于360 °是解题的关键．：　5．（3分）（2014•泉州）正方形的对称轴的条数为（　　）　A．1 B．2 C．3 D．4 轴对称的性质考点：根据正方形的对称性解答．分析：解：正方形有4条对称轴．故选D．解答：点评本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键．：　6．（3分）（2014•泉州）分解因式x2y﹣y3结果正确的是（　　） y（x﹣y）2 y（x+y）（x﹣y） D． y（x2﹣y2） 2　A． B． C． y（x+y）提公因式法与公式法的综合运用考点：首先提取公因式y，进而利用平方差公式进行分解即可．分析：解：x2y﹣y3=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y）．故选：D．解答：点评此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．：　7．（3分）（2014•泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y= （m≠0）的图象可能是（　　）　A． B． C． D．反比例函数的图象；一次函数的图象．考点：先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．分析：解答：解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，由函数y= 的图象可知m＞0，故本选项正确； B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，由函数y= 的图象可知m＞0，相矛盾，故本选项错误； C、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而减小，则m＜0，而该直线与y轴交于正半轴，则m＞0，相矛盾，故本选项错误； D、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而增大，则m＞0，而该直线与y轴交于负半轴，则m＜0，相矛盾，故本选项错误；故选：A．点评本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．：　二、填空题(每小题4分，共40分） 8．（4分）（2014•泉州）2014年6月，阿里巴巴注资1200000000元入股广州恒大，将数据1 200000000用科学记数法表示为　1.2×109　．科学记数法—表示较大的数考点：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将1200000000用科学记数法表示为：1.2×109．分析：解答：故答案为：1.2×109．点评此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a| ＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．：　9．（4分）（2014•泉州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=50°，则∠BOC=　50　 °．对顶角、邻补角．考点：根据对顶角相等，可得答案．分析：解；∵∠BOC与∠AOD是对顶角， ∴∠BOC=∠AOD=50°，故答案为：50．解答：点评本题考查了对顶角与邻补角，对顶角相等是解题关键．：　10．（4分）（2014•泉州）计算： +=　1　．考点分式的加减法：根据同分母分式相加，分母不变分子相加，可得答案．分析：解答：解：原式= =1，故答案为：1．点评本题考查了分式的加减，同分母分式相加，分母不变分子相加．：　11．（4分）（2014•泉州）方程组的解是　　．解二元一次方程组．计算题．考点：专题：方程组利用加减消元法求出解即可．分析：解答：解：，①+②得：3x=6，即x=2，将x=2代入①得：y=2，则方程组的解为．故答案为：点评此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与：　加减消元法． 12．（4分）（2014•泉州）在综合实践课上，六名同学的作品数量（单位：件）分别为：3 、5、2、5、5、7，则这组数据的众数为　5　件．考点众数．：根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案．分析：解：∵5出现了3次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为5；故答案为：5．解答：点评此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．：　13．（4分）（2014•泉州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b都相交，∠1=65°，则∠2=　 65　°．平行线的性质．考点：根据平行线的性质得出∠1=∠2，代入求出即可．分析：解：∵直线a∥b， ∴∠1=∠2，解答：∵∠1=65°， ∴∠2=65°，故答案为：65．点评本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．：　14．（4分）（2014•泉州）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10c m，则CD的长为　5　cm．直角三角形斜边上的中线．考点：分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD= AB．解：∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点， ∴CD= AB= ×10=5cm．解答：故答案为：5．点评本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．：　15．（4分）（2014•泉州）如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=　 110　°．等腰三角形的性质．考点：先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠A，再根据三角形的外角等于等于与它不相邻的两个内角的和，进行计算即可．分析：解答解：∵CA=CB，：∴∠A=∠ABC， ∵∠C=40°， ∴∠A=70° ∴∠ABD=∠A+∠C=110°．故答案为：110．点评此题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质、三角形的外角等于等于与它不相邻的两个内角的和．：　16．（4分）（2014•泉州）已知：m、n为两个连续的整数，且m＜＜n，则m+n=　7　．考点估算无理数的大小．：先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论．分析：解答解：∵9＜11＜16，：∴3＜＜4， ∴m=3，n=4， ∴m+n=3+4=7．故答案为：7．点评：本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出键．的取值范围是解答此题的关　17．（4分）（2014•泉州）如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是 90°的最大扇形ABC，则：（1）AB的长为　1　米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为　米．圆锥的计算；圆周角定理计算题．考点：专题：（1）根据圆周角定理由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径，即BC= ，根据等腰直角三角形的性质得AB=1；分析：（2）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2π r= ，然后解方程即可．解答解：（1）∵∠BAC=90°， ∴BC为⊙O的直径，即BC= ∴AB= BC=1；，：（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr= 解得r= ．，故答案为1，．点评本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．：　三、解答题（共89分） 18．（9分）（2014•泉州）计算：（2 ﹣1）0+|﹣6|﹣8×4﹣1 +．实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．考点：本题涉及零指数幂、绝对值、负指数幂、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．分析：解答：解：原式=1+6﹣8× +4 =1+6﹣2+4 =9．点评本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、绝对值、负指数幂、二次根式化简等考点的运算．：　19．（9分）（2014•泉州）先化简，再求值：（a+2）2+a（a﹣4），其中a= ．整式的混合运算—化简求值考点：首先利用完全平方公式和整式的乘法计算，再进一步合并得出结果，最后代入求得分析：数值即可．解：（a+2）2+a（a﹣4） =a2+4a+4+a2﹣4a =2a2+4，解答：当a= 时，原式=2×（）2+4=10．点评此题考查整式的化简求值，注意先化简，再代入求值．：　20．（9分）（2014•泉州）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，B E=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．矩形的性质；平行四边形的判定与性质证明题．考点：专题：根据矩形的性质得出DC∥AB，DC=AB，求出CF=AE，CF∥AE，根据平行四边形的判分析：定得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出答案．证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB，DC=AB， ∴CF∥AE，解答：∵DF=BE， ∴CF=AE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF=CE．点评本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，平行四边形的对边相等．：　21．（9分）（2014•泉州）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．列表法与树状图法；概率公式．考点：（1）由在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；分析：（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出相同颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，解答：∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是：；（2）画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次取出相同颜色球的有3种情况， ∴两次取出相同颜色球的概率为： = ．点评本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．：　22．（9分）（2014•泉州）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点O（0， 0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．考点：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；分析：（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB= OA′=1，A′B= OB= ，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣ （x﹣1）2+ 的顶点．解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点O（0，0），A（2，0）． ∴抛物线的对称轴为直线x=1；解答：（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B， ∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′， ∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°， ∴OB= OA′=1， ∴A′B= OB= ，∴A′点的坐标为（1，）， ∴点A′为抛物线y=﹣ （x﹣1）2+ 的顶点．点评本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ，：），对称轴直线x=﹣ ，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；x=﹣ 时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；x=﹣ 时，y取得 ﹣最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．　23．（9分）（2014•泉州）课外阅读是提高学生素养的重要途径．某校为了了解学生课外阅读情况，随机抽查了50名学生，统计他们平均每天课外阅读时间（t小时）．根据t的长短分为A，B，C，D四类，下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表．请根据图中提供的信息，解答下面的问题： 50名学生平均每天课外阅读时间统计表类别 A时间t（小时） t＜0.5 人数 10 20 15 aB0.5≤t＜1 1≤t＜1.5 t≥1.5 CD（1）求表格中的a的值，并在图中补全条形统计图；（2）该校现有1300名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于1小时？条形统计图；用样本估计总体；统计表考点：（1）用抽查的学生的总人数减去A，B，C三类的人数即为D类的人数也就是a的值，并补全统计图；分析：（2）先求出课外阅读时间不少于1小时的学生占的比例，再乘以1300即可．解：（1）50﹣10﹣20﹣15=5（名），解答：故a的值为5，条形统计图如下：（2）1300× =520（名），答：估计该校共有520名学生课外阅读时间不少于1小时．点评本题主要考查样本的条形图的知识和分析问题以及解决问题的能力，属于基础题．：　24．（9分）（2014•泉州）某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B 处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：（1）填空：乙的速度v2=　40　米/分；（2）写出d1与t的函数关系式；（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？一次函数的应用考点：（1）根据路程与时间的关系，可得答案；分析：（2）根据甲的速度是乙的速度的1.5倍，可得甲的速度，根据路程与时间的关系，可得a的值，根据待定系数法，可得答案；（3）根据两车的距离，可得不等式，根据解不等式，可得答案．解答：解：（1）乙的速度v2=120÷3=40（米/分），故答案为：40；（2）v1=1.5v2=1.5×40=60（米/分）， 60÷60=1（分钟），a=1， d1= ；（3）d2=40t，当0≤t≤1时，d2﹣d1＞10，即﹣60t+60﹣40t＞10，解得0 当0 ；时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；当1≤t≤3时，d1﹣d2＞10，即40t﹣（60t﹣60）＞10，当1≤ 时，两遥控车的信号不会产生相互干扰综上所述：当0 或1≤t 时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．点评本题考查了一次函数的应用，（1）利用了路程速度时间三者的关系，（2）分段函数分别利用待定系数法求解，（3）当0≤t≤1时，d2﹣d1＞10；当1＜t≤3时，d1﹣d2＞1 0，分类讨论是解题关键．：　25．（12分）（2014•泉州）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥BC． ①判断四边形DECF一定是什么形状？ ②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．四边形综合题考点：（1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽ △ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．分析：（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．解答解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF是平行四边形． ②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H， ∵∠ACB=45°，AC=24cm ：∴AG= =12 ，设DF=EC=x，平行四边形的高为h，则AH=12 h， ∵DF∥BC， ∴=，∵BC=20cm，即： =∴x= ×20， ∵S=xh=x• ×20=20h﹣ h2． ∴﹣ =﹣ =6 ，∵AH=12 ，∴AF=FC， ∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．点评本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论．：　26．（14分）（2014•泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′； ①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值； ②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC= ．反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义压轴题；探究型．考点：专题：分析：（1）设反比例函数的关系式y= ，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC 的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′ C的值． ②由于BC=2，sin∠BMC= ，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．解答：解：（1）设反比例函数的关系式y= ． ∵点P（2，1）在反比例函数y= 的图象上， ∴k=2×1=2． ∴反比例函数的关系式y= ．（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．当x=0时，y=0+3=3，则点B的坐标为（0，3）．OB=3．当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，则点A的坐标为（3，0），OA=3． ∵点A关于y轴的对称点为A′， ∴OA′=OA=3． ∵PC⊥y轴，点P（2，1）， ∴OC=1，PC=2． ∴BC=2． ∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1， ∴A′B=3 ，A′C= ∴△A′BC的周长为3 ．++2． ∵S△ABC= BC•A′O= A′B•CD， ∴BC•A′O=A′B•CD． ∴2×3=3 ×CD． ∴CD= ．∵CD⊥A′B， ∴sin∠BA′C= ==．∴△A′BC的周长为3 ②当1＜m＜2时， ++2，sin∠BA′C的值为．作经过点B、C且半径为m的⊙E，连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，过点E作EG⊥OB，垂足为G，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示． ∵CP是⊙E的直径， ∴∠PBC=90°． ∴sin∠BPC= == ． ∵sin∠BMC= ， ∴∠BMC=∠BPC． ∴点M在⊙E上． ∵点M在x轴上 ∴点M是⊙E与x轴的交点． ∵EG⊥BC， ∴BG=GC=1． ∴OG=2． ∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°， ∴四边形OGEH是矩形． ∴EH=OG=2，EG=OH． ∵1＜m＜2， ∴EH＞EC． ∴⊙E与x轴相离． ∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC= ． ②当m=2时，EH=EC． ∴⊙E与x轴相切． Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示． ∴点M与点H重合． ∵EG⊥OG，GC=1，EC=m， ∴EG= =．∴OM=OH=EG= ．∴点M的坐标为（，0）． Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，同理可得：点M的坐标为（﹣ ，0）． ③当m＞2时，EH＜EC． ∴⊙E与x轴相交． Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示． ∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2， ∴MH= ==．∵EH⊥MM′， ∴MH=M′H． ∴M′H═ ．∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m， ∴EG= ==．∴OH=EG= ．∴OM=OH﹣MH= ∴OM′=OH+HM′= ﹣，+，∴M（ ﹣，0）、M′（ +，0）． Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，同理可得：M（﹣ +，0）、M′（﹣ ﹣，0）．综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣ ，0）；当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（，0）、（﹣ ﹣，0）、（ ++，0）、（﹣ ﹣，0）．点评本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC ：=2，sin∠BMC= 联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．