山东省滨州市2021年中考数学真题（解析版）

2021 年山东省滨州市中考数学试卷一、选择题：本大题共 12 个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。每小题涂对得 3 分，满分 36 分． 1. 在数轴上，点 A 表示-2．若从点 A 出发，沿数轴的正方向移动 4 个单位长度到达点 B，则点 B 表示的数是（ A. -6 ）B. -4 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】【分析】根据数轴的特点，可知从点 A 出发，沿数轴的正方向移动 4 个单位长度到达点 B，则点 B 表示的数为-2+4，然后计算即可．【详解】解：由题意可得，点 B 表示的数为-2+4=2，故选：C．【点睛】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，点向左平移表示的数值变小，向右平移表示的数值变大． 2. 在 A. 3 中，若，，，则点 C 到直线 AB 的距离为（）RtABC C  90 AC  3 BC  4 B. 4 C. 5 D. 2.4 【答案】D 【解析】【分析】根据题意画出图形，然后作 CD⊥AB 于点 D，根据勾股定理可以求得 AB 的长，然后根据面积法，可以求得 CD 的长．【详解】解：作 CD⊥AB 于点 D，如右图所示， ∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， AC2  BC2 AC  BC ABCD ∴AB= =5， ∵∴，223 4 5CD 2，2解得 CD=2.4，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答． 3. 下列计算中，正确的是（）2a  3a  5a2 a2 a3  a6 2a3a  6a2 A. B. C. D. 3a2  a8 【答案】C 【解析】【分析】根据单项式加单项式和合并同类项的方法可以判断 A，根据同底数幂的乘法可以判断 B，根据单项式乘单项式可以判断 C，根据幂的乘方可以判断 D．【详解】解：2a+3a=5a，故选项 A 不符合题意； a2•a3=a5，故选项 B 不符合题意； 2a•3a=6a2，故选项 C 符合题意；（a2）3=a6，故选项 D 不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、单项式乘单项式、积的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法，计算出正确的结果． 4. 如图，在□ ABCD 中，BE 平分∠ABC 交 DC 于点 E．若，则∠DEB 的大小 A  60 为（）A. 130° B. 125° C. 120° D. 115° 【答案】C 【解析】【分析】根据平行四边形的性质，可以得到AD∥BC ， DC∥AB ，然后即可得到 ∠A+∠ABC=180°，∠ABE+∠DEB=180°，再根据∠A=60°，BE 平分∠ABC，即可得到∠DEB 的度数．【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，DC∥AB， ∴∠A+∠ABC=180°，∠ABE+∠DEB=180°， ∵∠A=60°， ∴∠ABC=120°， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABE=60°， ∴∠DEB=120°，故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 5. 如图所示的几何体，是由几个相同的小正方体组合而成的，其俯视图为（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据题目中的立体图形，可以直接作出它的俯视图，从而可以解答本题．【详解】解：由图可得，俯视图为：故选：B．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解答本题的关键是画出它的俯视图． x  6  2x 6. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（） x  2 x 1 54A. C. B. D. 【答案】B 【解析】【分析】先解出不等式组中的每一个不等式的解集，然后即可写出不等式组的解集，再在数轴上表示出每一个不等式的解集即可． x  6  2x① 【详解】解：，x  2 x 1 ②54解不等式①，得：x＞-6，解不等式②，得：x≤13，的故原不等式组解集是-6＜x≤13，其解集在数轴上表示如下：故选：B．【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法，会在数轴上表示不等式组的解集． 7. 下列一元二次方程中，无实数根的是（）x2  2x 3  0 x2  2x 1 0 x2  3x  2  0 x2  2x  3  0 A. B. D. C. 【答案】D 【解析】【分析】计算出各个选项中的 Δ 的值，然后根据 Δ＞0 有两个不等式的实数根，Δ=0 有两个相等实数根，Δ＜0 无实数根判断即可．【详解】解：在 x2-2x-3=0 中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×（-3）=16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项 A 不符合题意；在 x2+3x+2=0 中，Δ=b2-4ac=32-4×1×2=1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项 B 不符合题意；在 x2-2x+1=0 中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，即该方程有两个相等实数根，故选项 C 不符合题意；在 x2+2x+3=0 中，Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8＜0，即该方程无实数根，故选项 D 符合题意；故选：D．【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确 Δ＞0 有两个不等式的实数根，Δ=0 有两个相等实数根，Δ＜0 无实数根． 8. 在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（）114341A. B. C. D. 23【答案】A 【解析】【分析】首先判断各图形是否是轴对称图形，再根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，正六边形是轴对称图形，分别用 A、B、C、D 表示线段、等边三角形、平行四边形和正六边形， 612∴随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为 =，12 故选：A．【点睛】本题考查概率公式、轴对称图形，解答本题的关键是写出题目中的图形是否为轴对称图形，明确两张都是轴对称图形是同时发生的． O O 9. 如图，是的外接圆，CD 是的直径．若，弦，则 ABC CD 10 AC  6 的值为（）cosABC 4A. 3B. 4C. 3D. 5453【答案】A 【解析】【分析】连接 AD，根据直径所对的圆周角等于 90°和勾股定理，可以求得 AD 的长，然后即可求得∠ADC 的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到 cos∠ABC 的值．【详解】解：连接 AD，如右图所示， ∵CD 是⊙O 的直径，CD=10，弦 AC=6， ∴∠DAC=90°， CD2  AC2 ∴AD= =8， 45AD 8∴cos∠ADC= =，CD 10 ∵∠ABC=∠ADC， ∴cos∠ABC 的值为故选：A． 45，【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出 cos∠ADC 的值，利用数形结合的思想解答． 1y  x2  6x  21 10. 对于二次函数，有以下结论：①当时，y 随 x 的增大而增大；② x  5 21y  x2 当时，y 有最小值 3；③图象与 x 轴有两个交点；④图象是由抛物线向左平 x  6 2移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 112y  x2  6x  21 x  6  3 【详解】解：∵二次函数，22∴该函数的对称轴为直线 x=6，函数图象开口向上，当 5＜x＜6 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大，故①不符合题意；当 x=6 时，y 有最小值 3，故②符合题意；当 y=0 时，无实数根，即图象与 x 轴无交点，故③不符合题意； 1y  x2 2图象是由抛物线符合题意；向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到的，故④不故正确的是②，正确的个数是 1，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 11. 如图，在中，，点 C 为边 AB 上一点，且．如果函数 OAB BOA  45 BC  2AC 9y  x  0 的图象经过点 B 和点 C，那么用下列坐标表示的点，在直线 BC 上的是（）xA. （-2019，674） C. （2021，-669）【答案】D B. （-2020，675） D. （2022，-670）【解析】的【分析】根据反比例函数图象上点坐标特征，求出B、C 点的坐标，再写出 BC 解析式，再判断点在 BC 上．【详解】解：作，BD  OA CE  OA ，BOA  45 ，BD  OD ，B(a,a) 设，9a  ，aa  3 或（舍去）， a  3 BD  OD  3 ，B(3,3) ，BC  2AC \ AB = 3AC BD  OA ．，，，CE  OA BD / /CE ，.ABD∽ACE BD AB  3 ，CE AC 3 3 ，CE ，CE 1 图象经过点，C91 ，，xx  9 C(9,1) y  kx  b 设BC 的解析式为，3  3k  b ，1 9k  b 1k   b  4 3解得，1y  x  4 ，3y  677 x  2019 当当时，，1y  677 x  2020时，，，32y  669 y  670 当当时， x  2021 3x  2022 时，，故选：D．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的性质，能求出 BC 的解析式是解题的关键． 12. 在锐角中，分别以 AB 和 AC 为斜边向的外侧作等腰和等腰 ABC ABC RtABM ，点 D、E、F 分别为边 AB、AC、BC 的中点，连接 MD、MF、FE、FN．根据题 RtACN 意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：① ，② DMF  EFN ，MD  FE 1S S ③FM  FN ，④ 四边形ABFE ，其中结论正确的个数为（）△CEF 2A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和三角形中位线定理判断结论①，连接 DF，EN，通过 SAS 定理证明△MDF≌△FEN 判断结论②，利用全等三角形的性质结合平行四边形的判定和性质判断结论③，利用相似三角形的判定和性质判定结论④．【详解】解：∵D、E、F 分别为边 AB、AC、BC 的中点，且△ABM 是等腰直角三角形， 11∴DM= AB，EF= AB，EF∥AB，∠MDB=90°， 22∴DM=EF，∠FEC=∠BAC，故结论①正确；连接 DF，EN， ∵D、E、F 分别为边 AB、AC、BC 的中点，且△ACN 是等腰直角三角形， 11∴EN= AC，DF= AC，DF∥AC，∠NEC=90°， 22∴EN=DF，∠BDF=∠BAC，∠BDF=∠FEC， ∴∠BDF+∠MDB=∠FEC+∠NEC， ∴∠MDF=∠FEN，在△MDF 和△FEN 中， MD  EF MDF  FEN DF  EN ，∴△MDF≌△FEN（SAS）， ∴∠DMF=∠EFN，故结论②正确； ∵EF∥AB，DF∥AC， ∴四边形 ADFE 是平行四边形， ∴∠DFE=∠BAC，又∵△MDF≌△FEN， ∴∠DFM=∠ENF， ∴∠EFN+∠DFM =∠EFN+∠ENF =180°-∠FEN =180°-（∠FEC+∠NEC） =180°-（∠BAC+90°） =90°-∠BAC， ∴∠MFN=∠DFE+∠EFN+∠DFM=∠BAC+90°-∠BAC=90°， ∴MF⊥FN，故结论③正确； ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， EF AB 12∴∴，S△EFC S△ABC 1，41∴S△CEF =S四边形 ABFE，故结论④错误， 3∴正确的结论为①②③，共 3 个，故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，题目难度适中，有一定的综合性，适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键．二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，满分 24 分． 113. 使得代数式有意义的 x的取值范围是_____． x 3 x【答案】＞ 3【解析】【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． 1【详解】解：∵代数式有意义， x 3 ﹣∴x 3＞0， ∴x＞3， ∴x 的取值范围是 x＞3，故答案为 x＞3．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 14. 如图，在中，点 D 是边 BC 上的一点．若，，则 ABC AB  AD  DC BAD  44 ∠C 的大小为____________．【答案】34° 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以先计算出∠ADB 的度数，然后再根据 AD=DC，∠ADB=∠C+∠DAC，即可得到∠C 的度数．【详解】解：∵AB=AD， ∴∠B=∠ADB， ∵∠BAD=44°， 180  44 ∴∠ADB= =68°， 2∵AD=DC，∠ADB=∠C+∠DAC， 1∴∠C=∠DAC= ∠ADB=34°， 2故答案为：34°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 1 1  32  3 8   0  2  15. 计算： ________________________．   3  【答案】 3 2 【解析】【分析】根据算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值和负整数指数幂可以解答本题． 1 1  32  3 8   0  2  【详解】解：   3  4 2 2  1 2 3 4 2 2  2 1 3 ====4 2 2  2 13 3 2 故答案为：．3 2 的关【点睛】本题考查算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值和负整数指数幂，解答本题键是明确它们各自的计算方法． 16. 某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如表所示：身高（cm） 163 1164 2165 3166 1168 1人数那么，这批女演员身高的方差为____________．【答案】2cm2 【解析】【分析】根据表格中的数据，可以先求出平均数，然后根据方差的计算方法代入数据计算即可． 1631164 2 1653 16611681 x  165(cm) ，【详解】解： 1 2  3 11 1s2  [(163 165)2 1 (164 165)2  2  (165 165)2 3  (166 165)2 1 (168 165)2 1] 1 2  3 11  2(cm2 ) ，故答案为：2cm2．【点睛】本题考查方差，解答本题的关键是求出数据的平均数，明确方差的计算方法 (x1  x)2  (x2  x)2  (xn  x)2 s2  ．nk2 1 x1A 1, y  1  B  , y C 1, y 、17. 若点、3  都在反比例函数（k 为常数）的图 y  24yyy、 3 的大小关系为____________．象上，则、12y  y  y 【答案】【解析】 213k2 1 2【分析】根据反比例函数的性质和，可以得到反比例函数的图象所在 y  k 1 0 xyyy、 3 的大小关系．的象限和在每个象限内的增减性，然后即可判断、12k2 1 2【详解】解：反比例函数为常数），，y  (k k 1 0 xyx该函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， k2 1 1A(1, y ) B( 、y ) ，、 2C(1, y ) 点都在反比例函数为常数）的图象上， y  (k 314×11  ，点 AB、在第三象限，点在第一象限， C4 y2  y1  y3 ，y  y  y 故答案为：．213【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，会用反比例函数的性质判断函数值的大小关系，注意第三象限内点的纵坐标始终小于第一象限内点的纵坐标． 18. 如图，在中，，ACB  90 BAC  30 ，．若点 P 是内一 ABC ABC AB  2 点，则 PA PB  PC 的最小值为____________．【答案】 7【解析】【分析】根据题意，首先以点 A 为旋转中心，顺时针旋转△APB 到△AP′B′，旋转角是 60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到 PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到 PA+PB+PC 的最小值就是 CB′的值，然后根据勾股定理可以求得 CB′的值，从而可以解答本题．【详解】解：以点 A 为旋转中心，顺时针旋转△APB 到△AP′B′，旋转角是 60°，连接 BB′、 PP′，，如图所示， CB 则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′， ∴△APP′是等边三角形， ∴AP=PP′， ∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC， ∵PP′+P′B′+PC≥CB′， ∴PP′+P′B′+PC 的最小值就是 CB′的值，即 PA+PB+PC 的最小值就是 CB′的值， =2 ，∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB= AB 3∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°= ，2  3 222 ∴CB′= ，AC  AB  7 故答案为：．7【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出 PA+PB+PC 的最小值就是 CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．三、解答题：本大题共 6 个小题，满分 60 分．解答时请写出必要的演推过程． x 1 x  2 x  4 x  2 19. 计算：．x2  4x  4 x2  2x 1【答案】【解析】 x2  2x 【分析】先将括号内的式子通分，然后将括号外的除法转化为乘法，再约分即可． x 1 x  2 x  4 ()  【详解】解： x2  4x  4 x2  2x x 2 x 1 x  2 x  2  [ ] (x  2)2 x(x  2) x  4 x(x 1)  (x  2)(x  2) x  2 x(x  2)2 x  4 x2  x  x2  4 1x(x  2) x  4 (x  4) x(x  2) x  4 11    x(x  2) 1．x2  2x 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确异分母分式减法和分式除法的运算法则和运算顺序． 20. 某商品原来每件的售价为 60 元，经过两次降价后每件的售价为 48.6 元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为 40 元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品 20 件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于 200 元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？【答案】（1）10%；（2）6 件【解析】【分析】（1）根据某商品原来每件的售价为 60 元，经过两次降价后每件的售价为 48.6 元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为 x，从而可以列出方程 60（1-x） 2=48.6，然后求解即可；（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．【详解】解：（1）设该商品每次降价的百分率为 x， 60（1-x）2=48.6，解得 x1=0.1，x2=1.9（舍去），答：该商品每次降价的百分率是 10%；（2）设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出（20-a）件，由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200， 55解得 a≥ ，27 ∵a 为整数， ∴a 的最小值是 6，答：第一次降价至少售出 6 件后，方可进行第二次降价．【点睛】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型．的21. 如图，矩形 ABCD 对角线 AC、BD 相交于点 O，，BE//AC AE//BD ．（1）求证：四边形 AOBE 是菱形；（2）若，AOB  60 AC  4 ，求菱形 AOBE 的面积．【答案】（1）证明过程见解答；（2） 2 3 【解析】【分析】（1）根据 BE∥AC，AE∥BD，可以得到四边形 AOBE 是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到 OA=OB，由菱形的定义可以得到结论成立；（2）根据∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形 AOBE 边 OA 上的高，然后根据菱形的面积= 底×高，代入数据计算即可．【详解】解：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形 AOBE 是平行四边形， ∵四边形 ABCD 是矩形， 11∴AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD， 22∴OA=OB， ∴四边形 AOBE 是菱形；（2）解：作 BF⊥OA 于点 F， ∵四边形 ABCD 是矩形，AC=4， 11∴AC=BD=4，OA=OC= AC，OB=OD= BD， 22∴OA=OB=2， ∵∠AOB=60°， 3∴BF=OB•sin∠AOB= ，2  3 2∴菱形 AOBE 的面积是：OA•BF= =．2 3 2 3 【点睛】本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积=底×高或者是对角线乘积的一半． 22. 甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为 20 米/秒和 25 米/秒．现甲车在乙车前 500 米处，设 x 秒后两车相距 y 米，根据要求解答以下问题：（1）当（秒）时，两车相距多少米？当（秒）时呢？ x  50 x 150 （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象．【答案】（1）当 x=50（秒）时，两车相距 250 米，当 x=150（秒）时，两车相距 250 米； 5x  500 0 x 100 y  （2）；（3）见解析 5x  500 x 100 【解析】【分析】（1）根据题意，可以先计算出两车相遇需要的时间，然后即可计算出当 x=50 和 x=150 时，两车的距离；（2）先计算出两车相遇需要的时间，然后根据 x 的取值范围不同，写出相应的函数解析式即可；（3）根据（2）中的函数解析式和两点确定一次函数的图象的方法，可以画出相应的函数图象．【详解】解：（1）∵500÷（25-20）=500÷5=100（秒）， ∴当 x=50 时，两车相距：20×50+500-25×50=1000+500-1250=250（米），当 x=150 时，两车相距：25×150-（20×150+500）=3750-（3000+500）=3750-3500=250 （米），答：当 x=50（秒）时，两车相距 250 米，当 x=150（秒）时，两车相距 250 米；（2）由题意可得，乙车追上甲车用的时间为：500÷（25-20）=500÷5=100（秒）， ∴当 0≤x≤100 时，y=20x+500-25x=-5x+500，当 x＞100 时，y=25x-（20x+500）=25x-20x-500=5x-500， 5x  500 0 x 100 y  由上可得，y 与 x 的函数关系式是；5x  500 x 100 （3）在函数 y=-5x+500 中，当 x=0 时，y=-5×0+500=500，当 x=100 时，y=-5×100+500=0，即函数 y=-5x+500 的图象过点（0，500），（100，0）；在函数 y=5x-500 中，当 x=150 时，y=250，当 x=200 时，y=500，即函数 y=5x-500 的图象过点（150，250），（200，500），画出（2）中所求函数的图象如图所示．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． O O O 23. 如图，在中，AB 为的直径，直线 DE 与相切于点 D，割线于AC  DE O 点 E 且交于点 F，连接 DF．（1）求证：AD 平分∠BAC； 2（2）求证：．DF  EF  AB 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接 OD，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到∠ODA=∠DAC，再根据 OA=OD，可以得到∠OAD=∠ODA，从而可以得到∠DAC=∠OAD，结论得证；（2）根据相似三角形的判定和性质，可以得到 DB•DF=EF•AB，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立．【详解】解：（1）证明：连接 OD，如图所示， ∵直线 DE 与⊙O 相切于点 D，AC⊥DE， ∴∠ODE=∠DEA=90°， ∴OD∥AC， ∴∠ODA=∠DAC， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠DAC=∠OAD， ∴AD 平分∠BAC；（2）证明：连接 OF，BD，如图所示， ∵AC⊥DE，垂足为 E，AB 是⊙O 的直径， ∴∠DEF=∠ADB=90°， ∵∠EFD+∠AFD=180°，∠AFD+∠DBA=180°， ∴∠EFD=∠DBA， ∴△EFD∽△DBA， EF DF ∴，DB AB ∴DB•DF=EF•AB，由（1）知，AD 平分∠BAC， ∴∠FAD=∠DAB， ∴DF=DB， ∴DF2=EF•AB．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 24. 如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点 O 重合，在其绕 1y  x2 原点 O 旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线相交于点 A、B（点 A 在点 2B 的左侧）． 4（1）如图 1，若点 A、B 的横坐标分别为-3、，求线段AB 中点 P 的坐标； 3（2）如图 2，若点 B 的横坐标为 4，求线段 AB 中点 P 的坐标； x, y ，求 y 关于 x 的函数解析式；（3）如图 3，若线段 AB 中点 P 的坐标为 （4）若线段 AB 中点 P 的纵坐标为 6，求线段 AB 的长． 5697 36 3217 4）；（3）y=x2+2；（4） 【答案】（1）（，）；（2）（，4 10 【解析】 4【分析】（1）根据点 A、B的横坐标分别为、AB，可以先求的点和的坐标，平行 3 3线分线段成比例定理可以得到 EC  ED ，然后即可得到点（2）根据点的横坐标为4，可以求得点的坐标，然后根据相似三角形的判定与性质，可以求得点的坐标，再根据（1）求中点坐标的方法可以求得点的坐标；（3）根据相似三角形的判定与性质，可以求得点和点的坐标与点坐标的关系，从而 P的坐标； BBAPABPyx与的关系；可以得到 y  6 （4）将代入（3）中的函数关系式，可以求得点 P的横坐标的平方，然后根据勾股定理可以得到的长．的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到线段 OP AB 1y  x2 24【详解】解：（1）点A、B在抛物线上，点 A、B的横坐标分别为、，3 31192y  (3)2  9  当x  3时，，224141 16 89y  ( )2  x  当时，，2329394389()，(3, ) 即点 A的坐标为，点 B的坐标为，2作AC  x 轴于点，作BD  x 轴于点，作轴于点，如图1 所示， ECPE  x DAC / /BD / /PE 则，点P为线段，的中点， AB PA  PB 由平行线分线段成比例，可得 EC  ED ，(x, y) ，设点 P的坐标为 4x  (3)  x 则，34 (3) 56，3x    2928997 同理可得，，y  236 5697 36 ( )；点P的坐标为，1y  x2 （2）点B在抛物线上，点 B的横坐标为 4， 21y  42  8 点点B的纵坐标为：，2(4,8) ，B的坐标为 DB  8 ，OD  4 ，作AC  x 轴于点，作BD  x 轴于点，如图2 所示， CDACO  90 ，，，QAOB  90 ODB  90 ACO  ODB ，，BOD  OBD  90 ，AOC  BOD  90 ，AOC  OBD AOC∽OBD ，AC CO ，OD DB 1(a, a2 ) 的坐标为设点 A，21AC  a2 CO  a ，，21a2 a 8，24a  0 a  1 解得（舍去），，121(1, ) 点A的坐标为，2121 4 328  17 4中点线段 P的横坐标为：，纵坐标为，223217 4()；中点 P的坐标为，AB （3）作 AC  x 轴于点，作BD  x 轴于点，如图3 所示， CDAOC∽OBD 由（2）知，，AC CO ，OD DB 11(a, a2 ) (b, b2 ) 设点 A的坐标为，点 B的坐标为，221a2 b2，12a b2 解得， ab  4 ，P(x, y) 点是线段的中点， AB 11a2  b2 a  b 2a2  b2 (a  b)2  2ab x  ，，22y  244a  b  2x ，(2x)2  2 (4)  y   x2  2 ，4关于的函数解析式是y  x2  2 ；yx即2y  6 （4）当时，，6  x  2 2，x  4 222AOB ，是直角三角形，点 P时斜边的中点， OP  x  y  4  6  2 10 AB ， AB  2OP  4 10 即线段的长是．AB 4 10 【点睛】本题是一道二次函数综合题目．主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、中点坐标公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．