2018年海南省高考文科数学试题及答案下载

2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1． i 2 3i  A．3  2i 2．已知集合 B．3  2i C． 3  2i ，则 A  B  D． 3  2i ，A  1,3,5,7 B  2,3,4,5 A． B． C． D． 1,2,3,4,5,7 3  5  3,5 ex  ex 3．函数 的图像大致为 f x   x2 4．已知向量 A．4 a，b满足| a | 1 B．3 ，a b  1 ，则 a (2a  b)  C．2 D．0 5．从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率 为A． 0.6 B． 0.5 C． 0.4 D． 0.3 x2 y2 6．双曲线 1(a  0, b  0) 的离心率为 3，则其渐近线方程为 a2 b2 23y  2x y  3x A． B． C． y   xD． y   x22C557．在△ABC 中， cos A． 4 2 ，BC 1 ，AC  5 ，则 AB  C． 29 2B． 30 D． 2 5 1211118．为计算 S 1  ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入 3499 100 1第 1 页 共 11 页 开始 N  0,T  0 i 1 是否i 100 1N  N  S  N T 输出S 结束 i1T  T  i 1 A．i  i 1 C．i  i  3 B．i  i  2 D．i  i  4 9．在正方体 ABCD  A B C1D1 中， E为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与CD 所成角的正切 11值为 2357A． B． C． D． 222210．若 f (x)  cos x  sin x 在[0, a]是减函数，则 a的最大值是 ππ3π A． B． C． D． π42411．已知 F，F2 是椭圆 C的两个焦点， P是C上的一点，若 PF  PF2 ，且 PF2 F  60 ，111则C的离心率为 33 1 2A．1 B． 2  3 C． D． 3 1 212．已知 f (x) 是定义域为 (, ) 的奇函数，满足 f (1 x)  f (1 x) ．若 f (1)  2 ，则 f (1)  f (2)  f (3)  f (50)  A． 50 B．0 C．2 D．50 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 y  2ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为__________． x  2y  5≥0, 14．若 x, y 满足约束条件 x  2y  3≥0, 则z  x  y 的最大值为__________． x  5≤0, 5π 115．已知 tan(α  )  ，则 tanα  __________． 45S SB 互相垂直， SA与圆锥底面所成角为 30 ，若△SAB 16．已知圆锥的顶点为 ，母线SA， 2第 2 页 共 11 页 8的面积为 ，则该圆锥的体积为__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17．（12 分） 记Sn 为等差数列{an}的前 n项和，已知 a1  7 ，S3  15 ．（1）求{an}的通项公式； （2）求 n ，并求 n 的最小值． SS18．（12 分） 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 的两个线性回 t归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t的值依次为1, 2,,17 ）建立模型 ˆ① ：y  30.4 13.5t ； 根 据2010 年 至2016 年 的 数 据 （ 时 间 变 量的 值 依 次 为 tˆ1, 2,, 7 ）建立模型②： y  99 17.5t ．（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12 分） 如图，在三棱锥 P  ABC 中， AB  BC  2 2 ，PA  PB  PC  AC  4 O AC 的中 ， 为 点． 3第 3 页 共 11 页 （1）证明： PO  平面 ABC ；（2）若点 CM 在棱 BC 上，且 MC  2MB ，求点 到平面POM 的距离． 20．（12 分） 设抛物线C：y2  4x 的焦点为 l C F ，过 F 且斜率为 k(k  0) 的直线 与交于 A ， B 两点， | AB |  8 ．l（1）求 的方程； （2）求过点 CA ， B 且与 的准线相切的圆的方程． 21．（12 分） 1f x x3  a x2  x 1 已知函数 ．  3（1）若 a  3 ，求 f (x) 的单调区间； （2）证明： f (x) 只有一个零点． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分） x  2cosθ, y  4sinθ 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C的参数方程为 θ l （ 为参数），直线的参数方 x 1 t cosα, y  2  t sinα 程为 （ 为参数）． t（1）求 （2）若曲线 23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分） 设函数 f (x)  5  | x  a |  | x  2| （1）当 a 1时，求不等式 f (x)≥0 的解集； （2）若 f (x)≤1，求 的取值范围． C和l的直角坐标方程； C截直线 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求 的斜率． ll．a4第 4 页 共 11 页 绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 1D28CB39BC4B5D．．．．．．．6A．7A10 C11 D ．．．12 C．二、填空题 3213 y=2x–2 ．14 915 16 8π ．．．三、解答题 17．解： （1）设{an}的公差为 d，由题意得 3a1+3d=–15． 由 a1=–7 得 d=2． 所以{an}的通项公式为 an=2n–9． （2）由（1）得 Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以当 n=4 时，Sn 取得最小值，最小值为–16． 18．解： （1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 $y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）． 利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 $y=99+17.5×9=256.5（亿元）． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： （i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=–30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好 地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有 5第 5 页 共 11 页 明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年 开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据 $建立的线性模型 y=99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变 化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． （ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到的 预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明 利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网 19 ．解： 1（ ）因为 AP=CP=AC=4 O， 为 AC OP ACOP= ，且 2 3 的中点，所以 ABC ⊥．2OB AB=BC= OB AC 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且⊥ ， 连 结 ． 因 为 AC ， 所 以 △ 21AC OB= =2 ．2222OP OB ⊥由由知， ．OP  OB  PB OP OB OP ACPO ABC ．⊥，⊥知⊥平面 2（ ）作 CH OM ⊥H1，垂足为 ．又由（）可得 OP CH ⊥CH POM ，所以 ⊥平面． CH C的长为点 到平面 POM 的距离． 故1234 2 3AC BC =OC= =2 CM= ，ACB=45 °． 由题设可知 ，∠ 2OC  MC sinACB 2 5 4 5 OM= CH= =所以 ，．OM 354 5 C所以点 到平面 POM 的距离为 ．56第 6 页 共 11 页 20．解： （1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x–1）（k>0）． 设 A（x1，y1），B（x2，y2）． y  k(x 1) y2  4x 由得k2 x2  (2k2  4)x  k2  0 2k2  4 ． 16k2 16  0 ，故 x1  x2  ．k2 4k2  4 所以 AB  AF  BF  (x1 1)  (x2 1)  4k2  4 ．k2 由题设知  8，解得 k=–1（舍去），k=1． k2 因此 l 的方程为 y=x–1． （2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为 y  2  (x  3) ，即 y  x  5 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 ．y  x  5， 00x  3， x 11， 00(y0  x0 1)2 解得 或(x 1)2  16. y0  2 y0  6. 02因此所求圆的方程为 (x  3)2  (y  2)2 16 或(x 11)2  (y  6)2 144 ．21 ．解： 1×3  3×2  3x  3 21（ ）当 a=3 fx时， （ ） =f ′ ， （） x=．x  6x  3 3f ′ x=0 （ ）解得 x= x= 令或．3  2 3 3  2 3 x当 ∈（∞， –+， ∞）时，（ ）； f ′ >0 x）∪（ 3  2 3 3  2 3 x当 ∈（ f ′ x）时， （） <0 ．，3  2 33  2 3 fx–故 （ ）在（ ∞， +， ∞）单调递增，在（ ），（ ，3  2 33  2 3 ）3  2 3 3  2 3 单调递减． x3 2f (x)  0 2（ ）由于  3a  0 ．，所以 等价于 x  x 1 0 x2  x 1 7第 7 页 共 11 页 x2 (x2  2x  3) (x2  x 1)2 x3 g(x) = 3a g ′ ，则 （） x=≥0 x=0 时g ′ g x=0 设，仅当 （ ），所以 x2  x 1 x–+g（ ）在（ ∞， ∞）单调递增．故（ ）至多有一个零点，从而 （ ）至多有一个零 xf x 点．学·科网 111136a2  2a  6(a  )2  0  0 ，故 （ ）有一个零 f 3a–1 又 （ =）f， （ 3a+1 =）f x 366点． fx综上， （ ）只有一个零点． 22 ．解： x2 y2 1C（ ）曲线的直角坐标方程为 1 ．416 y  tan  x  2  tan cos  0 cos  0 l时， 的直角坐标方程为 当当，l时， 的直角坐标方程为 x 1 ．t（ ）将的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于的方程 2lC(1 3cos2 )t2  4(2cos  sin)t  8  0 ．① (1,2) ttCl因为曲线 截直线所得线段的中点 C在 内，所以①有两个解，设为， 2 ，则 1t  t  0 ．124(2cos  sin) 1 3cos2  t1  t2   2cos  sin  0 l， 于 是 直 线的 斜 率 又 由 ① 得 ， 故 k  tan  2 ．23 ．解： 1（ ）当 a 1 时， 2x  4, x  1, f (x)  2,1 x  2, 2x  6, x  2. f (x)  0 {x | 2  x  3} ．可得 的解集为 f (x) 1 | x  a |  | x  2 | 4 ．2（ ） 等价于 | x  a |  | x  2 || a  2 | | a  2 | 4 f (x) 1 | a  2 | 4 ．x  2 而由，且当 时等号成立．故 等价于 a，所以 的取值范围是 (,6][2,) a  6 a  2 或可得 ．8第 8 页 共 11 页 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．i(2+3i)=( A．3-2i )B．3+2i C．-3-2i D．-3+2i 解析：选 D 2．已知集合 A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则 A∩B=( )A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7} 解析：选 C – x ex – e 3．函数 f(x)= 的图像大致为 ( )x2 – 2 e2 – e 4解析：选 B f(x)为奇函数，排除 A,x>0,f(x)>0,排除 D,取 x=2,f(2)= >1,故选 B 4．已知向量 a，b满足|a|=1，a·b=-1，则 a·(2a-b)= ( A．4 B．3 C．2 解析：选 B a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3 )D．0 5．从 2名男同学和 3名女同学中任选 2人参加社区服务，则选中的 2人都是女同学的概率 为A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 解析：选 D 5人选 2人有 10种选法，3人选 2人有 3中选法。 x2 y2 6．双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 3，则其渐近线方程为( )a2 b2 2C．y=± x 23D．y=± x 2A．y=± x 3B．y=± x 22232c =3ab= a 解析：选 A e= C 5 7．在ΔABC中，cos = 2 5 ，BC=1，AC=5，则 AB= ( )230 29 AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32 AB=4 5A．4 B． C． D．2 C35解析：选 A cosC=2cos2 -1= – 221 1 1 8．为计算 S=1- + – +……+ 2 3 4 11-99 100 ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填 入( )9第 9 页 共 11 页 开始 N  0,T  0 i 1 是否i 100 1N  N  S  N T 输出S 结束 i1T  T  i 1 A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 解析：选 B 9．在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E为棱 CC1的中点，则异面直线 AE与 CD所成角的正切值为( )2357A． B． C． D． 22225解析：选 C 即 AE与 AB所成角，设 AB=2,则 BE= ,故选 C 10．若 f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数，则 a的最大值是( )ππ3π A． B． C． D．π 424πcos(x+ ),依据 f(x)=cosx与 f(x)= π2cos(x+ )的图象关系知 a 2解析：选 C f(x)= 3π 44的最大值为 。411．已知 F1，F2是椭圆 C的两个焦点，P是 C上的一点，若 PF1⊥PF2，且∠PF2F1=600，则 C 的离心率为( )33- 1 33D． -1 A．1- B．2- C． 223解析：选 D 依题设| PF1|=c,| PF2|= c,由| PF1|+| PF2|=2a可得 12．已知 f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足 f(1-x)= f(1+x)．若 f(1)=2，则 f(1)+f(2)+f(3)+ …+f(50)= ( )A．-50 B．0 C．2 D．50 解析：选 C 由 f(1-x)= f(1+x)得 f(x+2)=-f(x),所以 f(x)是以 4为周期的奇函数，且 f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13．曲线 y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________． 解析：y=2x-2 x + 2y – 5 ≥ 0 x – 2y + 3 ≥ 0 x – 5 ≤ 0 14．若 x,y满足约束条件 ,则 z=x+y的最大值为__________． {10 第 10 页 共 11 页 解析：9 5π 1 )= ，则 tanα=__________． 4 5 15．已知 tan(α- 3解析：由两角差的正切公式展开可得 tanα= 216．已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为 300，若ΔSAB的 面积为 8，则该圆锥的体积为__________． 11解析：设母线为 2a，则圆锥高为 a，底面半径为 a,依题 ×2a×2a=8,∴a=2 ∴V= ×π× 3233(2 )×2=8π 11 第 11 页 共 11 页