二○二一年绥化市初中毕业学业考试数学试题 一、单项选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）请在答题卡上用 铅笔将你的 2B 选项所对应的大写字母涂黑 1. 现实世界中，对称无处不在．在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案． 【详解】解：A、“美”是轴对称图形，故本选项符合题意； B、“丽”不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、“绥”不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、“化”不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，属于基础题，熟练掌握对称图形的概念即可求解． 2. 据国家卫健委统计，截至 6 月 2 日，我国接种新冠疫苗已超过 704000000 剂次．把 704000000 这个数用 科学记数法表示为（ ）7.04107 7.04109 0.704109 7.04108 A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】704000000=7.04×108， 选故：D． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3. 如图是由 7 个相同的小正方体组合而成的几何体．这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：3，1，1．故选 B． 【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确把握观察方向是解题关键． x0 x在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ 4. 若式子 ）x 1 x 1 A. B. 且x 1 x 0 C. 且D. x –1 x 0 x 0 C【答案】 【解析】 x0 【分析】要使式子 在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底 x 1 数也不能为零，满足上述条件即可． x0 【详解】解：式子 在实数范围内有意义， x 1 必须同时满足下列条件： ，，，x 1 0 x 0 x 1 0 x 1 综上： 且，x 0 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，当上述式子 同时出现则必须同时满足． 12 5. ( )▲2 定义一种新的运算：如果 ．则有 a▲b a ab | b |，那么 的值是（ ）a 0 23432A. B. 5 C. D. 3 B【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出算式，求解即可 【详解】a▲b a2 ab | b | 111( )▲2=( )2 ( )2 | 2 | 222 4 1 2 =5 ．故选 B． 【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义， 本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等． 6. 下列命题是假命题的是（ ）A. 任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边 B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C【答案】 【解析】 【分析】根据三角形两边之差小于第三边、中位线定理、平行四边形的判定方法依次即可求解． 【详解】解：选项 A：三角形的两边之差小于第三边，故选项 A 正确，不符合题意； 选项 B：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故选项 B 正确，不符合题意； 选项 C：一个角的两边分别平行另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故选项 C 不正确，是假命题， 符合题意； 选项 D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项 D 正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握 各个基本定理和性质是解决本类题的关键． 7. 下列运算正确的是（ ）2A. a5 a7 B. C. D. x4 x4 x8 9 3 27 3 2 3 3B【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，算术平方根，以及实数的运算法则逐一判断． A【详解】 、 (a5)2=a10 A，故 错， Bx4⋅x4=x8 B，故 正确， 、、CC，故 错， 9 3 3D−=-3- D，故 错， 、27 33B故选： 【点睛】本题考查了算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟悉并灵活运用以上性 质是解题的关键． 8. A. 已知一个多边形内角和是外角和的 4 倍，则这个多边形是（ B. C. ）D. 十二边形 八边形 九边形 十边形 C【答案】 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为 n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可. 【详解】设这个多边形的边数为 n， 则（n－2）×180°＝4×360°， 解得：n＝10， 故选 C. 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本 题的关键.n 变形的内角和为：(n-2) ×180°， n 变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解． A, B 9. 近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月 两种移动支付方式的 使用情况，从企业 2000 名员工中随机抽取了 200 人，发现样本中 两种支付方式都不使用的有 10 人， A、B a种支付方式的员工支付金额 （元）分布情况如下表： 样本中仅使用 A种支付方式和仅使用 Ba支付金额 （元） a 2000 0 a 1000 36 人 1000 a 2000 18 人 仅使用 仅使用 A6 人 2 人 20 人 28 人 B下面有四个推断： A, B ①根据样本数据估计，企业 2000 名员工中，同时使用 ②本次调查抽取的样本容量为 200 人； 两种支付方式的为 800 人； ③样本中仅使用 种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000 元； A④样本中仅使用 其中正确的是（ A. ①③ B种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为 1500 元． ）B. ③④ C. ①② D. ②④ A【答案】 【解析】 【分析】①用样本估计总体的思想； ②根据表可以直接算出样本容量； 的③利用中位数 定义可以直接判断； ④根据众数的定义可以直接判断． 【详解】解：根据题目中的条件知： A, B ①从企业 2000 名员工中随机抽取了 200 人，同时使用 两种支付方式的人为： 200 10 (36 20 18+28+6+2)=80 （人）， 80 2A, B 两种支付方式的比例为： 样本中同时使用 ，200 52A, B 2000 800 企业 2000 名员工中，同时使用 两种支付方式的为： （人）， 5故①正确； ②本次调查抽取的样本容量为 200； 故②错误； ③样本中仅使用 种支付方式的员工共有：60 人，其中支付金额在 之间的有，36 人，超过了 A0 a 1000 仅使用 A种支付方式的员工数的一半，由中位数的定义知：中位数一定不超过 1000 元， 故③是正确； ④样本中仅使用 B种支付方式的员工，从表中知月支付金额在 之间的最多，但不能判断 1000 a 2000 众数一定为 1500 元， 故④错误； 综上：①③正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了概率公式、运用样本估计总体的思想、中位数和众数的定义，解题的关键是：熟练掌 握公式及相关的定义，根据图表信息解答． 10. 根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产 500 箱， 现在生产 6000 箱药品所需时间与原计划生产 4500 箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱 x药品?设原计划平均每天可生产 箱药品，则下面所列方程正确的是（ ）6000 4500 6000 4500 6000 4500 6000 4500 A. B. C. D. xx 500 x 500 xxx 500 x 500 xD【答案】 【解析】 x【分析】设原计划平均每天可生产 箱药品，则实际每天生产 (x 500) 箱药品，再根据“生产 6000 箱药品 所需时间与原计划生产 4500 箱药品所需时间相同”建立方程求解即可． x【详解】解：设原计划平均每天可生产 箱药品，则实际每天生产 (x 500) 箱药品， 4500 原计划生产 4500 箱所需要的时间为： ，，x6000 现在生产 6000 箱所需要的时间为： x 500 6000 4500 由题意得： ；x 500 x故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的 等量关系，列方程． C 90,ABC 75 11. 已知在 中， ，．点 为边 E上的动点，点 为边 F上RtACB AB 5 AC AB 的动点，则线段 的最小值是（ ）FE EB 5B. 5 3 A. C. D. 5322B【答案】 【解析】 【分析】作点 F 关于直线 AB 的对称点 F’，如下图所示，此时 EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线 段长度最短求解即可． 【详解】解：作点 F 关于直线 AB 的对称点 F’，连接 AF’，如下图所示： 由对称性可知，EF=EF’， 此时 EF+EB= EF’+EB， 由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知， 当 BF’⊥AF’时，EF+EB 有最小值 BF0，此时 E 位于上图中的 E0 位置， 由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°， ∴∠BAF0=30°， 由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知， 125215 BF0= AB= ，2故选：B． 【点睛】本题考查了 30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作 点 F 关于 AC 的对称点，将 EF 线段转移，再由点到直线的距离最短求解． AB 3, BC 6 的边12. 如图所示，在矩形纸片 中， ，点 分别是矩形 上的动点， ABCD E、F AD、BC 将该纸片沿直线 折叠．使点 B落在矩形边 上，对应点记为点 G，点 A落在 处，连接 EF AD MEF、BG、BE, EF 与交于点 ．则下列结论成立的是（ N）BG ①；BN AB 3 5 ②当点 G与点 重合时 D；EF 29472S的面积 的取值范围是 S ③；△GNF CF 523 13 4④当 时， ．SMEG A. ①③ 【答案】 【解析】 B. ③④ C. ②③ D. ②④ D【分析】①根据题意可知四边形 BFGE 为菱形，所以 EF⊥BG 且 BN=GN，若 BN=AB，则 BG=2AB=6，又 因为点 E 是 AD 边上的动点，所以 3<BG< ．从而判断①不正确； 3 5 ②如图，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H，再利用勾股定理求解即可； 9SS的面积 有最大值 ③当点 E 与点 A 重合时， 的面积 有最小值，当点 G 与点 D 重合时 △GNF △GNF 445 16 945 16 S．故 < < ．42255 7 7613 CF ④因为 ，则 EG=BF=6- =．根据勾股定理可得 ME= ，从而可求出△MEG 22 2 222 的面积． 【详解】解：①根据题意可知四边形 BFGE 为菱形， ∴EF⊥BG 且 BN=GN， 若 BN=AB，则 BG=2AB=6， 又∵点 E 是 AD 边上的动点， ∴3<BG< ．3 5 故①错误； ②如图，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H，则 EH=AB=3， 在 Rt△ABE 中 2AE2 AB2 AD AE 2即AE2 32 6 AE 9解得：AE= ，4915 4∴BF=DE=6- =．415 49432∴HF= -=．在 Rt△EFH 中 3 5 222 =；EF EH FH 故②正确； 1194S 33 ③当点 E 与点 A 重合时，如图所示， 的面积 有最小值= =，△GNF 4 S正方形ABFG 411 15 45 S 3 当点 G 与点 D 重合时 的面积 有最大值= =．△GNF 4 S菱形EBFG 4416 9445 16 S< < 故．故③错误． 2255 7 7613 CF ④因为 ∴，则 EG=BF=6- =．根据勾股定理可得 ME= ， 22 2 222 113 23 13 4．S△MEG 3 2故④正确． 故选 D． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知 识找到临界点是解题的关键． 二、填空题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）请在答题卡上把你的答案写在相对 应的题号后的指定区域内 t13. 在单词 mathematics （数学）中任意选择一个字母恰好是字母“ ”的概率是________． 2【答案】 【解析】 11 【分析】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：单词 mathematics 中共有 11 个字母， 其中 t 出现 了2 次， 2t故任意选择一个字母恰好是字母“ ”的概率为： ．11 2故答案为： ．11 的【点睛】本题主要考查运用概率公式求概率，根据已知条件找出总 情况数和符合条件的情况数是解题关 键． 214. 在实数范围内分解因式： _________． ab 2a 【答案】 【解析】 ．a(b 2)(b 2) 【分析】利用平方差公式 a2 -b2 =(a+b)(a-b) 分解因式得出即可． 2【详解】解： ab 2a 2==a(b 2) a(b 2)(b 2) 故答案为： ．a(b 2)(b 2) 【点睛】此题主要考查了利用平方差公式 a2 -b2 =(a+b)(a-b) 分解因式，熟练应用平方差公式是解题关 键． 15. 一条弧所对的圆心角为 135°弧长等于半径为 5cm 的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 __________cm． 【答案】40 【解析】 【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为 5cm 的圆的周长的 3 倍，所以根据原题所给出的等量 关系，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设弧所在圆的半径为 r， 由题意得， 135 r 2 53 ，180 解得，r=40cm． x 3 x 1 x 9 x16. () 当时，代数式 的值是____． x 2021 3 x2 3x x2 6x 9 1【答案】 【解析】 2021 【分析】先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入 x 求值即可． 【详解】解：由题意可知： x 3 x 1 x原式 x(x 3) (x 3)2 x 9 (x 3)(x 3) x(x 1) xx(x 3)2 x(x 3)2 x 9 x2 9 x2 x x2x 9 x x3 x 9 xx(x 3)2 x 9 1，(x 3)2 11当时，原式 ．，x 2021 3 ( 2021 3 3)2 2021 1故答案为： 2021 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，属于基础题，运算过程中细心即可求解． 17. AB种奖品和 4 个 种奖品共 某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买 2 个 A, B A两种奖品共 20 个，且 种 需 100 元；购买 5 个 A种奖品和 2 个 B种奖品共需 130 元．学校准备购买 2奖品的数量不小于 B种奖品数量的 ，则在购买方案中最少费用是_____元． 5【答案】330 【解析】 【分析】设 A 种奖品的单价为 x 元，B 种奖品的单价为 y 元，根据“购买 2 个 A 种奖品和 4 个 B种奖品共 需 100 元；购买 5 个 A 种奖品和 2 个 种奖品共需130 元”，即可得出关于 A，B 的二元一次方程组，在设 B2购买 A 种奖品 m 个，则购买 B 种奖品(20-m)个，根据购买 A 种奖品的数量不少于 B 种奖品数量的 ，即可 5得出关于 m 的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果． 【详解】解：设 A 种奖品的单价为 x 元，B 种奖品的单价为 y 元， 2x 4y 100 5x 2y 130 依题意，得： ，x 20 y 15 解得： ∴A 种奖品的单价为 20 元，B 种奖品的单价为 15 元． (20-m) 设购买 A 种奖品 m 个，则购买 B种奖品 个，根据题意得到不等式： 240 7m≥ (20-m)，解得：m≥ ，540 ∴≤m≤20， 7设总费用为 W，根据题意得： W=20m+15(20-m)=5m+300， ∵k=5>0， ∴W 随 m 的减小而减小， ∴当 m=6 时，W 有最小值， ∴W=5×6+300=330 元 则在购买方案中最少费用是 330 元． 故答案为：330． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是： 找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函 数． 112m,n 18. 已知 是一元二次方程 的两个根，则 __________． x 3x 2 0 mn3【答案】 【解析】 2【分析】运用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 2m,n 【详解】解： ∵ 是一元二次方程 的两个根， x 3x 2 0 bcm n 3 mn 2 ，根据根与系数的关系得： ，aa11m n mn 32= ∴，mn3故答案为： ．2bcx x ，x x 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知 是解题关键． 1212aa19. 边长为 4cm 的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______． 2 3 【答案】 【解析】 3【分析】依题意作出图形，找出直角三角形，它的外接圆与内切圆半径为直角三角形 三角函数值即可求出． 的两条边，根据 AOB 1BO AB, CAB= (6 2)180 120 【详解】如图：正六边形中，过 作O61OAB CAB=60 RtABO 中， ,1 30 2它的外接圆与内切圆半径的比值是 AO 112 3 3．BO cos1 322 3 3故答案为 ．【点睛】本题考查了正多边形的外接圆和内切圆的相关知识，对称性，特殊角的锐角三角函数，依题意作 出图形是解决本题的关键． x垂直于 轴，以 20. 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， O为对称轴作 的轴对称图 MN MN kODE y (k 0, x 0) 形，对称轴 与线段 相交于点 ，点 的对应点 DB恰好落在 的双曲线上．点 MN DE FxS1 O、E 的对应点分别是点C、A．若点 A为OE 的中点，且 ，则 k的值为____． △AEF 【答案】 24 【解析】 【分析】先利用轴对称和中点的定义，确定 EG 和 EO 之间的关系，再利用平行线分线段成比例定理及推论， 得到 FG 和 OD 之间的关系，设 EG=x，FG=y，用它们表示出 D 点坐标，接着得到 B 点坐标，利用 S△AEF 1 xy 1 ，再利用反比例函数的定义，计算出 B 点横纵坐标的积，即为所求 k 的值． ，得到 【详解】解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE=GA，CG=OG，BC=OD， ∵点 A为的中点， OE ∴AE=OA， EG EG EG 14∴,OE 2AE 4EG ∵MN∥y 轴， FG EG 14∴，OD EO ∴∵，OD=4FG S1 ，△AEF 12AE FG 1 ∴,12EG FG 1 ∴，2∴，EG FG 1 设 EG=x，FG=y，则 OG=3x，OD=4y， D 0,4y ，∴因为 D 点和 B 点关于 MN 对称， B 6x,4y ∴∵∴，EG FG 1 xy 1 6x4y 24 ∴,ky (k 0, x 0) ∵点 ∴B恰好落在 ，的双曲线上， xk 24 故答案为： ．24 【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、平行线分线段成比例定理的推论、反比例函数的定义等 内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含 信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 21. 在边长为 4 的正方形 P中，连接对角线 AC、BD ，点 是正方形边上或对角线上的一点，若 ABCD ，则 ______． PB 3PC PC = 34 2 或【答案】1或 24【解析】 【分析】按 P 在正方形的边上和对角线上分别画出图形，再逐个求解即可． 【详解】解：∵PB=3PC， ∴P 点不可能位于边 AB 上，接下来分类讨论： 情况一：当 P 点位于正方形边 BC 上时，如下图 1 所示： ∵PB=3PC， 1∴PC= BC=1； 4情况二：当 P 位于正方形边 CD 上时，如下图 2 所示： 设 PC=x，则 BP=3PC=3x，在 Rt△BPC 中，由勾股定理可知： 4²+x²=(3x)²，解得 x= (负值舍去)， 2∴PC= ；2情况三：当 P 位于正方形边 AD 上时，如下图 3 所示： 设 AP=x，则 DP=4-x， Rt△ABP 中，BP²=AP²+AB²=x²+16， Rt△CPD 中，CP²=PD²+CD²=(4-x)²+16=x²-8x+32， ∵BP=3PC， ∴x²+16=9(x²-8x+32)， 整理得到：x²-9x+34=0，此方程无解， 故 P 点不可能位于边 AD 上； 情况四：P 点位于对角线 BD 上时，过 P 点作 PH⊥BC 于 H 点，如下图所示： 设 PC=x，则 BP=3PC=3x， ∵∠DBC=45°，∴△BPH 为等腰直角三角形，其三边之比为 ，1:1: 2 3 2 23 2 2∴BH=PH= ，CH=BC-BH= ，x4 – x在 Rt△PHC 中，由勾股定理可知：PC²=PH²+CH²， 3 2 23 2 22x)2 +(4 – x)2 ∴，x =( 2整理得： ，此方程无解， 2x – 3 2x +4 =0 故 P 点不可能在对角线 BD 上； 情况五：P 点位于对角线 AC 上时，过 P 点作 PH⊥BC 于 H 点，如下图所示： 设 PC= ，则 BP=3PC= ，3 2x 2x ∵∠PCB=45°，∴△PCH 为等腰直角三角形，其三边之比为 ，1:1: 2 x∴PH=CH= ，BH=BC-CH=4-x， 在 Rt△PHB 中，由勾股定理可知：PB²=PH²+BH²， 222∴，(3 2x) = x +(4 – x) 2整理得： ，2x x 2 0 – 1+ 17 解得： ∴(负值舍去)， x = 434 – 2 ；PC = 2x = 434 2 ．综上所述， PC 1 或或24【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用及分类讨论的思想，本题中由于 P 点的位置未定，故 需要分多种情况讨论． 22. 下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有 1 个三角形，图②中有 5 个三角形，图③中有 n11 个三角形，图④中有 19 个三角形…，依此规律，则第 个图形中三角形个数是_______． 2【答案】 n n 1 【解析】 【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为 n2，结合两部分即 可得出答案． 【详解】解：将题意中图形分为上下两部分， 则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1， 下半部规律为：12、22、32、42……n2， 2∴上下两部分统一规律为： ．n n 1 2故答案为： ．n n 1 【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究． 三、解答题（本题共 7 个小题，共 54 分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指 定区域内 ABC, P 23. （1）如图，已知 为边 上一点，请用尺规作图的方法在边 上求作一点 ．使 EAC AB ．（保留作图痕迹，不写作法） AE EP AC cm ．AC 6cm, AP 3cm （2）在上图中，如果 ，则 的周长是_______ VAPE 【答案】（1）见解析；（2）9． 【解析】 【分析】（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可； （2）根据（1）中可知 ，即可求得的周长． AE EP AC VAPE 【详解】（1）作法：如图所示， ①连接 ②作 （用虚线）， PC 的垂直平分线交 于，PC AC E③标出点 即为所求， E（2）∵ ，，PE CE ∴AE EP AC ∴的周长＝ 9． AP AE PE AP AC 3 6 VAPE 【点睛】本题主要考查垂直平分线的做法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键． 24. 如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点， 为平面 O直角坐标系的原点，矩形 的 4 个顶点均在格点上，连接对角线 ．OABC OB （1）在平面直角坐标系内，以原点 为位似中心，把OAB 缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似 O1图形与OAB 的相似比等于 ；2OA B OA B （2）将OAB 以为旋转中心，逆时针旋转 ，得到 1 ，作出 ，并求出线段 旋转过程 O90 OB 11 1 中所形成扇形的周长． 【答案】（1）见详解；（2）见详解； 弧 【解析】 长4 13 13 是【分析】（1）根据位似图形的定义作图即可；（定义：如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于一点， 这两个图形叫做位似图形，交点叫做位似中心；） OA B （2）根据图形旋转的方法：将顶点与旋转中心的连线旋转 即可得旋转后的图形 1 ；OB 旋转后扇 90 1形的半径为 OB 长度，在坐标网格中，根据直角三角形勾股定理可得 OB 长度，然后代入扇形弧长公式,同 时加上扇形两半径即可求出答案． 【详解】（1）位似图形如图所示 OA B （2）作出旋转后图形 ，1122，OB 6 4 2 13 90 2 13 周长是 ． 22 13 4 13 13 180 【点睛】题目主要考察位似图形的画法、旋转图形画法、勾股定理及弧长公式的计算，难点是对定义的理 解及对公式的运用． 25. 一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，ACB 90,ABC 60, AB 32cm 点在同一条直线上，测得 ，BDE 75，其中一段 B、C、D 支撑杆 ，另一段支撑杆 ，求支撑杆上的点 到水平地面的距离 E是多少?（用四 EF CD 84cm DE 70cm 舍五入法对结果取整数，参考数据 ）sin15 0.26,cos15 0.97, tan15 0.27, 31.732 【答案】点 到水平地面的距离 E约为 ，过 ．105cm EF M【解析】 【分析】过 作交于 作交延长线于 ，证明四边形FMDN 为矩形， NBA DN BA DDM EF D得到 MF=DN，在 Rt△BDN 中求出 DN 的长，再在 Rt△MED 中求出 EM 的长，最后将 EM 与 MF 相加即得 到答案． 【详解】解：过 作交于 ，过 作交延长线于 ，如下图所示： NDN BA DDM EF DBA MABC 60, AB 32 在中， ，RtABC BC 16 由 30°所对直角边等于斜边的一半可知， ，，DC 84 BD BC DC 100 ，F 90 ,DMF 90 ，，DM / /FN ，MDB ABC 60 DN RtBDN sin DBN sin 60 在中： ，代入数据： BD 3，DN 100 50 3 2F N DMF 90， ∴四边形 是矩形， MFND ，DN MF 50 3 BDE 75，MDB 60 ，EDM 75 60 15 DE 70 ，又已知 ，ME DE sin EDM 在中： ，RtDME ，ME sin EDM DE sin15 DE 0.2670 18.2 ，EF ME MF 50 318.2 104.8 105(cm) 故点 到水平地面的距离 E约为 ．105cm EF 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形等知识点，属于基础题，熟练掌握三角函数的定义是解决本题 的关键． 26. 小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是 720 米， 先到乙地的人原地休息，已知小刚先从甲地出发 4 秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行．第一次 相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了 2 米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小 t刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离 （米）与小亮出发时间（秒）之间的函数图象，如图所 S示．根据所给信息解决以下问题． m n ______； （1） _______， （2）求 和所在直线的解析式； CD EF t（3）直接写出 为何值时，两人相距30 米． 400 3160 S t 80(48 t 80) S 5t 720 t 144 16， 【答案】（1） ；（2） ；；（3）t 为 46 ， CD EF 350，110，138 时，两人相距 30 米． 【解析】 【分析】（1）依次分析 A、B、C、D、E、F 各点坐标的实际意义： A 点是小刚先走了 4 秒，B 点小亮追上小刚，相遇，C 点是小刚开始加速，D 点是小刚追上小亮，E 点是小 m刚到达乙地，F 点是小亮到达乙地，则根据 A 点的意义，可以求出 的值，根据E 点的意义可以求出 n 的 值； （2）根据题意分别求得 C、D、E、F 各点坐标，代入直线解析式，用待定系数法求得解析式； BC,CD, DE, EF （3）根据题意分别求出写出 四 条直线的解析式，令S=30，即可求解． 【详解】（1）∵小刚原来的速度 米/秒，小亮的速度 米/秒 16 4 4 720 144 5 B 点小亮追上小刚，相遇 m4 16 m5 m=16 E 点是小刚到达乙地 720 805 160 3[( 80) 80](6 5) 4 2 160 n ．380 16 16 48 （2）由题意可知点 横坐标为 C2∵小刚原来的速度 米/秒，小亮的速度 米/秒 16 4 4 720 144 5 5 4 4816 32 ∴纵坐标为 C 48,32 S k1t b，C(48,32)，D(80,0) 设CD 148k b 32 1180k1 b 0 1k 1 1解得： b 80 1SCD t 80(48 t 80) 720 805 400 380 的横坐标为 E6400 3160 380 (65) 的纵坐标为 E400 160 E( ,)33F(144,0) S k2t b 设2 代入可得 EF 400 3144k2 b2 0 160 3k2 b2 k 5 b 720 解得： 22400 3SEF 5t 720 t 144 ．400 160 B(16,0) C 48,32 D(80,0) F(144,0) ，E( ,)（3） ,，，33设SBC k3t b3，C(48,32)，B(16,0) 48k b 32 3316k3 b3 0 k =1，b = 16 解得： 33SBC t 16 16 t 48 400 160 设SDE k4t b4，D(80,0), E( ,)33400 380k4 b4 0 160 3k4 b4 k 1,b 80 解得： 44400 3SDE t 80 80 t 当 S=30 时 SBC t 16 30,t 46 ，SCD t 80 30,t 50 SDE t 80=30,t 110 ，，SEF 5t 720=30,t 138 t 为 46 ，50，110，138 时，两人相距 30 米． 【点睛】本题考查了对一次函数的图像的理解和运用，对路程问题的分析，待定系数法求一次函数的解析 式，数形结合理解函数图像的意义，理解图像的各拐点的意义是解题的关键． D, DE AC 27. O 如图，在ABC 中， AB AC ，以 为直径的 与BC 相交于点 ，垂足为 ．AB EO （1）求证： 是的切线； DE AG 1G, BAC 36 O , MN 3 O （2）若弦 垂直于 ，垂足为 ，求 的半径； MN AB AB 4（3）在（2）的条件下，当 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 时，求线段 的长． CE 3 5 的半径为 1；（3） ．CE 4【分析】（1）连接 OD，由题意可得∠B=∠C，由半径 OB 和 OD 可得∠B=∠ODB，从而∠C=∠ODB，在 O Rt△DEC 中可知∠C+∠CDE=90°，则∠OBD+∠CDE=90°，从而得出∠ODE=90°，即可得证 DE 是 的切线； O （2）连接 OD，过点 D 作 DG⊥AB，垂足为 G，设 AC 与 交于点 H，连接 OH，分别求解 S△OAH，S 扇形 OAH，S△OBD，S 扇形 OOD，然后根据 S 阴影= S 扇形 OAH + S 扇形 OBD – S△OAH –S△OBD 求解即可得到阴影部分的面 积． 【详解】（1）证明： 方法一： AD,OD 连接 Q AB 为直径 ADB 90 AD BC AB AC ，∴ D 为BC 中点 O 为中点 AB OD∥AC DE AC DE OD 的半径 O 是OD O 是的切线 DE 方法二： 连接 OD OB OD OBD ODB DE AC EDC C 90 AB AC ABC C ODB C EDC ODB 90 ．ODE 90 OD DE O 是是的半径 的切线 OD DE O 方法三： 连接 OD OB OD OBD ODB AB AC ABC ACB ODB ACB OD∥AC DE AC DE OD O O 是是的半径 的切线 OD DE （2）解： 方法一： OM 连接 ，MN AB OGM 90 Q AB 是直径 MN 3 3MG NG 2AG AB 14AG GB 131 AG OG OM 2在中RtMGO OM 3OG2 MG2 OM 2 ( )2 ( )2 OM 2 22O OM 1 即的半径为 1方法二： 连接 AM、MB Q AB O 是的直径 AMB 90 MN AB AMG MAG AMG BMG 90 MAG BMG AMG ∽MBG MG AG BG MG MG2 AG BG AG : AB 1: 4 AG : BG 1:3 1 AO BO AB 2OA 中点 G 为MN AB MN 3 3MG 2MG2 AG BG 1 AG 2O 即的半径为 1 AO 1 （3）作ABC 的平分线 交于连接 AC BF FAD BAC 36 AB AC ABC ACB 72 平分ABC BF ABF CBP 36 BAF ABF,BFC ACB 即BFC 72 BC BF AF CBF BAC C C CBF ∽CAB BC2 CF AC 设则BC x AF x CF 2 x x2 2 2 x 解得： x 5 1 BC 5 1 O 是的直径 AB ADB 90 AB AC 1CD BD BC 25 1 2CD DE AC AD BC ADC DEC 90 C C △CDE∽△CAD CD2 CE AC 5 1 222()CD2 AC 3 5 CE 4【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，以及与扇形面积相关的不规则阴影部分面积求解问题，灵活添 加辅助线将不规则图形转换为规则图形的面积表示是解题关键． ECH 90,CE CH, HE 28. 如图所示，四边形 为正方形，在ECH 中， 的延长线与 的延 ABCD CD 长线交于点 ，点 F在同一条直线上． D、B、H （1）求证： ；CDE≌CBH HB HD 15FD FC （2）当 （3）当 时，求 的值； HB 3, HG 4 时，求 的值． sin CFE FD 53 2 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．sin CFE FC 13 8【解析】 ECH 90,CE CH 【分析】（1）已知正方形和 ，用“边角边”证明两三角形全等即可； （2）方法一：过 作CM EH 交于 点，过 作交于 点，则 N，从而求的 CDN FH DN//CM DMFD DN ，FC CM FD DE 方法二：连接 交于，交 于，构造相似三角形，从而求得 ；AC OBD FH MFC MC EQ CF EQ，（3） 不在直角三角形中，过点 作交PE//DH CF 于P点，过点 作交于点 CFE CF EEQ sin CFE 求得结果． EF 【详解】（1）∵四边形 BC CD 为正方形 ABCD DCB 90 ECH 90 DCE ECB ECB BCH DCE BCH 在和△CDE CBH 中CD CB DCE BCH CE CH (SAS) ．DCE≌BCH （2）方法一： DCE≌BCH ，CDE CBH DE BH 为正方形对角线 Q BD CDB 45，DBC 45 CBH CDE 135 EDH 90 BH : DH 1:5 设BH a ，则 DH 5a DE a 22RtVHDE 在过三角形中 EH (5a) a 26a 作CM EH 交于 点，过 作交于 点CDN FH NDM11DN EH a5a 225 26 26 DN CEH a是等腰直角三角形 126 2CM EH a2DN//CM ∴，FDN FCM 5 26 26 aFD DN 5．于FC CM 13 26 a2方法二： 连接 交于，交 AC OBD FH M∵正方形 ABCD 1OA OC OB BD AC BD ，，CBD 45 2∴ AOB 90 CDE≌CBH CDE CBH 135 CDB 45 EDH 90 ，DE//AC ∴，FDE FCM HOM HDE FD DE OM HO ，，FC MC DE HD BH DH 15BH BD 14O 为中点 BD HO OM 35，HD DE 设BH a DE a 3OM a 5313 5CM 2a a a5FD DE 5FC MC 13 Q于点 EQ CF （3）过点 作交PE//DH CF 于P点，过点 作交CF EEPE//DH FPE FDH 135 ，BHG PEF Q AB//CD HBG FDH 135 HBG EPF 135 CDE 135 EDQ 45 EPQ 45 ，为等腰直角三角形 PED DE PE BHG≌PEF GH EF ，BH PE ，BH 3 GH 4 EF 4 PE DE 3 3 2 QE ，中2RtFEQ 在3 2 EQ EF 3 2 8．44sin CFE 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握 相似三角形的判定与性质，按要求作出辅助线是解决本题的关键． y ax2 bx 5(a 0) 与xA 5,0 B 1,0 ，（点 29. 如图，已知抛物线 轴交于点 ，点 AB在点 的左边）， 15yy，且与 轴交于点 y x 与轴交于点 ，点 为抛物线的顶点，连接 C．直线 经过点 A．DBD E22（1）求抛物线的解析式； （2）点 是抛物线上的一点，当 是以 DN 为腰的等腰三角形时，求点 的坐标； NNBDN OA FG FG ，并延长 与线段 （3）点 为线段 上的一点，点 G为线段 上的一点，连接 H交于点 （点 FAE BD H在第一象限）．当 EFG 3BAE 且HG 2FG 时，求出点 的坐标． Fy x2 4x 5 ；（）；N (5,0) 【答案】（1）2113 181 71 181 13 181 71 181 151 72 N,，N ,F , ；（3） 2 3 618 618 59 59 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求出 a、b 的值即可得出抛物线解析式； DB = DN （2）当 时，根据抛物线对称性可求得 N 的坐标；当 时， 在的垂直平分线上， DN BN NBD 与抛物线产生两个交点，将两点坐标求出即可； x的垂直平分线交 轴于点 （3）在 上取一点 ，作 F，连接 ，则 AM MF ，在 上点AO AE AF MF MMxP垂直于 轴于点，过点 FP 的右侧作 ，移动 点，当 F时，点 为所求，过点 F作FG MF HG 2FG F15xF(m, m ) H作垂直于 轴于点，则FPG ∽HRG ，设 ，根据相似三角形性质列比例求解， HR R22解出点 F的坐标即可． y ax2 bx 5(a 0) 5,0 , 1,0 【详解】（1）将 代入 得： 25a 5b 5 0 a b 5 0 a 1 b 4 解得： ∴抛物线的解析式 y x2 4x 5 D 2,9 （2）顶点 DB = DN ①当 时，根据抛物线对称性， A与重合 NN1(5,0) ②方法一：如图一 时， 当在的垂直平分线上 DN BN NBD yx，交 轴于点， Q如图 的垂直平分线交 于与轴交点为 BD BD IBD KKBO OKB 90，KBO IQB 90 IQB OKB ，10 在中， ，RtOKB sin OKB 10 BI 10 sin IQB ，BQ 10 是I BD 的中点， ，BD 3 10 3 10 ，BI 2BQ 15 ，1 9 Q(14,0)，I , ，2 2 y kx b 设，QI 14k b 0 代入得 ， 1 92 k b 2 1314 3k 解得： ，b 114 yQI x ，33联立得， 1y x 3y x 4x 5 14 3，213 181 解得 ，x 6114 113 181 1471 181 x ，3336318 13 181 71 181 13 181 71 181 N ,N,，2 3 618 618 方法二：如图二， xx轴垂线交 轴于 过过作作，NDTNT S于 ， 交DS NT N a,a2 4a 5 D(2,9) 设，，DN DB DS2 SN2 NT 2 TB2 (2 a)2 (9 a2 4a 5)2 (a2 4a 5)2 (1 a)2 (2 a)2 (1 a)2 (2 4a 5)2 (9 a2 4a 5)2 ，，，(2 a 1 a)(2 a 1 a) (a2 4a 5 a2 4a 4)(a2 4a 5 a2 4a 4) ，13 181 解得： ，a 62 13 181 13 181 71 181 13 181 把代入， a2 4a 5 4 5 ，a 6618 613 181 71 181 13 181 71 181 N ,N,，2 3 618 618 13 181 71 181 N (5,0), N ,综上 ，2 1618 13 181 71 181 N,，3 618 x的垂直平分线交 轴于点 （3）如图一，在 上取一点 ，作 F，连接 ，则 AM MF ，在 AO MF AE AF M上点的右侧作 ，FG MF M，FGM FMG ，EFG BAE FGM BAE FMG BAE 2BAE 3BAE 移动 点，当 F时，点 为所求． FHG 2FG xx垂直于 轴于点 过点 作垂直于 轴于点 ，P，过点 H作，FFP RHR FPG ∽HRG PF PG FG 12，，GR 2PG，HR 2PF HR RG GH 15F(m, m ) 设，2215OP m PF m ，22，HR 2PF m 5 ， AP m 5 ， AP 2PF ， AM AP MP 2PF MP MF AM ∴在 RtPMF 中， ，PM 2 PF2 MF2，PM 2 PF2 (2PF MP)2 ，33 m 5 315 8PM PF m ，4428315 8GP m ，8315 4GR 2PG m ，4，PR 3PG 3PM 317 17 85 8 AR AP PR AP 3PM 2PF 3 PF PF m ，44817 85 17 45 8OR m 5 m ，88817 45 H( m ,m 5) ，88y 3x 3 代入 解得 ，BD 151 15m y x 代入 得， 2259 72 y ，59 151 72 F , ．59 59 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何图形综合，二次函数与一次函数综 合，解直角三角形，相似三角形等知识点，题型难度大，属于中考压轴题．
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