湖北省十堰市2021年数学中考试题（解析版）

湖北省十堰市 2021 年数学中考试题一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内． 11. A. 的相反数是（　　） 21212B. 2 C. D. 2 D【答案】【解析】 1212112【详解】因为- 故选 D. +＝0，所以- 的相反数是 .2AB / /CD,1 55,2  32 2. 如图，直线，则（）3  87 A. B. C. D. 90 23 67 A【答案】【解析】【分析】利用平行线的性质得到 C  1 55 ，再利用三角形外角的性质即可求解． AB / /CD,1 55 【详解】解：∵ ，∴∴，C  1 55 ，3  2  C  87 故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 3. 由 5 个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（）A. B. C. D. A【答案】【解析】【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．【详解】解：该几何体从上向下看，其俯视图是，故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图． 4. 下列计算正确的是（　　） a3 a3  2a3 A. B. (2a)2  4a2 C. (a  b)2  a2  b2 D. (a  2)(a  2)  a2  2 B【答案】【解析】【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可． 33【详解】解：A． 6 ，该项计算错误； a a  a 2B． C． D． 2 ，该项计算正确； (2a)  4a 22(a  b)  a  2ab  b 2 ，该项计算错误； 2(a  2)(a  2)  a  4 ，该项计算错误；故选：B．【点睛】本题考查整式乘法，掌握同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式是解题的关键． 5. 某校男子足球队的年龄分布如下表年龄人数 13 214 615 816 317 218 1则这些队员年龄的众数和中位数分别是（）A. 8，15 B. 8，14 C. 15，14 D. 15，15 D【答案】【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【详解】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是 15 岁，共 8 人，所以众数是 15 岁； 22 名队员中，按照年龄从小到大排列，第 11 名队员与第 12 名队员的年龄都是 15 岁，所以，中位数是（15 ＋15）÷2＝15 岁．故选：D．【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据中的数． 6. 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 400 台机器所需时间比原计划生产 450 台机器所需时间少 1 天，设现在平均每天生产 x 台机器，则下列方程正确的是（）400 450 450 400 400 450 450 400  1  1  50  5 A. B. C. D. xx  50 x  50 xxx 1 x 1 xB【答案】【解析】【分析】设现在每天生产 x 台，则原来可生产（x−50）台．根据现在生产 400 台机器的时间与原计划生产 450 台机器的时间少 1 天，列出方程即可．【详解】解：设现在每天生产 x 台，则原来可生产（x−50）台． 450 400  1 依题意得：．x  50 x故选：B．【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产 400 台机器的时间与原计划生产 450 台机器的时间少 1 天”这一个条件，列出分式方程是解题关键． 30° 的7. 如图，小明利用一个锐角是三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 BC 为15m ，为1.5m （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）AB 323215 3 m5 3 mA. B. C. D. 5 3m 15 3m D【答案】【解析】【分析】先根据题意得出 AD 的长，在 Rt△AED 中利用锐角三角函数的定义求出 ED 的长，由 CE＝CD＋DE 即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是矩形， ∵BC＝15m，AB＝1.5m， ∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在 Rt△AED 中， ∵∠EAD＝30°，AD＝15m， 3∴ED＝AD•tan30°＝15× ＝5 ，33325 3 m．∴CE＝CD＋DE＝故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键，属于基本知识的考查． 8. O,BAC  120, AB  AC, BD O 是如图，ABC 内接于的直径，若 AD  3 ，则 BC  （） A. B. C. 3 D. 4 2 3 3 3 C【答案】【解析】 1【分析】首先过点 O 作 OF⊥BC 于 F，由垂径定理可得 BF＝CF＝ BC，然后由∠BAC＝120°，AB＝ 2AC，利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠C 与∠BAC 的度数，由 BD 为⊙O 的直径，即可求得∠BAD 与∠D 的度数，又由 AD＝3，即可求得 BD 的长，继而求得 BC 的长．【详解】解：过点 O 作 OF⊥BC 于 F， 1∴BF＝CF＝ BC， 2∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠C＝∠ABC＝（180°−∠BAC）÷2＝30°， ∵∠C 与∠D 是同弧所对的圆周角， ∴∠D＝∠C＝30°， ∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝60°， ∴∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°， ∵AD＝3， 3∴BD＝AD÷cos30°＝3÷ =2 ，321∴OB＝ BD＝，32323∴BF＝OB•cos30°＝ ×＝，32∴BC＝3．故选：C．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线． 9. 将从 1 开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第 4 行第 3 列的数为 27，则位于第 32 行第 13 列的数是（）A. 2025 【答案】【解析】 B. 2023 C. 2021 D. 2019 B【分析】根据数字的变化关系发现规律第 n 行，第 n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第 32 行，第 32 列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加 2，到第 32 行，第 13 列的数据，即可．【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第 n 行，第 n 列的数据为：2n(n-1)+1， ∴第 32 行，第 32 列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加 2， ∴第 32 行，第 13 列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题． kA(2,1) y  x  0 AB  y ，过 A 作轴于点B，连 10. OA ，直线如图，反比例函数的图象经过点 x，交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D，若点 B 关于直线的对称点 恰好落在该反比例函数图像 CD  OA CD B上，则 D 点纵坐标为（）52735 51 5 51 A. B. C. D. 44A【答案】【解析】 2B a, 【分析】设点 B 关于直线的对称点，易得 BB’//OA求出 a 的值，再根据勾股定理得到两点 CD a间的距离，即可求解． kxA(2,1) ，y  x  0 的【详解】解：∵反比例函数图象经过点 ∴，k  2 1y  x，∴直线 OA 的解析式为 2∵，CD  OA y  2x  b ∴设直线 CD 的解析式为 D 0,b ，则，2B a, 设点 B 关于直线的对称点，CD a222 b 1  a2  b 则①， a且即BB’//OA ，21 12，解得，a  5 1 aa5 51 代入①可得，b  4故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 2021 年 5 月 11 日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为 1412000000 人，把数字 1412000000 科学记数法表示为_________． 9【答案】 1.41210 【解析】【分析】直接利用科学记数法表示数的方法即可求解． 9【详解】解：1412000000 用科学记数法表示为，1.41210 9故答案为：．1.41210 【点睛】本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示数的方法是解题的关键．，则 2×3 y 12×2 y2 18xy3  _________． xy  2, x  3y  3 12. 已知【答案】36 【解析】【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可． xy  2, x  3y  3 【详解】∵ ，2∴原式= 2xy x3y  2232  36 ，故答案是：36．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 13. 如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，若 AB=5，AD=12，则四边形 ABOM 的周长为_______. 20 【答案】【解析】．【详解】∵AB＝5，AD＝12， ∴根据矩形的性质和勾股定理，得 AC＝13. ∵BO 为 Rｔ△ABC 斜边上的中线 ∴BO＝6.5 ∵O 是 AC 的中点，M 是 AD 的中点， ∴OM 是△ACD 的中位线 ∴OM＝2.5 ∴四边形 ABOM 的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20 故答案为 20 22x  x 1  3 ，则 x 的值为 14. 对于任意实数 a、b，定义一种运算：，若 a  b  a  b  ab ________．【答案】或 2 1 【解析】 2【分析】根据新定义的运算得到 x  x 1  x2  x 1  x x1  3，整理并求解一元二次方程即 可．【详解】解：根据新定义内容可得： x  x 1  x2  x 1  x x1  3， 22整理可得，x  x  2  0 x  1 ， x 2，解得 12故答案为：或2． 1 【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键． 15. 于点 E，以 C 为圆心、 BC AC 如图，在边长为 4 的正方形中，以为直径的半圆交对角线 ABCD AB 长为半径画弧交于点 F，则图中阴影部分的面积是_________． AC 【答案】3 -6 【解析】【分析】连接 BE，可得是等腰直角三角形，弓形 BE 的面积=  2 ，再根据阴影部分的面积=弓形 △ABE BE 的面积+扇形 CBF 的面积- 【详解】连接 BE，的面积，即可求解． BCE ∵在正方形中，以为直径的半圆交对角线于点 E， AC ABCD AB ∴∠AEB=90°，即：AC⊥BE， ∵∠CAB=45°， ∴是等腰直角三角形，即：AE=BE， △ABE 141 22  22    2 ∴弓形 BE 的面积= ，2∴阴影部分的面积=弓形 BE 的面积+扇形 CBF 的面积- 的面积 BCE 45 42 1 1  44 =3 -6． =  2 +-2 2 360 故答案是：3 -6．【点睛】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积公式，添加辅助线，把不规则图形进行合理的分割，是解题的关键． ACB  90, AC  8, BC  6 16. 如图，在中，，点 P 是平面内一个动点，且，Q 为 BP RtABC AP  3 CQ 的中点，在 P 点运动过程中，设线段的长度为 m，则 m 的取值范围是__________． 713 2【答案】 ≤m≤ 2【解析】【分析】作 AB 的中点 M，连接 CM、QM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得 QM 和 CM 的长，然后在△CQM 中根据三边关系即可求解．【详解】解：作 AB 的中点 M，连接 CM、QM．  AP  3, P在以 A为圆心，为半径的圆上运动， 32222在直角△ABC 中，AB＝，AC ＋BC  8  6 10 ∵M 是直角△ABC 斜边 AB 上的中点， 1∴CM＝ AB＝5． 2的∵Q 是 BP 中点，M 是 AB 的中点， 321∴MQ＝ AP＝．233713 2∴在△CMQ 中，5− ≤CQ≤ ＋5，即 ≤m≤ ．222713 2故答案是： ≤m≤ ．2【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作圆，作 AB 的中点 M，连接 CM、QM，构造三角形，是解题的关键．三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分） 1 1  17. 计算： 2 cos45   3 ．  3  【答案】1 【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质逐项计算，即可求解． 2【详解】解：原式  2   3  3 2．1 【点睛】本题考查实数的运算，掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质是解题的关键． a  2 a 1 a  4 a18. 化简：．a2  2a a2  4a  4 1【答案】【解析】 (a  2)2 【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法运算，进行约分，即可求解． a  2 a 1 a【详解】解：原式= a(a  2) (a  2)2 a  4  a  2 a  2 a a1   a====a(a  2)2 a(a  2)2 a  4 a2  4  a2  a a(a  2)2 aa  4 a  4 aa(a  2)2 a  4 1(a  2)2 【点睛】本题主要考查分式的化简，掌握分式的通分和约分，是解题的关键． 19. 为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举行党史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为 A、B、C、D 四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．等级成绩（x）人数 15 aABCD90  x 100 80  x  90 70  x  80 x  70 18 7根据图表信息，回答下列问题： a  的（1）表中 __________；扇形统计图中，C 等级所占百分比是_________；D 等级对应的扇形圆心角为 ________度；若全校共有 1800 名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为 A 等级的学生共有_______ 人．（2）若 95 分以上的学生有 4 人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这 4 人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有 1 人被选中的概率 5【答案】（1）20,30%，42°，450 人；（2） 6【解析】【分析】（1）先由 A 等级的圆心角度数和人数，求出样本总数，作差即可得到 a 的值，再根据 C 和 D 占总人数的比例，求出百分比或圆心角度数，利用样本估计总体的方法求出全校成绩为 A 等级的人数；（2）先列出表格，将所有情况列举，利用概率公式即可求解． 90 15   60 人，【详解】解：（1）总人数为 360 a  60 15 18  7  20 ∴，18 100%  30% C 等级所占的百分比，60 7360  42 D 等级对应的扇形圆心角，60 15 1800 450 若全校共有 1800 名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为 A 等级的学生共有人； 60 （2）列表如下：甲乙丙丁甲乙丙丁甲乙甲丙乙丙甲丁乙丁丙丁甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁共有 12种情况，其中甲、乙两人至少有 1 人被选中的有 10种， 10 12 56∴P(甲、乙两人至少有 1 人被选中) ．【点睛】本题考查统计与概率，能够从扇形统计图和统计表中获取相关信息是解题的关键． 220. 已知关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根． x  4x  2m  5  0 （1）求实数 m 的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数 m 的值． 1m  【答案】（1）；（2）1 2【解析】【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解；（2）根据韦达定理可得 x1x2  2m  5  0，进行分类讨论即可求解． 1252x  x  4  m  ，得到，根据两个根和 m 都是整数， 122【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， x  4x  2m  5  0 ∴  16  4 2m  5  0 ， 12m  解得；xx，2（2）设该方程的两个根为、1∵该方程的两个根都是符号相同的整数， x  x  4 ∴ x1x2  2m  5  0，，121252 m  ∴，∴m 的值为 1 或 2， x 1 x  3 、当当m  1时，方程两个根为；12xxm  2 时，方程两个根 1 与 2 不是整数； ∴m 的值为 1．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键． 21. 如图，已知ABC 中，D 是 AC 的中点，过点 D 作 DE  AC BC 于点 E，过点 A 作 AF / /BC 交交 DE 于点 F，连接、．CF AE （1）求证：四边形 AECF 是菱形； CF  2,FAC  30,B  45 （2）若，求的长． AB 【答案】（1）证明见解析；（2） 6【解析】 △ADF≌△CDE 【分析】（1）通过证明相垂直的平行四边形是菱形即可得证； AM  BC 得到，即四边形 AECF 是平行四边形，再根据对角线互 AF  CE （2）点 A 作，通过解直角三角形即可求解．【详解】解：（1）∵ AF / /BC ，∴，FAD  ECD ∵D 是的中点，，AC DE  AC ∴∴∴，FDA  EDC AD  CD ，△ADF≌△CDE ，，AF  CE ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∵，DE  AC ∴平行四边形 AECF 是菱形；（2）∵AECF 是菱形， AF  CF  2 ∴，∴，AD  AF cos30 3 ∴，AC  2AD  2 3 AM  BC 过点 A 作，∴∴，AM  AC sin30 3 AM AB   6 ．sin 45 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、解直角三角形等内容，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22. O O ．O 如图，已知是的直径，C 为上一点，的角平分线交于点 D，F 在直线上， OCB AB AB 且，垂足为 E，连接、DF  BC AD BD O （1）求证：是的切线； DF 1tan A  O （2）若，的半径为 3，求的长． EF 28EF  【答案】（1）证明见解析；（2） 5【解析】【分析】（1）连接 OD，通过等边对等角和角平分线的定义得到，利用平行线的性质与判 ODC  BCD 定即可得证；（2）通过证明求出线段 DF 和 BF 的长度，再通过证明ODF∽BEF ，利用相似三角 △ADF∽△DBF 形的性质即可求解．【详解】解：（1）连接 OD，，OD  OC ∵∴，，OCD  ODC ∵CD 平分，OCB OCD  BCD ODC  BCD ∴∴∴，，，OD//BC ∵DF  BC ∴∴OD  DF O ，是的切线； DF ADO  BDO  90 （2）∵ ，FDB  BDO  90 ，∴∵∴∴，，，ADO  FDB ADO  OAD OAD  FDB ，△ADF∽△DBF DB DF BF 12 tan A  ∴，AD AF DF 1DF  AF  2BF ∴即，21BF  6  2BF ，解得，，DF  4 BF  2 2∵OD  DF ，，BE  DF ∴，ODF∽BEF EF BF 28EF  ∴，解得．DF OF 2  3 5【点睛】本题考查圆与相似综合，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． kg 23. 某商贸公司购进某种商品的成本为 20 元/ ，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天的销售单价 y 0.25x  30(1 x  20) 35(20  x  40) kg y  （元/ ）与时间 x（天）之间的函数关系式为：且 x 为整数，且日销量 m kg 与时间 x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间 x（天） 13610 … m kg 日销量填空： 142 138 132 124 … （1）m 与 x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 1kg （3）在实际销售的前 20 天中，公司决定每销售商品就捐赠 n 元利润（）给当地福利院，后发现： n  4 在前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 x 的增大而增大，求 n 的取值范围． m  2x 144 【答案】（1）；（2）第 16 天销售利润最大，最大为 1568 元；（3） 0  n  2 【解析】 1,142 3,138 【分析】（1）设，将，代入，利用待定系数法即可求解； m  kx  b 1 x  20 （2）分别写出当时与当 20  x  40 时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解； 16  2n  20 （3）写出在前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴，求解即可． 1,142 3,138 代入可得： 【详解】解：（1）设，将，m  kx  b 142  k  b k  2 ，解得，138  3k  b b 144 m  2x 144 ∴；（2）当时， 1 x  20 12W  my  20m  2x 144 0.25x  30  20  x 16 1568 销售利润  ，2当x 16 时，销售利润最大为 1568 元； 20  x  40 时，当W  my  20m  30x  2160 销售利润，当x  21时，销售利润最大为 1530 元；综上所述，第 16 天销售利润最大，最大为 1568 元；（3）在前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为： 1W ‘  my  20m  nm  0.25x 10  n 2x 144  x2  16  2n x1440 144n  ，2∵时， 1 x  20 W ‘ 随 x 的增大而增大， 16  2n  20 ∴对称轴，解得．0  n  2 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 24. 已知等边三角形，过 A 点作的垂线 l，点 P 为 l 上一动点（不与点 A 重合），连接 CP ，把线 ABC AC CQ QB ．段绕点 C 逆时针方向旋转得到，连 CP 60 BQ 的数量关系；（1）如图 1，直接写出线段 AP 与CQ ；（2）如图 2，当点 P、B 在（3）如图 3，若等边三角形同侧且 AP  AC 时，求证：直线 PB 垂直平分线段 AC APQ 的边长为 4，点 P、B 分别位于直线异侧，且的面积等于 ABC AC 3，求线段 AP 的长度． 42321 3【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3） 3  【解析】【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得 CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，进而即可得到结论； △BCQ （2）先证明是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论； △ACP≌△BCQ （3）过点 B 作 BE⊥l，过点 Q 作 QF⊥l，根据，可得 AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°， 4343333)× 设 AP=x，则 BQ=x，MQ=x- ，QF=( x- ，再列出关于 x 的方程，即可求解． 2CQ ，【详解】（1）证明：∵线段 ∴CP=CQ，∠PCQ=60°，绕点 C 逆时针方向旋转得到 CP 60 ∵在等边三角形中，∠ACB=60°，AC=BC， ABC ∴∠ACP=∠BCQ， △ACP≌△BCQ ∴∴，BQ ；AP =（2）∵ AP  AC ，CA⊥l， ∴∵是等腰直角三角形， △ACP △ACP≌△BCQ ，△BCQ ∴是等腰直角三角形，∠CBQ=90°， ∵在等边三角形中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°， ABC ∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°， ∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°， ∴∠CBD=180°-75°-60°=45°， ∴PD 平分∠CBQ， CQ ∴直线 PB 垂直平分线段；（3）过点 B 作 BE⊥l，过点 Q 作 QF⊥l， △ACP≌△BCQ 由（1）小题，可知：，∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°， ∵∠ACB=60°，∠CAM=90°， ∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°， ∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4， 1AB  2 ∴BE= ，24333，∴BM=BE÷sin60°=2÷ =24343333)× 设 AP=x，则 BQ=x，MQ=x- ，QF= MQ×sin60°=( x- ，23APQ ∵∴的面积等于，4121433332321 32321 33AP×QF= ，即： x×( x- )× =，解得：或（不合 x  3  x  3  2442题意，舍去）， 221 3∴AP= 3  ．3【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．已知抛物线 y  ax2  bx 5与 x 轴交于点 和A 1,0 B 5,0 ，与 y 轴交于点 C，顶点为 P，点 N 在 25. 抛物线对称轴上且位于 x 轴下方，连交抛物线于M，连、AC CM ．AN （1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，当时，求 M 点的横坐标； tanACM  2 （3）如图 2，过点 P 作 x 轴的平行线 l，过 M 作 MD  l 于 D，若，求 N 点的坐标． MD  3MN 63 【答案】（1） y  x2  6x 5 ；（2）；（3） N 3,2  6 11 【解析】 A 1,0 B 5,0 【分析】（1）将点（2）由 和点 代入解析式，即可求解；想到将放到直角三角形中，即过点 A 作交 CM 的延长线于点 E， tanACM  2 ACM AE  AC AE AC  2 即可知，再由 AOC  EAC  90想到过点 E 作轴，即可得到 AOC∽EFC ，故点 EF  x E 的坐标可求，结合点 C 坐标可求直线 CE 解析式，点 M 是直线 CE 与抛物线交点，联立解析式即可求解；（3）过点 M 作 L 的垂线交于点 D，故设点 M 的横坐标为 m，则点 M 的纵坐标可表示，且 MD 的长度也可 HM / /NQ AHM∽AQN 即可结合两点间距离公式表示出 MN，最后由表示，由可求解可得即MD  3MN 【详解】解：（1）将点 和点 代入 y  ax2  bx 5 B 5,0 得A 1,0 a b 5  0 a  1 b  6 ，解得： 25a 5b 5  0  y  x2  6x 5 E, 如下图（2）点 A 作交 CM 的延长线于点 E，过作轴于 AE  AC EF  x E轴， EF  x AE  AC EFA  EAC  90 FAE  OAC  90 又ACO  OAC  90 EAF  ACO AOC∽EFA AC AO CO EA EF AF AE  2 tan ACM  2 即AC AC AO CO 1EA EF AF 2y  5 当时， x  0 C 0,5 即OC  5 EF  2, AF 10 E 11,2 即y  kx  b k 0 设直线 CE 的解析式为 ，并将 C、E 两点代入得 311k  b  2 b  5 k   解得 11 b  5 3 y  x 5 11 点 M 是直线 CE 与抛物线交点 3y  x 5 63 x  , x  0 11 2解得（不合题意，舍去） 1211 y  x  6x 5 63 点 M 的横坐标为 11 （3）设过点 M 垂直于 L 的直线交 x 轴于点 H，对称轴交 x 轴于点 Q，M 的横坐标为 m 则OH  m  AH  1 m  y  x2  6x 5 bx = – = – 3 对称轴 2a OQ  3 P、Q、N 的横坐标为，即 3  AQ  OQ OA  2 2当x  3时， y  3  3 6 5  4 P 3,4 点 D 的纵坐标为 4 222MD  4  m  6m 5  m  6m  9  m  3 HM / /NQ AHM∽AQN 1 m m2  6m  5 AH HM 即AQ QN 2QN QN  2m 10 N 3,2m 10 2 222  m  5 1 22MN  m 3  m  6m 5 2m 10  3 m  3   MD  3MN MD2  3MN 422  ，2 ，即   m  3  3 m  3 m  5 1 m  3  0,m  3 不符合题意，舍去，当时， m  3  0 2m2  24m  69  0, 12  6 解得，m  212  6 由题意知 m  2N 3,2  6 【点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大．解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想．