武威市 2020 年初中毕业、高中招生考试 数学试卷 一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 下列实数是无理数的是（ ）16A. B. C. D. -2 911 D【答案】 【解析】 【分析】 根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 1【详解】解：-2 是负整数， 是分数， =3 是整数，都是有理数. 开方开不尽，是无理数. 911 6故选:D. 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开方开不尽的数；以 及像 0.1010010001…，等有这样规律的数． ，则 的补角的度数是（ 2. 若） 70 110 30° A. 130 【答案】 【解析】 【分析】 B. C. D. 20 B直接根据补角的定义即可得． 【详解】 70 的补角的度数是 \ 180 α 180 70 110 故选：B． 【点睛】本题考查了补角的定义，熟记定义是解题关键． 3. 若一个正方形的面积是 12，则它的边长是（ ）A. B. 3 C. D. 4 2 3 3 2 A【答案】 【解析】 【分析】 根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为 a， 故 a²=12， ∴a=± ，又边长大于 0 2 3 ∴边长 a= 故选：A. ．2 3 【点睛】本题考查了正方形的面积公式，开平方运算等，属于基础题． 4. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解． 【详解】解：选项 A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项 A 错误； 选项 B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项 B 错误； 选项 C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项 C 正确； 选项 D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项 D 错误． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往 右边看，熟练三视图的概念即可求解. 下列各式中计算结果为 6 的是（ ）5. xx8 x2 x2 x4 x12 x2 x2 x4 A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 根据合并同类项，同底数幂的乘法、除法，即可解答． 【详解】解：A. 4 不是同类项，不能合并，不符合题意； x2，x x8，x B2 不是同类项，不能合并，不符合题意； 4 =x6,符合题意； 2C． x x x12 x2 D. =x10,不符合题意； 故选:C. 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法，解决本题的关键是熟记合并同类项，同底数幂 的乘法、除法的法则． a6. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 与全身 的高度比值接近 ba0．618，可以增加视觉美感，若图中 为2 米，则 约为（ ）bA. 1．24 米 B. 1．38 米 C. 1．42 米 D. 1．62 米 A【答案】 【解析】 【分析】 根据 a:b≈0.618，且 b=2 即可求解． 【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入 b=2， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24． 故答案为：A 【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 是一元二次方程 (m 2)x2 4x m2 0的一个根，则 的值为（ ）m7. 已知 x 1 A. -1 或 2 B. -1 C. 2 D. 0 B【答案】 【解析】 【分析】 首先把 x=1 代入 (m 2)x2 4x m2 0，解方程可得 m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得 m 的 值【详解】解：把 x=1 代入 (m 2)x2 4x m2 0得： 2 =0， m－2+4－m 2，－m m 2 0 解得：m1=2，m2=﹣1 ∵(m 2)x2 4x m2 0 是一元二次方程， ∴∴∴，m－2≠0 ，m 2 ，m 1 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于 0． 8. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节 间的距离，若 间的 AE AE cm 距离调节到 60 ，菱形的边长 AB 20cm ，则 的度数是（ ）DAB A. B. 100 C. 120 D. 90 150 C【答案】 【解析】 【分析】 AB BC, AD//BC 如 图 （ 见 解 析 ）， 先 根 据 菱 形 的 性 质 可 得 ， 再 根 据 全 等 的 性 质 可 得 ，最后根据平行线的性质即可 1AC AE 20cm ，然后根据等边三角形的判定与性质可得 B 60 3得． 【详解】如图，连接 AC 四边形 ABCD 是菱形 AB BC 20cm, AD//BC 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成， AE 60cm 1 AC AE 20cm 3 AB BC AC 是等边三角形 ABC B 60 AD//BC DAB 180 B 180 60 120 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌 握菱形的性质是解题关键． 9. 如图， 是圆 上一点，BC 是直径， AC 2 ，，点 在圆 上且平分弧BC ，则 DC 的长为 OOAAB 4 D（）A. B. C. D. 52 5 10 2 2 D【答案】 【解析】 【分析】 OBC 是圆 O 的直径，可得∠A=∠D=90°，又 在圆 上且平分弧BC ，则∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD D由是等腰直角三角形.在 Rt△ABC 中，根据勾股定理求出 BC 长，从而可求 DC 的长. 【详解】解：∵ BC 是圆 O 的直径， ∴∠A=∠D=90°. 又在圆 上且平分弧BC ， OD∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD 是等腰直角三角形. 在 Rt△ABC 中， AC 2 ，根据勾股定理，得 BC= AC2 AB2 ，=2 . 5AB 4 ∵△BCD 是等腰直角三角形， BC ∴CD= =.10 2故选:D. 【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合 思想的应用． OD P的中点，动点 从点 出发，沿着 10. 如图①，正方形 中， ，相交于点 ，是ABCD AC OBD EEy的长度 随着运动 E O B A 的路径以每秒 1 个单位长度的速度运动到点 ，在此过程中线段 AAP x时间 的函数关系如图②所示，则 的长为（ ）AB A. B. 4 C. D. 3 3 4 2 2 2 A【答案】 【解析】 【分析】 如图（见解析），先根据函数图象可知 ，再设正方形的边长为 ，从而可得 ，4a AE 2 5 OA OD 2 2a 1OE OD 2a 然后根据线段中点的定义可得 ，最后在 RtAOE 中，利用勾股定理可求出 a 的值，由 2此即可得出答案． 【详解】如图，连接 AE 由函数图象可知， AE 2 5 设正方形 ABCD 的边长为 ，则 4a AB AD 4a 四边形 ABCD 是正方形 1OA OD BD, AC BD,BAD 90 222，OA OD 2 2a BD AB AD 4 2a OD 是的中点 E 1OE OD 2a 222则在 RtAOE ，由勾股定理得： AE OA OE 10a 因此有 10a 2 5 解得 a 2 则AB 4 2 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出 是解题 AE 2 5 关键． 二、填空题（本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分） 11. 如果盈利 100 元记作+100 元，那么亏损 50 元记作__________元． 【答案】 【解析】 【分析】 50 根据正数与负数的意义即可得． 【详解】由正数与负数的意义得：亏损 50 元记作 元50 故答案为： ．50 【点睛】本题考查了正数与负数的意义，掌握理解正数与负数的意义是解题关键． 212. 分解因式： __________ a a a a1 【答案】 【解析】 【分析】 a提取公因式 ，即可得解. a2 a a a1 【详解】 a a1 .故答案为： 【点睛】此题主要考查对分解因式的理解，熟练掌握，即可解题. 13. 暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌填上原价．原价： _________元 【答案】200 【解析】 【分析】 设原价为 x 元，根据八折优惠，现价为 160 元，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出原价． 【详解】解：设原价为 x 元. 根据题意，得 0.8x=160. 解得 x=200. ∴原价为 200 元. 故答案为：200. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确“现价=原价×折扣”，本题属于基础题，难度 不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键． x 2 x 1 14. 要使分式 有意义，则 x 应满足条件____． 【答案】x≠1． 【解析】 【分析】 当分式的分母不为零时，分式有意义，即 x−1≠0． 【详解】当 x﹣1≠0 时，分式有意义，∴x≠1． 故答案为：x≠1． 【点睛】本题考查分式有意义的条件；熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键． 15. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入 3 个黑球（每个球除 颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球 试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.85 左右，则袋中红球约有_____个． 【答案】17 【解析】 【分析】 根据口袋中有 3 个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.85 左右，口袋中有 3 个黑球， ∵假设有 x 个红球， x∴＝0.85， x 3 解得：x＝17， 经检验 x＝17 是分式方程的解， ∴口袋中有红球约有 17 个． 故答案为：17． 【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等 是解决问题的关键． x沿 轴向 (4,0) 16. 如图，在平面直角坐标系中， OAB 的顶点 ，B的坐标分别为 ，，把 OAB A(3, 3) 右平移得到 ，如果点 的坐标为 D，则点 的坐标为__________． ECDE (6, 3) 【答案】(7,0) 【解析】 【分析】 根据 B 点横坐标与 A 点横坐标之差和 E 点横坐标与 D 点横坐标之差相等即可求解． 【详解】解：由题意知：A、B 两点之间的横坐标差为： ，4 3 1 由平移性质可知：E、D 两点横坐标之差与 B、A 两点横坐标之差相等， 设 E 点横坐标为 a， 则 a-6=1，∴a=7， ∴E 点坐标为(7,0) ． 故答案为：(7,0) ． 【点睛】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解 决此题的关键. 617. cm2 ，则这个扇形的弧长为__________ cm 若一个扇形的圆心角为 ，面积为 （结果保留 ）60 3【答案】 【解析】 【分析】 先利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式即可得． rcm 【详解】设扇形的半径为 60πr2 π则360 6r 1(cm) r 1(cm) 或解得 （不符题意，舍去） 60π 1 180 π (cm) 则这个扇形的弧长为 33故答案为： ．【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，熟记公式是解题关键． 2y18. 已知 ，当分别取 1，2，3，……，2020 时，所对应 值的总和是__________． y (x 4) x 5 【答案】 【解析】 【分析】 2032 先化简二次根式求出 y 的表达式，再将 x 的取值依次代入，然后求和即可得． 2【详解】 y (x 4) x 5 x 4 x 5 y 4 x x 5 9 2x x 4 x 4 当当时， 时， y x 4 x 5 1 (9 21) (9 22) (9 23) 111 则所求的总和为 7 5 312017 2032 故答案为： ．2032 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键． 三、解答题（一）：本大题共 5 个小题,共 26 分． 019. 计算： (2 3)(2 3) tan 60 ( 2 3) 【答案】 ．3【解析】 【分析】 先计算平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可． 22【详解】原式 2 ( 3) 3 1 4 3 3 1 ． 3 【点睛】本题考查了平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关 键． 3x 5 x 1 20. 解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来． 2(2x 1)… 3x 4 【答案】-2 x<3，解集在数轴上表示见解析. 【解析】 【分析】 先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 3x 5 x 1① 【详解】解： 2(2x 1)… 3x 4② 解不等式 解不等式 x<3 ①，得 .x -2 ②，得 .的所以原不等式组 解集为-2 x<3. 在数轴上表示如下： 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 21. 如图，在ABC 中， 是BC 边上一点，且 BD BA ．D（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作ABC 的角平分线交 于点 ；AD E②作线段 的垂直平分线交 于点 ．DC DC F（2）连接 ，直接写出线段 和的数量关系及位置关系． AC EF EF 1EF / /AC, EF AC. 【答案】（1）①作图见解析，②作图见解析；（2） 2【解析】 【分析】 （1）①根据角平分线的作图方法直接作图即可；②根据垂直平分线的作图方法直接作图即可； （2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明 是的中位线，根据中位线的性质可得答 △DAC EF 案． 【详解】解：（1）如图，① BE 即为所求作的ABC 的角平分线， ②过 的垂线是所求作的线段的垂直平分线． DC F（2）如图，连接 ，EF BA BD, BE ABC, 平分 AE DE, DF CF, 由作图可知： 是的中位线， △DAC EF 1EF / /AC, EF AC, 2【点睛】本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上 知识是解题的关键． 22. 图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于 1969 年 10 月出土于武威市的雷台汉 墓，1983 年 10 月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学 习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了 测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 如图，雕塑的最高点 到地面的高度为 ，在测点 用仪器测得点 的仰角为 BCBBA ，前进一段距离到达测点 ，再用该仪 E测量示意图 的仰角为 ，且点 器测得点 BB， ， A，，，均在同一竖直平面内， CDFE点，，在同一条直线上． CAE仪器 （）的 CD EF 的度数 的度数 的长度 CE 高度 测量数据 31o 42 5 米 米1.5 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小 数）．（参考数据： ，，，，，sin31 0.52 cos31 0.86 tan31 0.60 sin 42 0.67 cos42 0.74 ）tan 42 0.90 【答案】 【解析】 【分析】 10.5m BG x, 如图，延长 交于G，设 列方程求解 ，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长 利用锐角三角函数表示 FG ，再表示 ，再利用锐角三角函数 DG DF AB x交G于 ， DF AB BGD BAC 90, DF CE 5, DC AG EF 1.5, 由题意得： BG x, 设BG tan tan 42 ,由FG 9x,10 FG 10x FG ,910x DG 5 ,9BG DG tan tan31 ,由3x10x 9 ,55 5x 15, 3x 9, 经检验： x 9 符合题意， BA BG AG 9 1.5 10.5 “马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为 10.5m. 【点睛】本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键． 23. 2019 年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一，截至 2020 年 1 月，甘肃省已 有五家国家 5A 级旅游景区，分别为 A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景 区；D：敦煌鸣沙月牙泉景区：E：张掖七彩舟霞景区，张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区 游玩． （1）张帆一家选择 E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？ （2）若张帆一家选择了 E：张掖七彩丹霞景区，他们再从 ，B，，四个景区中任选两个景区去旅游， CDA求选 ，两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）． DA116【答案】(1) ；(2) 5【解析】 【分析】 1(1) 张帆一家共有 5 种可能的选择方式，由此即可出选择景区 E 的概率为 ；5(2) 画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出选到 A，D 两个景区的结果数，然后根据概率公式计 算． 【详解】解：(1)由题意可知：张帆一家共有 5 种可能的选择方式， 1故选择张掖七彩丹霞景区的概率为 ，51故答案为 ．5(2)由题意知，画出树状图如下： 共有 12 种等可能的结果数，其中选到 A，C 两个景区的结果数为 2， 216=的∴所以选到 A，C 两个景区 概率= ．12 16故答案为： ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件的概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再 mP( A)= 从中选出符合事件 A 的结果数 m，然后利用概率公式计 ，即可求出事件 A 的概率． n四、解答题（二）：本大题共 5 个小题,共 40 分． 24. 习近平总书记于 2019 年 8 月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”，兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄 河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”，近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到 极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片，下图是根据兰州市环境保护局公布的 2013-2019 年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图． 请结合统计图解答下列问题： （1）2019 年比 2013 年的全年空气质量优良天数增加了 （2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 （3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数； 天； 天； （4）《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020 年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达 80% 以上，试计算 2020 年（共 366 天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标． 【答案】(1)26;（2）254；（3）261；（4）293. 【解析】 【分析】 （1）用 2019 年全年空气质量优良天数减去 2013 年全年空气质量优良天数即可； （2）把这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定义解答； （3）根据平均数的求解方法列式计算即可得解． （4）用 366 乘以 80%，即可解答． 【详解】解：（1）由折线图可知 2019 年全年空气质量优良天数为 296，2013 年全年空气质量优良天数为 270， 296-270=26， 故 2019 年比 2013 年的全年空气质量优良天数增加了 26天； 故答案为：26. (2)这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：213，233，250，254，270，296，313， 所以中位数是 254； 故答案为：254； 270 313 250 254 233 213 296 （3）这七年的全年空气质量优良天数的平均数= 261 天； 7（4）366 80%=292.8 (天). 293 所以 2020 年（共 366 天）兰州市空气质量优良天数至少需要 293天才能达标. 【点睛】本题考查了折线统计图，要理解中位数的定义，以及算术平均数的求解方法，能够根据计算的数 据进行综合分析，熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算是解题的关键． yx25. 通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，下表是一个函数的自变量 与函数值 的部分对应 值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题： xy……0613223451……1.5 1.2 x y 1.5 ；（1）当 时， (x, y) （2）根据表中数值描点 ，并画出函数图象； 的（3）观察画出 图象，写出这个函数的一条性质： ．x【答案】（1）3；（2）见解析；（3）函数图像与 轴无限接近，但没有交点． 【解析】 【分析】 （1）观察列表即可得出答案； （2）依照表格中的数据描出各个点，然后利用光滑的曲线连接各点即可； （3）观察函数图像，写出一条符合函数图像的性质即可． y 1.5 【详解】解：（1）通过观察表格发现：当 x 3时， 故答案为：3； ，（2）如下图： x（3）观察第（2）问中的图像可以得出一个结论：函数图像与 轴无限接近，但没有交点； 【点睛】本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象中读取相关的信息． AE AB ．26. 如图，圆 是ABC 的外接圆，其切线 的度数； 与直径 的延长线相交于点 ，且 EOAE BD ACB （1）求 （2）若 ，求圆 的半径． ODE 2 ACB 【答案】（1） 【解析】 的度数为 ；（2）圆 O 的半径为 2． 60 【分析】 （1）如图（见解析），设 ，先根据等腰三角形的性质得出 ，再根据圆的性质可得 E x ABE E x OA OB ，从而可得 OAB ABO x ，然后根据圆的切线的性质可得OA AE ，又根据三角形的内 角和定理可求出 x 的值，从而可得 AOB 的度数，最后根据圆周角定理即可得； rBAD 90 （2）如图（见解析），设圆 O 的半径为 ，先根据圆周角定理得出 ，再根据直角三角形的性质 可得 ，从而可得 AB 3r ，然后在 RtAOE 中，利用勾股定理求解即可得． AE 3r 【详解】（1）如图，连接 OA 设E x Q AE AB ABE E x OA OB ，OAB ABO x AOB 180 OAB ABO 180 2x AE 是圆 O 的切线 ，即 OA AE OAE 90 BAE OAB OAE x 90 在即中，由三角形的内角和定理得： ABE E BAE 180 △ABE x x x 90 180 解得 x 30 AOB 180 2x 180 230 120 11ACB AOB 120 60 则由圆周角定理得： ACB ；22故的度数为 60 （2）如图，连接 AD rOA OD r, BD 2r 设圆 O 的半径为 ，则 DE 2 OE OD DE r 2 BD 是圆 O 的直径 BAD 90 由（1）可知， ABD 30 1AD BD r, AB BD2 AD2 3r 则在 中， Rt△ABD AE 3r RtAOE 中，由勾股定理得： 222222在2 ，即 r ( 3r) (r 2) OA AE OE 23r 解得 或（不符题意，舍去） r = 2 则圆 O 的半径为 2． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题 （2），通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键． 27. 如图，点 ，分别在正方形 ．的边 BC ，上，且 ，把△ADN 绕点 顺时 MAN 45 ANABCD CD M针旋转 得到 90 △ABE （1）求证： ≌．ANM △AEM 的边长． DN 2 （2）若 ，，求正方形 BM 3 ABCD 【答案】（1）证明见解析；（2）正方形 的边长为 6． ABCD 【解析】 【分析】 AE AN,BAE DAN （1）先根 据旋转的性质可得 ， 再根 据正 方形 的性 质、 角的 和差可得 MAE 45，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； CM x 3,CN x 2 （2）设正方形 的边长为 x，从而可得 ，再根据旋转的性质可得 ，最后在 ABCD ，从而可得 ME 5，然后根据三角形全等的性质可得 中， BE DN 2 MN ME 5 RtCMN 利用勾股定理即可得． AE AN,BAE DAN 【详解】（1）由旋转的性质得： 四边形 ABCD 是正方形 BAD 90 ，即 BAN DAN 90 ，即 BAN BAE 90 MAN 45 EAN 90 MAE EAN MAN 90 45 45 AE AN MAE MAN 45 AM AM 在和中， ANM △AEM AEM ANM (SAS) ；（2）设正方形 的边长为 x，则 ABCD BC CD x BM 3, DN 2 CM BC BM x 3,CN CD DN x 2 由旋转的性质得： BE DN 2 ME BE BM 2 3 5 由（1）已证： AEM ANM MN ME 5 又四边形 ABCD 是正方形 C 90 2 ，即 (x 3)2 (x 2)2 52 CM CN MN 22则在 中， RtCMN 解得 或x 6 x 1 （不符题意，舍去） 故正方形 的边长为 6． ABCD 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较 难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 2yB， 两点，交 轴于点 ，且 x28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax bx 2 交 轴于 CAOA 2OC 8OB ，点 P是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若 ，求点的坐标； PC / /AB P的P面积 最大值及此时点 的坐标． （3）连接 ，求 AC PAC 772y x2 x 2 【答案】（1） 5 ；（2）（ ，2 ）；（3） P面积的最大值是 8；点 的坐标为（2 ， PAC 2）． 【解析】 【分析】 （1）由二次函数的性质，求出点 C 的坐标，然后得到点 A、点 B 的坐标，再求出解析式即可； （2）由 ，则点P 的纵坐标为 2 ，代入解析式，即可求出点 P 的坐标； PC / /AB 1S PD OA （3）先求出直线 AC 的解析式，过点 P 作 PD∥y 轴，交 AC 于点 D，则 ，设点 P 为 PAC 271×2 x 2 x 2 xx，（，），则点 D 为（ ），求出 PD 的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积 22的最大值，再求出点 P 的坐标即可． 【详解】解：（1）在抛物线 y ax2 bx 2 中， y 2 令，则 ，x 0 ∴点 C 的坐标为（0， 2 ）， ∴OC=2， ∵∴OA 2OC 8OB ，，1OB ，OA 4 21∴点 A 为（ ，0），点 B 为（ ，0）， 4 2则把点 A、B 代入解析式，得 16a 4b 2 0 a 1 ，解得： ，1 17a b 2 0 b 4 227y x2 x 2 ∴；2（2）由题意，∵ ，点 C 为（0， 2 ）， PC / /AB ∴点 P 的纵坐标为 2 ，7×2 x 2 2 y 2 令，则 ，272x 0 x = – 解得： ，，2172∴点 P 的坐标为（ ，2 ）； y mx n （3）设直线 AC 的解析式为 ，则 把点 A、C 代入，得 14m n 0 n 2 m ，解得： ，2n 2 1y x 2 ∴直线 AC 的解析式为 ；2过点 P 作 PD∥y 轴，交 AC 于点 D，如图： 71×2 x 2 x 2 xx，设点 P 为（ ，），则点 D 为（ ）， 2217PD x 2 (x2 x 2) x2 4x ∴，22∵OA=4， 11SS PD OA (x2 4x)4 2×2 8x ∴∴，APC APC 22 2(x 2)2 8 ，S∴当 时， APC 取最大值 8； x 2 77×2 x 2 (2)2 (2) 2 5 ∴，225 ∴点 P 的坐标为（ 2 ，）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二 次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题． 本试卷的题干 0635
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