四川省广元市 2020 年中考数学真题 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的． 1. 2﹣ 的绝对值是（） 1212A. 2 B. C. D. 2 A【答案】 【解析】 ﹣22到原点的距离是 ， 分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点 ﹣22 A 的绝对值是 ，故选 ． 所以 2. 下列运算正确的是（ ）22a2b 2a4b2 (a)2 a2 (a b)2 a2 b2 a3a4 a12 D. A. B. C. B【答案】 【解析】 【分析】 分别利用幂的乘方和积的乘方、完全平方公式，同底数幂的乘法法则计算即可. 【详解】解：A、原式=4a4b2，故选项错误； B、原式=a2，故选项正确； C、原式=a2+2ab+b2，故选项错误； D、原式=a7，故选项错误； 故选 B. 【点睛】此题考查了幂的乘方和积的乘方、完全平方公式，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题 的关键． 3. 如图所示的几何体是由 5 个相同的小正方体组成，其主视图为（ ）A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是一个小正方形，第二层是三个小正方形， ∴主视图为： 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 4. 在 2019 年某中学举行的冬季阳径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如表所示： 成绩（m） 1.80 11.50 21.60 41.65 31.70 31.75 2人数 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ）1.70m,1.65m A. B. D. 1.70m，1.70m 1.65m，1.60m C. 1.65m，1.65m D【答案】 【解析】 【分析】 首先根据这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，判断出这些运动员跳高成 绩的中位数即可；然后找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这些运动员跳高成绩的众数，据此解 答即可． 【详解】解：∵15÷2＝7…1，第 8 名的成绩处于中间位置， ∴男子跳高的 15 名运动员的成绩处于中间位置的数是 1.65m， ∴这些运动员跳高成绩的中位数是 1.65m； ∵男子跳高的 15 名运动员的成绩出现次数最多的是 1.60m， ∴这些运动员跳高成绩的众数是 1.60m； 综上，可得这些运动员跳高成绩的中位数是 1.65m，众数是 1.60m． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了众数和中位数，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确众数和中位数的含义和求 法. 5. 如图，a∥b,M、N 分别在 a,b 上，P 为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（ ）. A. 180° 【答案】 【解析】 【分析】 B. 360° C. 270° D. 540° B首先作出 PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3 的值． 【详解】解：过点 P 作 PA∥a， ∵a∥b，PA∥a， ∴a∥b∥PA， ∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°， ∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°， ∴∠1+∠2+∠3=360°． 故选 B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，作出 PA∥a 是解决问题的关键． 6. 按照如图所示的流程，若输出的 ，则输入的 m 为（ ）M = 6 A. 3 B. 1 C. 0 D. -1 C【答案】 【解析】 【分析】 根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得 m 的值，从而可以解答本题． 【详解】解：当 m2-2m≥0 时， 6 6 ，解得 m=0， m 1 经检验，m=0 是原方程的解，并且满足 m2-2m≥0， 当 m2-2m＜0 时， m-3=-6，解得 m=-3，不满足 m2-2m＜0，舍去． 故输入的 m 为 0． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 7. 下列各图是截止 2020 年 6 月 18 日的新冠肺疫情统计数据，则以下结论错误的是（ ）1A. 图 1 显示印度新增确诊人数大约是伊朗的两倍．每百万人口的确诊人数大约是伊朗的 9B. 图 1 显示俄罗斯当前的治愈率高于四班牙 C. 图 2 显示海外新增确诊人数随时间的推移总体呈增长趋势 D. 图 3 显示在 2-3 月之间，我国现有确诊人数达到最多 A【答案】 【解析】 【详解】略 x m 0 7 2x 1 8. 关于 x 的不等式 的整数解只有 4 个，则 m 的取值范围是（ ）A. B. 2 m 1 C. D. 3 m 2 2 m 1 2 m 1 C【答案】 【解析】 【分析】 不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有 4 个，确定出 m 的范围即可． x m x 3 【详解】解：不等式组整理得： ，解集为 m＜x＜3， 由不等式组的整数解只有 4 个，得到整数解为 2，1，0，-1， ∴-2≤m<-1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的 整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到-2≤m<-1 是解此题的关键． AB,CD 9. 如图， O 是的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发，沿 的路线匀速运动， O C B O APD y 设（单位：度），那么 y 与点 P 运动的时间（单位：秒）的关系图是（ ）A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 根据图示，分三种情况：（1）当点 P 沿 O→C 运动时；（2）当点 P 沿 C→B 运动时；（3）当点 P 沿 B→O 运 动时；分别判断出 y 的取值情况，进而判断出 y 与点 P 运动的时间 x（单位：秒）的关系图是哪个即可． 【详解】解：（1）当点 P 沿 O→C 运动时， 当点 P 在点 O 的位置时，y＝90°， 当点 P 在点 C 的位置时， ∵OA＝OC， ∴y＝45°， ∴y 由 90°逐渐减小到 45°； （2）当点 P 沿 C→B 运动时， 根据圆周角定理，可得 y≡90°÷2＝45°； （3）当点 P 沿 B→O 运动时， 当点 P 在点 B 的位置时，y＝45°， 当点 P 在点 O 的位置时，y＝90°， ∴y 由 45°逐渐增加到 90°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象和圆周角定理，解答此类问题的关键是通过看图获取信息， 并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图． sin x sin x,cos x cos x,cos x y cos xcos y sin xsin y 给出以下四个结论：（1） 10. 规定： 1222cos x y cos xcos y sin xsin y sin 30 ；（2） ；（3） ；（4） cos2x cos x sin x 6 2 4其中正确的结论的个数为（ ）cos15 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C【答案】 【解析】 【分析】 根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论． 1sin 30 sin30 【详解】解：（1） ，故此结论正确； 2cos2x cos x x cos xcos x sin xsin x cos2 x sin2 x （2） （3） ，故此结论正确； cos x y cos x y cos xcos y sin xsin y cos xcos y sin xsin y 故此结论正确； （4）cos15 cos 4530 ==cos45cos30 sin 45sin30 232 1 222262446 2 ，4故此结论错误. 故选：C． 【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识， 理解题中公式. 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上． 11. 近年来，四川省加快推进商业贸易转型升级，2019 年，四川全省商业贸易服务业增加值达 4194 亿元， 用科学计数法表示______________元． 【答案】4.194×1011 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的 绝对值小于 1 时，n 是负数． 【详解】解：将 4194 亿元用科学记数法表示为 4.194×1011 元． 故答案为：4.194×1011． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． KK K ,3 中的两个时，能够让灯泡发光的概率为________． 212. 在如图所示的电路图中，当随机闭合开关 ,12【答案】 3【解析】 【分析】 K分析电路图知：要让灯泡发光， 1 必须闭合，同时 K K ,3 中任意一个关闭时，满足条件，从而求算概 2率． K【详解】分析电路图知：要让灯泡发光， 1 必须闭合，同时 K K ,3 中任意一个关闭时，满足： 2KKK K KKKKK K 、 3 两种， ,1一共有： ,2 ,、 ,、,3 三种情况，满足条件的有 ,12311223∴能够让灯泡发光的概率为： 2故答案为： ．3【点睛】本题考查概率运算，分析出所有可能的结果，寻找出满足条件的情况是解题关键． m13. 关于 x 的分式方程 2 0 的解为正数，则 m 的取值范围是_____________． 2x 1 【答案】m<2 且 m≠0 【解析】 【分析】 首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于 m 的不等式，从而求得 m 的范围． 【详解】解：去分母得：m+4x-2=0， 2 m 4解得：x＝ ，m 2 0 ∵关于 x 的分式方程 的解是正数， 2x 1 2 m 4∴＞0， ∴m<2， ∵2x-1≠0， 2 m 2 -1 0 ∴，4∴m≠0， ∴m 的取值范围是 m<2 且 m≠0． 故答案为：m<2 且 m≠0． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键． O, MH BC AC 10, AH 8 14. O 如图，ABC 内接于 于点 H，若 ，的半径为 7，则 ______． AB 56 5【答案】 【解析】 【分析】 作直径 AD，连接 BD，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，∠D＝∠C，证明△ABD∽△AHC，根据相似三 角形的性质解答即可． 【详解】解：作直径 AD，连接 BD， ∵AD 为直径， ∴∠ABD＝90°，又 AH⊥BC， ∴∠ABD＝∠AHC， 由圆周角定理得，∠D＝∠C， ∴△ABD∽△AHC， AB AD AB 14 ∴，即 ，AH AC 810 56 解得，AB＝ ，556 故答案 为：．5【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质 是解题的关键． ABC,ECD 5cm,3cm ，B、C、D 三点在同一条直线上，则 15. 如图所示， 均为等边三角形，边长分别为 下列结论正确的________________．（填序号） 13 CM cm ⑤CM 平分 ①②③△CFG 为等边三角形 ④BE 7cm AD BE BMD 7【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】 ①根据等边三角形的性质得 CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS” 可判断△ACD≌△BCE，则 AD＝BE； ②过 E 作 ,根据等边三角形求出 ED、CN 的长，即可求出 BE 的长； EN CD ③由等边三角形的判定得出△CMN 是等边三角形； ④证明△DMC∽△DBA，求出 CM 长； ⑤证明 M、F、C、G 四点共圆，由圆周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC ＝∠DMC，所以 CM 平分∠BMD. 【详解】解：连接 MC，FG，过点 E 作 EN⊥BD，垂足 ①∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°， ∴∠ACE＝60°， 为N， ∴∠ACD＝∠BCE＝120°， CA CB ACD BCE CD CE 在△ACD 和△BCE 中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE；①正确； ②∵△CDE 都是等边三角形，且边长为 3cm. 33 3 2∴CN= cm，EN= cm. 2∵BC=5cm. 2 2323 3 2∴，②正确； BE 5 7cm ③∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， ACG BCF AC BC 在△ACG 和△BCF 中， GAC MBC ∴△ACG≌△BCF（ASA）， ∴CG＝CF 而∠GCF＝60°， ∴△CMN 是等边三角形，③正确； ⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG， ∴M、F、C、G 四点共圆， ∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°， ∴∠BMC＝∠DMC， ∴CM 平分∠BMD，⑤正确； ④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA ∴△DMC∽△DBA CM CD ∴AB AD CM 3∴5715 7cm ∴CM= .④错误. 故答案为：①②③⑤. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质， 证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题（共 90 分）要求写出必要的解答步骤或证明过程 2 1016. 计算： 2sin 45 1 2 2020 2【答案】-2 【解析】 【分析】 直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别代入化简即 可． 【详解】解：原式＝ 2 4 1 2 1 =-2 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 1 a a1 a 2 a 1 17. 先化简，再求值： ，其中 a 是关于 x 的方程 的根． x 2x 3 0 a2 a 【答案】a2+2a+1；16 【解析】 【分析】 首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可． 1 a a1 a a 1 【详解】解： a2 a a a1 a a1 1 a aa1 a 1 a 1 a aa 1 a1 a 2 a 1 =a2+2a+1 2∵a 是关于 x 的方程 的根， x 2x 3 0 ∴a2-2a-3=0， ∴a=3 或 a=-1， ∵a2+a≠0， ∴a≠-1， ∴a=3， ∴原式=9+6+1=16. 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解，正确化简分式是解题关键． 18. 已知ABCD ，O 为对角线 AC 的中点，过 O 的一条直线交 AD 于点 E，交 BC 于点 F． （1）求证： （2）若 ；△AOE≌△COF 的，面积为 2，求ABCD 的面积． AE : AD 1：2 △AOE 【答案】（1）见解析；（2）16. 【解析】 【分析】 （1）由平行四边形的性质得出 AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由 ASA 即可得出结论； （2）由于 ，O 为对角线 AC 的中点，得出△AEO∽△ADC，根据 的面积为 2，可 AE : AD 1：2 △AOE 得△ADC 的面积，进而得到ABCD 的面积． 【详解】解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵O 是 AC 的中点， ∴OA＝OC， EAO FCO OA OC 在△AOE 和△COF 中， ，AOE COF ∴△AOE≌△COF（ASA）； （2）∵ AE：AD =1：2，O 为对角线 AC 的中点， ∴AO:AC=1:2， ∵∠EAO＝∠DAC， ∴△AEO∽△ADC， ∵的面积为 2， △AOE ∴△ADC 的面积为 8， ∴ABCD 的面积为 16. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形面积比，要熟练掌 握全等三角形的判定和相似三角形的判定. 19. 广元市某中学举行了“禁毒知识竞赛”，王老师将九年级（1）班学生成绩划分为 A、B、C、D、E 五个 等级，并绘制了图 1、图 2 两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）求九年级（1）班共有多少名同学？ （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“C”所对应的圆心角度数； （3）成绩为 A 类的 5 名同学中，有 2 名男生和 3 名女生；王老师想从这 5 名同学中任选 2 名同学进行交流， 请用列表法或画树状图的方法求选取的 2 名同学都是女生的概率． 3【答案】（1）50；（2）见解析，108°；（3） ．10 【解析】 【分析】 （1）由 B 的人数和其所占的百分比即可求出总人数； 的（2）C 人数可知，而总人数已求出，进而可求出其所对应扇形的圆心角的度数；根据求出的数据即可补 全条形统计图； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到 2 名同学都是女生的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：（1）由题意可知总人数＝10÷20%＝50 名； （2）补全条形统计图如图所示： 扇形统计图中 C 等级所对应扇形的圆心角＝15÷50×100%×360°＝108°； （3）列表如下： 得到所有等可能的情况有 20 种，其中恰好抽中 2 名同学都是女生的情况有 6 种， 63所以恰好选到 2 名同学都是女生的概率＝ ＝．10 20 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20. 某网店正在热销一款电子产品，其成本为 10 元/件，销售中发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单 价 x（元/件）之间存在如图所示的关系： （1）请求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元； （3）由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 300 元捐赠给武汉， 为了保证捐款后每天剩余利润不低于 450 元，如何确定该款电子产品的销售单价？ 【答案】（1） y＝−10x＋300；（2）20 元时，最大利润为 1000 元；（3）单价每件不低于 15 元，且不高于 25 元. 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）设该款电子产品每天的销售利润为 w 元，根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，配方 成顶点式后利用二次函数的性质求解可得； （3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，根据题意得出 z＝−10×2＋400x−3000−300＝−10×2＋400x−3300，求出 z ＝450 时的 x 的值，求解可得． 【详解】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx＋b， 将（20，100），（25，50）代入 y＝kx＋b， 20k b 100 25k b 50 得，k 10 b 300 解得 ，∴y 与 x 的函数关系式为 y＝−10x＋300； （2）设该款电子产品每天的销售利润为 w 元， 由题意得 w＝（x−10）•y ＝（x−10）（−10x＋300） ＝−10×2＋400x−3000 ＝−10（x−20）2＋1000， ∵−10＜0， ∴当 x＝20 时，w 有最大值，w 最大值为 1000． 答：该款电子产品销售单价定为 20 元时，每天销售利润最大，最大销售利润为 1000 元； （3）设捐款后每天剩余利润 为 z 元， 由题意可得 z＝−10×2＋400x−3000−300＝−10×2＋400x−3300， 令 z＝450，即−10×2＋400x−3300＝450， x2−40x＋375＝0， 解得 x1＝15，x2＝25， ∵−10＜0， ∴当该款电子产品的销售单价每件不低于 15 元，且不高于 25 元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 450 元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意找到题目 蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式． 21. 如图，公路 MN 为东西走向，在点 M 北偏东 36.5°方向上，距离 5 千米处是学校 A；在点 M 北偏东 45° 方向上距离 千米处是学校 B．（参考数据： ，sin36.5 0.6 cos36.5 0.8，tan36.5 0.75 ）． 6 2 （1）求学校 A，B 两点之间的距离 （2）要在公路 MN 旁修建一个体育馆 C，使得 A，B 两所学校到体育馆 C 的距离之和最短，求这个最短距 离． 【答案】（1） km;（2） km. 109 13 【解析】 【分析】 （1）过点 A 作 CD//MN，BE⊥MN，在 Rt△ACM 中求出 CM，AC，在 Rt△MBE 中求出 BE，ME，继而得 出 AD，BD 的长度，在 Rt△ABD 中利用勾股定理可得出 AB 的长度． （2）作点 B 关于 MN 的对称点 G，连接 AG 交 MN 于点 P，点 P 即为站点，求出 AG 的长度即可． 【详解】（1）过点 A 作 CD//MN，BE⊥MN，如图： 在 Rt△ACM 中，∠CMA＝36.5°，AM＝5km， CA ∵sin36.5°＝ ＝0.6， 5∴CA＝3，MC＝4km， 在 Rt△MBE 中，∠NMB＝45°，MB＝ km， 6 2 BE 2∵sin45°＝ ＝，6 2 2∴BE＝6，ME＝6km， ∴AD＝CD−CA＝ME−CA＝3km，BD＝BE−DE＝BE−CM＝2km， 在 Rt△ABD 中，AB＝ km． 13 （2）作点 B 关于 MN 的对称点 G，连接 AG 交 MN 于点 P，连接 PB，点 P 即为站点， 此时 PA＋PB＝PA＋PG＝AG，即 A，B 两所学校到体育馆 C的距离之和最短为 AG 长 在 Rt△ADG 中，AD=3，DG=DE+EG=DE+BE=4+6=10，∠ADG=90°， AD2 DG2 32 102 ∴AG＝ ＝km． 109 答：最短距离为 km． 109 【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求解相关 线段的长度，难度较大． my kx b A(3,4), B(n,-1) 22. 如图所示，一次函数 y 的图象与反比例函数 的图象交于 ．x（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在 x 轴上存在一点 C，使 为等腰三角形，求此时点C 的坐标； △AOC （3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围． 25 612 16，0 5，0 ，0 5，0 ；（3）-12<x<0 或 x>3 y y x 3 【答案】（1） ，；（2） ，，，3x【解析】 【分析】 （1）因为反比例函数过 A、B 两点，所以可求其解析式和 n 的值，从而知 B 点坐标，进而求一次函数解析 式； （2）分三种情况：OA=OC，AO=AC，CA=CO，分别求解即可； （3）根据图像得出一次函数图像在反比例函数图像上方时 x 的取值范围即可. my 【详解】解：（1）把 A（3，4）代入 ∴m＝12， ，x12 y ∴反比例函数是 ；x12 y 把 B（n，-1）代入 得 n＝−12． x把 A（3，4）、B（-12，−1）分别代入 y＝kx＋b 中： 3k b 4 得，12k b 1 13b 3 k 解得 ，1y x 3 ∴一次函数的解析式为 ；322（2）∵A（3，4），△AOC 为等腰三角形，OA= ，3 4 5 分三种情况： ①当 OA=OC 时，OC=5， 5，0 5，0 此时点 C 的坐标为 ，；②当 AO=AC 时，∵A（3，4），点 C 和点 O 关于过 A 点且垂直于 x 轴的直线对称， 6，0 ；此时点 C 的坐标为 ③当 CA=CO 时，点 C 在线段 OA 的垂直平分线上， 过 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D， 由题意可得：OD=3，AD=4，AO=5，设 OC=x，则 AC=x， 在△ACD 中， 242 x 3 x2 ， 25 6解得：x= ，25 6，0 此时点 C 的坐标为 ；25 66，0 5，0 ，0 5，0 综上：点 C 的坐标为： （3）由图得： ，，，；当一次函数图像在反比例函数图像上方时， -12<x<0 或 x>3， 即使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围是：-12<x<0 或 x>3. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，利用 了数形结合及分类讨论的思想. BAC 交 BC 于点 O，以 O 为圆心，OC 长为半径作圆交 BC 于 23. 在中， ，OA 平分 RtABC ACB 90 点 D． O （1）如图 1，求证：AB 为 O 的切线； （2）如图 2，AB 与 相切于点 E，连接 CE 交 OA 于点 F． ①试判断线段 OA 与 CE 的关系，并说明理由． OF : FC 1: 2,OC 3 ②若 ，求 tan B 的值． 34【答案】（1）见解析；（2）①OA 垂直平分 CE，理由见解析；② 【解析】 【分析】 （1）过点 O 作 OG⊥AB，垂足为 G，利用角平分线的性质定理可得 OG=OC，即可证明； （2）①利用切线长定理，证明 OE=OC，结合 OE=OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论； OF : FC 1: 2,OC 3 ②根据 求出 OF 和 CF，再证明△OCF∽△OAC，求出 AC，再证明 BE OE BO △BEO∽△BCA，得到 ，设 BO=x，BE=y，可得关于 x 和 y 的二元一次方程组，求解可 BC AC AB 得 BO 和 BE，从而可得结果. 【详解】解：（1）如图，过点 O 作 OG⊥AB，垂足为 G， BAC ∵OA 平分 ∴OG=OC， 交 BC 于点 O， O ∴点 G 在 上， O 即 AB 与 相切； （2）①OA 垂直平分 CE，理由是： 连接 OE， O O ∵AB 与 相切于点 E，AC 与 相切于点 C， ∴AE=AC， ∵OE=OC， ∴OA 垂直平分 CE； OF : FC 1: 2,OC 3 ②∵ ，则 FC=2OF，在△OCF 中， 2OF2 2OF 32 ，3 5 56 5 5解得：OF= ，则 CF= ，由①得：OA⊥CE， 则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°， ∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°， ∴△OCF∽△OAC， 3 56 5 OC OF CF ∴，即 ，3535AC OA OC AC OA 解得：AC=6， ∵AB 与圆 O 切于点 E， ∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B， ∴△BEO∽△BCA， BE OE BO ∴则，设 BO=x，BE=y， BC AC AB y36x，3 x y 6 6y 9 3x 可得： 解得： ∴tanB= ，6x 3y 18 x 5 ，即 BO=5，BE=4， y 4 OE BE 34=.【点睛】本题考查了圆的综合，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用， 有一定难度，解题要合理选择相似三角形得出结论. 分别与 x 轴，y 轴交于点 A，B 两点，点 C 为 OB 的中点，抛物线 y x2 bx c y 2x 10 24. 如图，直线 经过 A，C 两点． （1）求抛物线的函数表达式； 45 2（2）点 D 是直线 AB 下方的抛物线上的一点，且 的面积为 ，求点 D 的坐标； △ABD （3）点 P 为抛物线上一点，若△APB 是以 AB 为直角边的直角三角形，求点 P 到抛物线的对称轴的距 离． 32249 1 4249 1 4【答案】（1） y x2 6x 5 ；（2）（2，-3）；（3） 或或.【解析】 【分析】 （1）由直线解析式求出 A、B 坐标，然后得出 C 点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； 145 22OA DE =（2）过点 D 作 DE⊥x 轴，交直线 AB 于点 E，设 D（m， 得出方程，解出 m 值即可； ），利用 S =m 6m 5 △ABD 2（3）分点 A 是直角顶点和点 B 是直角顶点，结合图像，表示出△ABP 三边长度，利用勾股定理得出方程， 求解即可. y 2x 10 【详解】解：（1）直线 中， 令 x=0，则 y=10，令 y=0，则 x=5， ∴A（5，0），B（0，10）， ∵点 C 是 OB 中点， ∴C（0，5），将 A 和 C 代入抛物线 y x2 bx c 中， 0 25 5b c 5 c b 6 c 5 ，解得： ，∴抛物线表达式为： y x2 6x 5 ；y 2x 10 y x2 6x 5 （2）联立： ，x 1 y 12 x 5 y 0 解得： 或，∴直线 AB 与抛物线交于点（-1，12）和（5，0）， ∵点 D 是直线 AB 下方抛物线上的一点， 设D（m， 2）， m 6m 5 ∴-1＜m＜5， 过点 D 作 DE⊥x 轴，交直线 AB 于点 E， ∴E（m，-2m+10）， 22∴DE= =，2m 10 m 6m 5 m 4m 5 121245 2OA DE 5 m2 4m 5 ∴S△ABD ===，解得：m=2， ∴点 D 的坐标为（2，-3）； （3）抛物线表达式为： y x2 6x 5 ，∵△APB 是以 AB 为直角边的直角三角形， 2设点 P（n， ），∵A（5，0），B（0，10）， n 6n 5 222∴AP2= n 5 n2 6n 5 ，BP2= n2 n2 6n 510 ，AB2=125， 当点 A 为直角顶点时， BP2= AB2+ AP2， 3解得：n= 或 5（舍）， 2当点 B 为直角顶点时， AP2= AB2+ BP2， 13 249 13 249 解得：n= 或，44而抛物线对称轴为直线 x=3， 3 3 =2 2 13 249 249 1 413 249 249 1 ，4则 3- ，-3= ，3- =443249 1 4249 1 4综上：点 P 到抛物线对称轴的距离为： 或或.2【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数图象上坐标点的特征，待定系数法求二次函数解析 式，三角形面积的铅垂高表示法，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的判定与性质等重要知识点， 综合性强，难度较大． 本试卷的题干 0635
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