乐山市 2020 年初中学业水平考试 数学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共 8 页．考生作答时，须将答案答 在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共 30 分） 注意事项： 1．选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分． 11. A. 的倒数是（ ）21212B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数，求解． 12=1 【详解】解：∵ 21∴的倒数是 2 2故选：A． 【点睛】本题考查倒数的概念，掌握概念正确计算是解题关键． 2. 某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的 答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、 “优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学 生共有 2000 人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（ ）A. 1100 B. 1000 C. 900 D. 110 A【答案】 【解析】 【分析】 先求出“良”和“优”的人数所占的百分比，然后乘以 2000 即可． 85 25 【详解】解：“良”和“优”的人数所占的百分比： 18 72 85 25 ×100%=55%， ∴在 2000 人中成绩为“良”和“优”的总人数估计为 2000×55%=1100（人）， 故选：A． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，求出“良”和“优”的人数所占的百分比是解题关键． 3. 如图， 是直线 上一点， ，射线 平分 CEF ，．则 （）CA FEA 40 GE EF GEB EEB 30° A. 10 B. 20 C. D. 40 B【答案】 【解析】 【分析】 先根据射线 平分 CEF ，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据 ，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF 即 GE EF EB 可得出答案． 【详解】∵ ，FEA 40 ∴∠CEF=140°， ∵射线 平分 CEF ，EB ∴∠CEB=∠BEF=70°， ∵，GE EF ∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键． 7，将点 在数轴上平移个单位长度得到点 4. 数轴上点 表示的数是 3 B．则点 B表示的数是（ ）AAA. B. D. 或10 44 C. 10 或10 4D【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点 B 表示的数是多少即可． 【详解】解：点 A 表示的数是−3，左移 7 个单位，得−3−7＝−10， 点 A 表示的数是−3，右移 7 个单位，得−3＋7＝4， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加， 左移减． 5. 如图，在菱形 中， ，，是对角线 的中点，过点 作于点 ABCD BAD 120 OOOE CD AB 4 BD ，连结 ．则四边形 的周长为（ ）OA AOED EA. B. C. D. 89 2 3 9 3 7 2 3 B【答案】 【解析】 【分析】 由已知及菱形的性质求得∠ABD=∠CDB=30º，AO⊥BD，利用含 30º的直角三角形边的关系分别求得 AO、 DO、OE、DE，进而求得四边形 的周长. AOED 【详解】∵四边形 ABCD 是菱形， 是对角线 的中点， OBD ∴AO⊥BD ， AD=AB=4，AB∥DC ∵∠BAD=120º， ∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30º， ∵OE⊥DC， 122AD ∴在 RtΔAOD 中，AD=4 ， AO= =2 ，DO= ，AD AO 2 3 2122OD 3 在 RtΔDEO 中，OE= ，DE= ，OD OE 3 2∴四边形 的周长为 AO+OE+DE+AD=2+ +3+4=9+ ，AOED 33故选：B. 【点睛】本题考查菱形的性质、含 30º的直角三角形、勾股定理，熟练掌握菱形的性质及含 30º的直角三 角形边的关系是解答的关键. y kx b 6. 直线 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式 的解集是（ ）kx b 2 A. B. C. D. x≤2 x 4 x 2 x 4 C【答案】 【解析】 【分析】 先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集． y kx b 【详解】解：根据图像得出直线 经过（0，1），（2，0）两点， b 1 y kx b 将这两点代入 得，2k b 0 b 1 k 解得 ，121y x 1 ∴直线解析式为： ，212 x 1 将 y=2 代入得 解得 x=-2， ，2∴不等式 的解集是 ，kx b 2 x 2 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和用待定系数法求解析式，解不等式，求出直线解析式是解题关键． 7. 观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为 ），如果将它们沿方格边线或对角线剪 1开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ）A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可得． 【详解】由方格的特点可知，选项 A 阴影部分的面积为 6，选项 B、C、D 阴影部分的面积均为 5 如果能拼成正方形，那么选项 A 拼接成的正方形的边长为 ，选项 B、C、D 拼接成的正方形的边长为 65观察图形可知，选项 B、C、D 阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图 1 所示的 5 个图形，由此可 拼接成如图 2 所示的边长为 的正方形 5而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项 A 阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为 的6正方形 故选：A． 【点睛】本题考查了学生的动手操作能力、正方形的面积和正方形的有关画图、勾股定理，以拼接前后图 形的面积不变为着手点是解题关键． m2m4n nx，则 的值为（ 8. 已知 ，．若 ）3 4 3 2 9 x A. B. C. D. 8422 2 C【答案】 【解析】 【分析】 2m4n = 3m 9n 逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由 2 即可解答． 32232m4n =32m-2n = 3m-2n = 3m 9n 【详解】∵ ，24 依题意得： x>0 ， ． 2 x 4 2 ∴∴，，xx=2 2 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变 形． BC 1 9. 在中，已知 ，ABC 90 BAC 30 ，．如图所示，将 绕点 按逆时针方向旋 AABC ABC ‘转后得到 ‘ ．则图中阴影部分面积 为（）90 AB C 4 3 3 3A. B. C. D. 242B【答案】 【解析】 【分析】 S阴影 =S扇形CAC ‘ SAB’C ‘ S 先求出 AC、AB，在根据 扇形DAB’ 求解即可． 【详解】解：在 Rt△ABC 中，∵ ∴AC=2BC=2， ，BAC 30 22∴∵∴∴，AB AC BC = 3 ”绕点 按逆时针方向旋转 A后得到 ，ABC 90 AB C AB=AB’ 3, BC B’C ‘ 1,CAC ‘ 90 CAB’ 60 290 22 1 3 ．90 3∴S阴影 =S扇形CAC ‘ SAB’C ‘ S扇形DAB’ = 31 =360 2360 2故选：B S阴影 =S扇形CAC ‘ SAB’C ‘ S 【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，熟记扇形面积公式，根据 解是解题关键． 扇形DAB’ 求 k如图，在平面直角坐标系中，直线 y x与双曲线 10. C(2,2) 为圆心， y 交于 、B两点， P是以点 AxOQ Q半径长 的圆上一动点，连结 1，为的中点．若线段 长度的最大值为 ，则 的值为（ k）AP AP 21314A. B. C. 2 D. 22A【答案】 【解析】 【分析】 连接 BP，证得 OQ 是△ABP 的中位线，当 P、C、B 三点共线时 PB 长度最大，PB=2OQ=4，设 B 点的坐标 C(2,2) 为（x，-x），根据点 ，可利用勾股定理求出 B 点坐标，代入反比例函数关系式即可求出 k 的值． 【详解】解：连接 BP， k∵直线 y x与双曲线 y 的图形均关于直线 y=x 对称， x∴OA=OB， ∵点 Q 是 AP 的中点，点 O 是 AB 的中点 ∴OQ 是△ABP 的中位线， 当 OQ 的长度最大时，即 PB 的长度最大， ∵PB≤PC+BC，当三点共线时 PB 长度最大， ∴当 P、C、B 三点共线时 PB=2OQ=4， ∵PC=1， ∴BC=3， 设 B 点的坐标为（x，-x）， 22则，BC= 2-x 2 x 3 22解得 （舍去） x1 , x2 2222, 故 B 点坐标为 ，22k1y k 代入 中可得： ，2x故答案为：A． 【点睛】本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的 关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共 120 分） 注意事项 1．考生使用 0.5mm 黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上 无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用 0.5mm 黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共 16 个小题，共 120 分． 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分． 7 11. 用“ ”或“ ”符号填空： ______ ．9 【答案】 【解析】 【分析】 两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵|-7|=7，|-9|=9，7<9， ∴-7>-9， 故答案为：>． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个负数，绝 对值大的其值反而小． 12. 某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分 40 分）依次为 37，40，39，37，40，38，40．则这组数据 的中位数是______． 【答案】39 【解析】 【分析】 将数据从小到大进行排列即可得出中位数． 【详解】解：将数据从小到大进行排列为：37，37，38，39，40，40，40 ∴中位数为 39， 故答案为：39． 【点睛】本题考查了求中位数，掌握计算方法是解题关键． 30° ，在自动扶梯下方地面 处测得 13. 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯 的倾斜角为 CAB mm=_________ ．（结果 BD 扶梯顶端 B的仰角为 ，、之间的距离为 4 ． 则自动扶梯的垂直高度 C60 A保留根号） 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 先推出∠ABC=∠BAC，得 BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案． 【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°， ∴∠ABC=30°， ∴∠ABC=∠BAC， ∴BC=AC=4， 3在 Rt△BCD 中，BD=BCsin60°=4× =，2 3 2故答案为： ．2 3 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出 BC=AB=4 是解题关键． x，且 x2 3xy 4y2 0．则 的值是_________． y 0 14. 已知 y【答案】4 或-1 【解析】 【分析】 将已知等式两边同除以 2 进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得． y y 0 【详解】 x3x ( )2 4 0 2×2 3xy 4y2 0两边同除以 得： y将yyxt 令则y2t 3t 4 0 (t 4)(t 1) 0 因式分解得： 解得 或t 4 t 1 x即的值是 4 或 1 y故答案为：4 或 ．1 【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键． 30° 15. 把两个含 角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点 为的中点，连结 BE 交于点 ．则 FAC EAD AF =_________． AC 35【答案】 【解析】 【分析】 连接 CE，设 CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得 AD=4x，AC=2 x，BC= x，AB=3，再由已知 的值. 33AF BF AB BF 32AF AC 证得 CE∥AB，则有 ，由角平分线的性质得 ，进而求得 AE EF CF EF 【详解】连接 CE，设 CD=2x， 在 RtΔACD 和 RtΔABC 中，∠BAC=∠CAD=30º， 22∴∠D=60º，AD=4x，AC= ，AD CD 2 3x 122AC BC= =x，AB= x， 3AC BC 3 2∵点 E 为 AD 的中点， 1AD ∴CE=AE=DE= =2x， 2∴ΔCED 为等边三角形， ∴∠CED=60º， ∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30º+30º=60º， ∴∠CED=∠BAD， ∴AB∥CE， AF BF ∴，CF EF 在 ΔBAE 中，∵∠BAE=∠CAD=30º ∴AF 平分∠BAE， AB BF 3x 32∴∴，AE EF 2x AF BF 3，CF EF 2AF AC 35∴，3故答案为： . 5【点睛】本题考查了含 30º的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的 性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路， 进而探究、推理并计算. x表示不大于 的最大整数．例如： x 1.5 1 1.5 2 16. 我们用符号 ，．那么： x时， 的取值范围是______； 1 x 2 （1）当 y x2 2a x 3 y x 3 a的图象下方．则实数 的范围 （2）当 1 x 2时，函数 是______． 的图象始终在函数 3a 1 a (2). 或(1). 【答案】 0 x＜3 2【解析】 【分析】 x （1）首先利用 的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解 x 取值范 围． （2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求 参数． x 1 x 2 x时， 的可能取值为0,1,2． 【详解】（1）因为 表示整数，故当 x x x 当取 0 时， ；当 取 1 时， ；当 =2 时， ．0 x＜1 1 x＜2 2 x＜3 1 x 2 故综上当 时，x 的取值范围为： ． 0 x＜3 y x2 2a x 3 y x 3 y y y （2）令 ，，，1 1232y ＞0 y x2 (2a 1) x 由题意可知： ，． 33y x2 (2a 1) x ①当 时， =，，在该区间函数单调递增，故当 时， 1 x＜0 x 1 1 3ymin 2a 2＞0 ，得 ．a＜-1 y x2＜0 x②当 ③当 时， =0， =1， 不符合题意． 0 x＜1 1 x＜2 3y x2 2a 1 xx 时， ，在该区间内函数单调递减，故当 取值趋近于2 时， 33ymin 2a 3＞0 a＞ ，得 ，23y x2 4 y 0 a 当时， ，因为 ，故 ，符合题意． x 2 3323a 1 a 或故综上： ．2【点睛】本题考查函数的新定义取整函数，需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类型题目极为 常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型． 三、本大题共 3 个小题，每小题 9 分，共 27 分． 2 2cos60 ( 2020)0 17. 计算： ．【答案】2 【解析】 【分析】 根据绝对值，特殊三角函数值，零指数幂对原式进行化简计算即可． 12 2 1 【详解】解：原式= 2=．2【点睛】本题考查了绝对值，特殊三角函数值，零指数幂，掌握运算法则是解题关键． 2x y 2, 8x 3y 9. 18. 解二元一次方程组： 32x ，【答案】 y 1. 【解析】 【分析】 方程组利用加减消元法，由②-①3即可解答； 2x y 2 ①②【详解】解： ，8x 3y 9 ②-① ，得 3 ，2x 3 3x 解得： ，232y 1 x 把代入①，得 ；3x ，∴原方程组的解为 2y 1. 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． AB 3 CE 1 ．求 19. 如图， 是矩形 的边 上的一点， 于点 ，，，的长 ABCD CB EFAD 2 DF AF DE 度． 10 5【答案】 ．【解析】 【分析】 DE EC 先根据矩形的性质、勾股定理求出 可得出答案． ，再根据相似三角形的判定与性质可得 ，由此即 DE 10 AD DF AB 3 是矩形， 【详解】∵四边形 ABCD DC AB 3 CE 1 ∴∵，ADC C 90 DE DC2 CE2 32 12 10 ∴∵，ADC 90 AF DE ADF DAF 90 ，ADF EDC 90 ∴EDC DAF EDC DAF 在∴∴和中， △EDC △ DAF C AFD 90 EDC DAF DE EC 10 1，即 AD DF 2DF 10 5解得 DF 10 5即的长度为 ．DF 的【点睛】本题考查了矩形 性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定 与性质是解题关键． 四、本大题共 3 个小题，每小题 10 分，共 30 分． 11×2 y x2 y2 2x y 20. 已知 y () ，且 ，求 的值． xx y x y 2【答案】 ，1 xy 【解析】 【分析】 22y= 先进行分式的加减运算，进行乘除运算，把式子化简为 ．将 代入进行计算即可． xy x2x (x y)(x y) x2 y2 x2 y 【详解】原式= 2x x2 y2 ==x2 y2 x2 y 2，xy 2y ∵，2x1 2∴原式= ．x xyx【点睛】本题主要考查分式的化简求值，关键在于通过已知用含 的表达式表示出 ．kxA(2,2) B(1, a) ．21. 如图，已知点 y 在双曲线 上，过点 的直线与双曲线的另一支交于点 A（1）求直线 的解析式； AB CD AB （2）过点 B作轴于点 ，连结 C，过点 作于点 ．求线段 D的长． BC x AC CCD 4 5 y 2x 2 【答案】（1） ；（2） CD 5【解析】 【分析】 kA(2,2) y （1）由点 在双曲线 上，求得反比例函数解析式，再由点 B 在双曲线上，求得点 B 坐标， x利用待定系数法求直线 AB 的解析式即可； 11S ABCD BC 3 ，即可求出 CD 的长． （2）用两种方式表示△ABC 的面积可得 ABC 22k4A(2， 2) y y 【详解】解：（1）将点 代入 ，得 ，即 ，k 4 xx4B(1，a) B(1， 4) ，y 将代入 ，得 ，即 a 4 y mx n ，x设直线 的解析式为 AB y mx n ，得 A(2， 2) B(1， 4) 、将代入 2 2m n， m 2， n 2. ，解得 4 m n .y 2x 2 ∴直线 （2）∵ ∴的解析式为 ．AB A(2， 2) B(1， 4) 、，22，AB (2 1) (2 4) 3 5 ∵轴， BC x ∴BC=4， 11S ABCD BC 3 ∵∴，ABC 22BC 3 43 45 AB CD ．53 5 【点睛】本题考查了反比例函数上点坐标的特征，待定系数法求一次函数解析式，两点距离公式，面积法 等知识，面积法：是用两种方式表示同一图形的面积． 22. 自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫 情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈． 如图是某国截止 5 月 31 日新冠病毒 感染人数的扇形统计图和折线统计图． 根据上面图表信息，回答下列问题： （1）截止 5 月 31 日该国新冠肺炎感染总人数累计为 角的度数为 º ； 万人，扇形统计图中 40-59 岁感染人数对应圆心 （2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图； （3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取 1 人，求该患者年龄为 60 岁或 60 岁以上的概率； （4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为 、2.75% 、、10% 、，求该国 1% 3.5% 20% 新冠肺炎感染病例的平均死亡率． 72 【答案】（1） 【解析】 ，；（2）见解析；（3） ；（4）10% 67.5% 20 【分析】 45%, （1）利用 60 ~ 79 岁感染的人数有 万人，占比 可求得总人数；利用总人数可求扇形统计图中 40-59 9岁感染人数所占百分比，从而可求扇形图中所对应的圆心角； （2）先求解 20 ~ 39 感染人数，然后直接补全折线统计图即可； （3）先求解患者年龄为 60 岁或 60 岁以上的人数，直接利用概率公式计算即可； （4）先求解全国死亡的总人数，再利用平均数公式计算即可． 45%, 【详解】解：（1）由 60 ~ 79 岁感染的人数有 万人，占比 99 20 截止 5 月 31 日该国新冠肺炎感染总人数累计为 （万人）， 45% 4 20%, 扇形统计图中 40-59 岁感染人数占比： 20 扇形统计图中 40-59 岁感染人数对应圆心角的度数为：36020% 72. 72 ；故答案为： ，20 （2）补全的折线统计图如图 2 所示； 20 ~ 39 感染人数为： 20 0.5 4 9 4.5 2 万人， 补全图形如下： （3）该患者年龄为 60 岁及以上的概率为： 9 4.5 20 100% 67.5% ；（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为： 0.51% 22.75% 43.5% 910% 4.520% 100% 10% ．20 【点睛】本题考查的是从扇形统计图，折线统计图中获取信息，考查了扇形统计图某部分所对应的圆心角 的计算，考查总体数量的计算，考查了平均数的计算，同时考查简单随机事件的概率，掌握以上知识是解 题的关键． 五、本大题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分． 23. 某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限 载人数和单程租赁价格表： 车型 每车限载人数（人） 租金（元/辆） 商务车 轿 车 64300 （1）如果单程租赁 2 辆商务车和 3 辆轿车共需付租金 1320 元，求一辆轿车的单程租金为多少元？ （2）某公司准备组织 34 名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的 情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 240 【答案】（1）租用一辆轿车的租金为 元．（2）租用商务车 辆和轿车辆时，所付租金最少为 5 1740 1元． 【解析】 【分析】 （1）本题可假设轿车的租金为 x 元，并根据题意列方程求解即可． （2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁， 方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二则需要利用枚举法求解本题． x【详解】解：（1）设租用一辆轿车的租金为 元． 由题意得： ．3002 3x 1320 x 240 解得 ，240 答：租用一辆轿车的租金为 元． 34 623 5 （2）方法 1：①若只租用商务车，∵ ，∴只租用商务车应租 6 辆，所付租金为 （元）； 3006 1800 34 8.5 ②若只租用轿车，∵ ，4∴只租用轿车应租 9 辆，所付租金为 （元）； 2409 2160 m③若混和租用两种车，设租用商务车 辆，租用轿车辆，租金为 元． nW6m 4n 34 由题意，得 W 300m 240n 由∴，得 ，6m 4n 34 4n 6m 34 W 300m 60(6m 34) 60m 2040 ，17 m ∵，∴ ，6m 34 4n 0 3m，且 为整数， ∴∵1 m 5 m随的增大而减小， W∴当 m 5时， 有最小值 ，此时 n 1 ，W1740 综上，租用商务车 辆和轿车辆时，所付租金最少为 5元． 1740 1mn方法 2：设租用商务车 辆，租用轿车辆，租金为 元． W6m 4n 34 由题意，得 W 300m 240n 17 3m 由，得 ，∴ ，6m 4n 34 4n 6m 34 0 mm为整数，∴ 只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有： ∵不租商务车，则需租 9 辆轿车，所需租金为 租 1 商务车，则需租 7 辆轿车，所需租金为 租 2 商务车，则需租 6 辆轿车，所需租金为 租 3 商务车，则需租 4 辆轿车，所需租金为 （元）； 9240 2160 （元）； （元）； （元）； （元）； （元）； 1300 7240 1980 2300 6240 2040 3300 4240 1860 4300 3240 1920 5300 1240 1740 租 4 商务车，则需租 3 辆轿车，所需租金 为租 5 商务车，则需租 1 辆轿车，所需租金为 由此可见，最佳租车方案是租用商务车 辆和轿车辆， 51此时所付租金最少，为 元． 1740 【点睛】本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求列一次函数，并 结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类讨论思想解答本题． 24. 如图 1， 是半圆 的直径， O是一条弦， 是上一点， DE AB 于点 ，交 AC 于点 ，连 FAC DAB EAC 结交于点 G，且 ．AC AF FG BD （1）求证：点 平分 ；DAC （2）如图 2 所示，延长 至点 H，使 ，连结 ． 若点是线段 E的中点．求证： AH AO AO BA DH DH 是⊙ 的切线． O【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）连接 ，由 是直径得 ，由同角的余角相等证明 ，由直角三角形 ADB 90 AD AB ADE ABD 斜边中线性质证明 DAC ADE ，进而得出 ABD DAC ，即得出结论； 的（2）由已知可知 DE 是 OA、HB 垂直平分线，可得 ，，从而 ，DA DO DAO DOA DH DB ，再由 即可证明 ，由此即可得出可能． B DAO 90 HDO 90 H B 【详解】证明：（1）连接 、BC ，如图 3 所示， AD 图 3 ∵∴∵∴是半圆 的直径， OAB ，ADB 90 DE AB ，，ADE ABD 又∵ ∴，即点 是的斜边 AG 的中点， Rt△AGD AF FG F，DF AF ∴∴DAC ADE ABD DAC ，，∴ ； ，即点 平分 DAD CD AC OD （2）如图 4 所示，连接 、，AD 图 4 的∵点 是线段 E中点， DE AB ，，OA AH AO OB ∴∴∴，，DA DO DAO DOA H DOA B DAO DH DB ，H B ，又∵ ∴，B DAO 90 ，H DOA 90 ∴∴，HDO 90 是⊙ 的切线． ODH 【点睛】本题是圆的简单综合题目，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、菱形的 性质、直角三角形的性质知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 六、本大题共 2 个小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分． 25. 点P是平行四边形 的对角线 所在直线上的一个动点（点 P不与点 、重合），分别过点 ABCD AC CA、向直线 作垂线，垂足分别为点 、．点 为的中点． COAC ABP EFOF （1）如图 1，当点 （2）当点 P与点 重合时，线段 O和的关系是 ；OE P运动到如图 2 所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图 3，点 P在线段 的延长线上运动，当 时，试探究线段 、、之间的 OA OEF 30 CF OE AE 关系． OE OF OE OF 仍然成立，证明见解析；（3） 【答案】（1） 见解析 ；（2）补图见解析， ，证明 OE CF AE 【解析】 【分析】 （1）证明△AOE≌△COF 即可得出结论； （2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得 OE＝OG，再根据直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论； （3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得 ，得出 AOE COH 1HF EH OE ，AE CH OE OH ，再根据 ，OEF 30 HFE 90 ，推出 ，即可得证． 2【详解】解：（1）如图 1，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF； OE OF （2）补全图形如图所示， 仍然成立， 证明如下：延长 ∵交EO CF G于点 ， ，AE BP，CF BP ∴∴，AE / /CF ，EAO GCO ∵点 为的中点， OAC AO CO ∴，又∵ ∴，AOE COG ，AOE COG ∴∵，OE OG GFE 90 ，1OF EG OE ∴；2（3）当点 P在线段 的延长线上时，线段 、、之间的关系为 ，OA CF OE OE CF AE AE FC 证明如下：延长 交H的延长线于点 ，如图所示， EO 由（2） 可知 ，AOE COH ∴，AE CH OE OH ，又∵ ，OEF 30 HFE 90 ，1HF EH OE ∴∴，2．OE CF CH CF AE 【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三 角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题 得以解决． 已知抛物线 y ax2 bx c 与轴交于 两点， 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴 CxA(1,0) B(5，0) ，26. 4xtanCBD 交轴于点 ，连结BC ，且 ，如图所示． D3（1）求抛物线的解析式； （2）设 P是抛物线的对称轴上的一个动点． xFC ，求 ①过点 作轴的平行线交线段 作交抛物线于点 ，连结 F、PBC 于点 ，过点 EEEF PE FB 的面积的最大值； BCF 3PC PB ②连结 ，求 的最小值． PB 5416 20 324 y x2 x 【答案】（1） ；（2）① ；② ．99925【解析】 【分析】 43tanCBD （1）先函数图象与 x 轴交点求出 D 点坐标，再由 将 C 点坐标代入即可求解； 求出 C 点坐标，用待定系数法设交点式， 420 420 3t, t y x （2）①先求出 BC 的解析式 ，设 E 坐标为 ，则 F 点坐标为 333416 20 t, t2 t ，进而用 t 表示出 的面积，由二次函数性质即可求出最大值； BCF 999335PG PC sin ACD PC PC PB PG PB ②过点 P作于G，由 可得 于点 ，由此可知当 PG AC 53PC PB BPH 三点共线时 的值最小，即过点 作，BBH AC H53PC PB 线段 的长就是 的最小值，根据面积法求高即可． BH 5y a(x 1)(x 5) 【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为： ，∵∴是抛物线的对称轴， CD D(2， 0) ，43tanCBD 又∵ ，∴，CD BDtan CBD 4 C(2， 4) 即，44 a(2 1)(2 5) a 代入抛物线的解析式，得 ，解得 ，94416 20 9y (x 1)(x 5) y x2 x ∴二次函数的解析式为 或；999y kx b （2）①设直线 BC 的解析式为 ，43k ， 0 5k b， 4 2k b. ∴解得 20 b .3420 3y x 即直线 BC 的解析式为 ，34t, t 320 416 20 t, t2 t 设 E 坐标为 ，则 F 点坐标为 ，3999416 20 420 3428 40 EF t2 t t t2 t ∴∴， 9993 99911428 40 S EF BD 3 t2 t 的面积 BCF 22999273S (t )2 ∴，3223272t ∴当 时， 的面积最大，且最大值为 ；BCF ②如图，连接 ，根据图形的对称性可知 ，AC BC 5 ，AC ACD BCD AD AC 3sin ACD ∴，5过点 P作于G，则在 中， PG AC RtPCG 3PG PC sin ACD PC ，53PC PB PG PB ∴，5再过点 ∴线段 B作BH AC 于点 H，则 ，PG PH BH 35PC PB 的长就是 的最小值， BH 11S ABCD 64 12 ∵，ABC 2215S AC BH BH 又∵ ，ABC 225∴24 BH 12 PC PB BH ，即 ，2524 3∴的最小值为 ．55【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求 法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出 C 点坐标，解（2）关键是由点 E、F 坐标表示线 3PC PB 段 EF 长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将 的最小值转化为点 B 到 AC 5的距离． 本试卷的题干 0635
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