湖南省衡阳市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共 12个小题,每小题 3分,满分 36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．（3分）﹣ 的绝对值是（　　） A．﹣ B．在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（　　） B．x＞﹣1 C．全体实数 D．x＝﹣1 C．﹣ D． 2．（3分）如果分式 A．x≠﹣1 3．（3分）2018年 6月 14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球 65000公里的地月拉格朗日 L2点 Halo 使命轨道，成为世界首颗运行在地月 L2点 Halo 轨道的卫星，用科学记数法表示 65000公里为（　　）公里． A．0.65×105 B．65×103 C．6.5×104 D．6.5×105 4．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）下列各式中，计算正确的是（　　） A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a8÷a4＝a2 D．a2•a＝a3 6．（3分）如图，已知 AB∥CD，AF 交 CD 于点 E，且 BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A 的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．90° 7．（3分）某校 5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是 86，95， 97，90，88，这组数据的中位数是（　　） A．97 B．90 C．95 D．88 18．（3分）下列命题是假命题的是（　　） A．n 边形（n≥3）的外角和是 360° B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C．相等的角是对顶角 D．矩形的对角线互相平分且相等 9．（3分）不等式组的整数解是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1 10．（3分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区 2016 年底有贫困人口 9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至 1万人．设 2016 年底至 2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为 x，根据题意列方程得（　　） A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1 11．（3分）如图，一次函数 y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 y2＝（m 为常数且 m≠ 0）的图象都经过 A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式 kx+b＞的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1或 0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或 x＞2 12．（3分）如图，在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 AC 和 BC 的垂线，垂足分别为点 D 和点 F，四边形 CDEF 沿着 CA 方向匀速运动，点 C 与点 A 重合时停止运动，设运动时间为 t，运动过程中四边形 CDEF 与△ABC 的重叠部分面积为 S．则 S 关于 t 的函数图象大致为（　　） 2A． C． B． D．二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 3分，满分 18分.) 13．（3分）因式分解：2a2﹣8＝　　． 14．（3分）在一个不透明布袋里装有 3个白球、2个红球和 a 个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出 1个球，该球是黄球的概率为，则a 等于　． 15．（3分） ﹣＝　　．＝　 16．（3分）计算： +　． 17．（3分）已知圆的半径是 6，则圆内接正三角形的边长是　　． 18．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2的图象如图所示．已知 A 点坐标为（1，1），过点 A 作 AA1∥x 轴交抛物线于点 A1，过点 A1作 A1A2∥OA 交抛物线于点 A2，过点 A2作 A2A3 ∥x 轴交抛物线于点 A3，过点 A3作 A3A4∥OA 交抛物线于点 A4……，依次进行下去，则点 A2019的坐标为　　．三、解答题（本大题共 8个小题，19-20题每题 6分，21-24题每题 8分，25题 10分，26 3题 12分，满分 66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19．（6分）（）﹣3+| ﹣2|+tan60°﹣（﹣2019）0 20．（6分）进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：（1）这次学校抽查的学生人数是　（2）将条形统计图补充完整；　；（3）如果该校共有 1000名学生，请你估计该校报 D 的学生约有多少人？ 21．（8分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求 k 的取值范围；（2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程 x2﹣ 3x+k＝0有一个相同的根，求此时 m 的值． 22．（8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面 D 处测得楼房顶部 A 的仰角为 30°，沿坡面向下走到坡脚 C 处，然后向楼房方向继续行走 10米到达 E 处，测得楼房顶部 A 的仰角为 60°．已知坡面 CD＝10米，山坡的坡度 i＝1：（坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房 AB 高度．（结果精确到 0.1米）（参考数据： ≈1.73， ≈1.41） 23．（8分）如图，点 A、B、C 在半径为 8的⊙O 上，过点 B 作 BD∥AC，交 OA 延长线于点 D．连接 BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°． 4（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积． 24．（8分）某商店购进 A、B 两种商品，购买 1个 A 商品比购买 1个 B 商品多花 10元，并且花费 300元购买 A 商品和花费 100元购买 B 商品的数量相等．（1）求购买一个 A 商品和一个 B 商品各需要多少元；（2）商店准备购买 A、B 两种商品共 80个，若 A 商品的数量不少于 B 商品数量的 4倍，并且购买 A、B 商品的总费用不低于 1000元且不高于 1050元，那么商店有哪几种购买方案？ 25．（10分）如图，二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0）和点 B（3，0），与 y 轴交于点 N，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点 P 在线段 OB（点 P 不与 O、B 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点 M，连接 MN、MB．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（12分）如图，在等边△ABC 中，AB＝6cm，动点 P 从点 A 出发以 lcm/s 的速度沿 AB 匀速运动．动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动，当点 P 到达 5点 B 时，点 P、Q 同时停止运动．设运动时间为以 t（s）．过点 P 作 PE⊥AC 于 E，连接 PQ 交 AC 边于 D．以 CQ、CE 为边作平行四边形 CQFE．（1）当 t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻 t，使点 F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求 DE 的长；（4）取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将△BPM 沿直线 PM 翻折，得△B′PM，连接 AB′，当 t 为何值时，AB’的值最小？并求出最小值． 62019年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12个小题,每小题 3分,满分 36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．（3分）﹣ 的绝对值是（　　） A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．【解答】解：|﹣ |＝，故选：B．【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记负数的绝对值是它的相反数． 2．（3分）如果分式 A．x≠﹣1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（　　） B．x＞﹣1 C．全体实数 D．x＝﹣1 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x+1≠0， x≠﹣1，故选：A．【点评】本题考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 3．（3分）2018年 6月 14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球 65000公里的地月拉格朗日 L2点 Halo 使命轨道，成为世界首颗运行在地月 L2点 Halo 轨道的卫星，用科学记数法表示 65000公里为（　　）公里． A．0.65×105 B．65×103 C．6.5×104 D．6.5×105 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：科学记数法表示 65000公里为 6.5×104公里．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其 7中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． C． B． D．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转 180°后与原图重合． 5．（3分）下列各式中，计算正确的是（　　） A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a8÷a4＝a2 D．a2•a＝a3 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．【解答】解：A、8a 与 3b 不是同类项，故不能合并，故选项 A 不合题意； B、（a2）3＝a6，故选项 B 不合题意； C、a8÷a4＝a4，故选项 C 不符合题意； D、a2•a＝a3，故选项 D 符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6．（3分）如图，已知 AB∥CD，AF 交 CD 于点 E，且 BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A 的度数是（　　） 8A．40° B．50° C．80° D．90° 【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵BE⊥AF，∠BED＝40°， ∴∠FED＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠FED＝50°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出∠FED 的度数是解题关键． 7．（3分）某校 5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是 86，95， 97，90，88，这组数据的中位数是（　　） A．97 B．90 C．95 D．88 【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可．【解答】解：将小明所在小组的 5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97，所以这组数据的中位数为 90分，故选：B．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 8．（3分）下列命题是假命题的是（　　） A．n 边形（n≥3）的外角和是 360° B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C．相等的角是对顶角 D．矩形的对角线互相平分且相等【分析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可． 9【解答】解：A、n 边形（n≥3）的外角和是 360°，是真命题； B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题； C、相等的角不一定是对顶角，是假命题； D、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 9．（3分）不等式组的整数解是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1 【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项．【解答】解：解不等式①得：x＜0，解不等式②得：x＞﹣2， ∴不等式组的解集为﹣2＜x＜0， ∴不等式组的整数解是﹣1，故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键． 10．（3分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区 2016 年底有贫困人口 9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至 1万人．设 2016 年底至 2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为 x，根据题意列方程得（　　） A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1 【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为 x，根据题意得： 9（1﹣x）2＝1，故选：B． 10 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到 2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键． 11．（3分）如图，一次函数 y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 y2＝（m 为常数且 m≠ 0）的图象都经过 A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式 kx+b＞的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1或 0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或 x＞2 【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的 x 的取值范围便是不等式 kx+b＞的解集．【解答】解：由函数图象可知，当一次函数 y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数 y2＝（m 为常数且 m≠0）的图象上方时，x 的取值范围是：x＜﹣1或 0＜x＜2， ∴不等式 kx+b＞的解集是x＜﹣1或 0＜x＜2 故选：C．【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 12．（3分）如图，在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 AC 和 BC 的垂线，垂足分别为点 D 和点 F，四边形 CDEF 沿着 CA 方向匀速运动，点 C 与点 A 重合时停止运动，设运动时间为 t，运动过程中四边形 CDEF 与△ABC 的重叠部分面积为 S．则 S 关于 t 的函数图象大致为（　　） 11 A． C． B． D．【分析】根据已知条件得到△ABC 是等腰直角三角形，推出四边形 EFCD 是正方形，设正方形的边长为 a，当移动的距离＜a 时，如图 1S＝正方形的面积﹣△EE′H 的面积＝a2﹣ 2t2；当移动的距离＞a 时，如图 2，S＝S△AC′H ＝（2a﹣t）＝ t2﹣2at+2a2，根据函数关系式即可得到结论；【解答】解：∵在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∵EF⊥BC，ED⊥AC， ∴四边形 EFCD 是矩形， ∵E 是 AB 的中点， ∴EF＝ AC，DE＝ BC， ∴EF＝ED， ∴四边形 EFCD 是正方形，设正方形的边长为 a，如图 1当移动的距离＜a 时，S＝正方形的面积﹣△EE′H 的面积＝a2﹣ t2；当移动的距离＞a 时，如图 2，S＝S△AC′H ＝（2a﹣t）2＝ t2﹣2at+2a2， ∴S 关于 t 的函数图象大致为 C 选项，故选：C． 12 【点评】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 3分，满分 18分.) 13．（3分）因式分解：2a2﹣8＝　2（a+2）（a﹣2）　．【分析】首先提取公因式 2，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 14．（3分）在一个不透明布袋里装有 3个白球、2个红球和 a 个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出 1个球，该球是黄球的概率为，则a 等于　5　．【分析】根据概率公式列出关于 a 的方程，解之可得．【解答】解：根据题意知＝，解得 a＝5，经检验：a＝5是原分式方程的解， ∴a＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．（3分）【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【解答】解：原式＝3 ＝2 故答案为：2 ﹣＝　　． ﹣．．【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根 13 式的化简及同类二次根式的合并，难度一般． 16．（3分）计算：＝　1　．【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． +【解答】解：原式＝＝﹣＝1．故答案为：1．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（3分）已知圆的半径是 6，则圆内接正三角形的边长是　6 　．【分析】易得正三角形的中心角为 120°，那么中心角的一半为 60°，利用 60°的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以 2即为正三角形的边长．【解答】解：如图，圆半径为 6，求 AB 长． ∠AOB＝360°÷3＝120° 连接 OA，OB，作 OC⊥AB 于点 C， ∵OA＝OB， ∴AB＝2AC，∠AOC＝60°， ∴AC＝OA×sin60°＝6× ＝3 ，∴AB＝2AC＝6 故答案为：6 ，．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到 AC 的值是解决本题的关键． 18．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2的图象如图所示．已知 A 点坐标为（1，1），过点 A 作 AA1∥x 轴交抛物线于点 A1，过点 A1作 A1A2∥OA 交抛物线于点 A2，过点 A2作 A2A3 ∥x 轴交抛物线于点 A3，过点 A3作 A3A4∥OA 交抛物线于点 A4……，依次进行下去，则点 A2019的坐标为　（﹣1010，10102）　． 14 【分析】根据二次函数性质可得出点 A1的坐标，求得直线 A1A2为 y＝x+2，联立方程求得 A2的坐标，即可求得 A3的坐标，同理求得 A4的坐标，即可求得 A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点 A2019的坐标．【解答】解：∵A 点坐标为（1，1）， ∴直线 OA 为 y＝x，A1（﹣1，1）， ∵A1A2∥OA， ∴直线 A1A2为 y＝x+2，解得或，∴A2（2，4）， ∴A3（﹣2，4）， ∵A3A4∥OA， ∴直线 A3A4为 y＝x+6，解得或，∴A4（3，9）， ∴A5（﹣3，9） …， ∴A2019（﹣1010，10102），故答案为（﹣1010，10102）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．三、解答题（本大题共 8个小题，19-20题每题 6分，21-24题每题 8分，25题 10分，26 15 题 12分，满分 66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19．（6分）（）﹣3+| ﹣2|+tan60°﹣（﹣2019）0 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝8+2﹣ + ﹣1 ＝9．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 20．（6分）进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：（1）这次学校抽查的学生人数是　40　；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有 1000名学生，请你估计该校报 D 的学生约有多少人？【分析】（1）利用 A 项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）计算出 C 项目的人数后补全条形统计图即可；（3）用总人数乘以样本中该校报 D 的学生数占被调查学生数的比例即可得．【解答】解：（1）这次学校抽查的学生人数是 12÷30%＝40（人），故答案为：40人；（2）C 项目的人数为 40﹣12﹣14﹣4＝10（人）条形统计图补充为： 16 （3）估计全校报名军事竞技的学生有 1000× ＝100（人）．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 21．（8分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求 k 的取值范围；（2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程 x2﹣ 3x+k＝0有一个相同的根，求此时 m 的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；‘ （2）利用（1）中的结论得到 k 的最大整数为 2，解方程 x2﹣3x+2＝0解得 x1＝1，x2＝ 2，把 x＝1和 x＝2分别代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0求出对应的 m，同时满足 m﹣1≠0．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得 k≤ ；（2）k 的最大整数为 2，方程 x2﹣3x+k＝0变形为 x2﹣3x+2＝0，解得 x1＝1，x2＝2， ∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程 x2﹣3x+k＝0有一个相同的根， ∴当 x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得 m＝；当 x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得 m＝1，而 m﹣1≠0， ∴m 的值为．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的 17 实数根；当△＜0时，方程无实数根． 22．（8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面 D 处测得楼房顶部 A 的仰角为 30°，沿坡面向下走到坡脚 C 处，然后向楼房方向继续行走 10米到达 E 处，测得楼房顶部 A 的仰角为 60°．已知坡面 CD＝10米，山坡的坡度 i＝1：（坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房 AB 高度．（结果精确到 0.1米）（参考数据： ≈1.73， ≈1.41）【分析】过 D 作 DG⊥BC 于 G，DH⊥AB 于 H，交 AE 于 F，作 FP⊥BC 于 P，则 DG＝FP＝BH， DF＝GP，求出∠DCG＝30°，得出 FP＝DG＝ CD＝5，CG＝ DG＝5 ，求出 DF＝GP＝ +10，证出∠DAF＝30°＝∠ADF，得出 AF＝DF＝ +5，因此 AH＝ FH＝10+5 ，即可得出答案． +10，得出 FH＝ AF＝【解答】解：过 D 作 DG⊥BC 于 G，DH⊥AB 于 H，交 AE 于 F，作 FP⊥BC 于 P，如图所示：则 DG＝FP＝BH，DF＝GP， ∵坡面 CD＝10米，山坡的坡度 i＝1： ∴∠DCG＝30°，，∴FP＝DG＝ CD＝5， ∴CG＝ DG＝5 ∵∠FEP＝60°， ∴FP＝ EP＝5，，∴EP＝，∴DF＝GP＝5 +10+ ＝+10， ∵∠AEB＝60°， ∴∠EAB＝30°， ∵∠ADH＝30°， 18 ∴∠DAH＝60°， ∴∠DAF＝30°＝∠ADF， ∴AF＝DF＝ +10， +5， ∴FH＝ AF＝ ∴AH＝ FH＝10+5 ，∴AB＝AH+BH＝10+5 +5＝15+5 ≈15+5×1.73≈23.7（米），答：楼房 AB 高度约为 23.7米．【点评】此题是解直角三角形的应用﹣﹣仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 23．（8分）如图，点 A、B、C 在半径为 8的⊙O 上，过点 B 作 BD∥AC，交 OA 延长线于点 D．连接 BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接 OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得到∠＝30°，解直角三角形求出 BD，分别求出△BOD 的面积和扇形 AOB 的面积，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接 OB，交 CA 于 E， 19 ∵∠C＝30°，∠C＝ ∠BOA， ∴∠BOA＝60°， ∵∠BCA＝∠OAC＝30°， ∴∠AEO＝90°，即 OB⊥AC， ∵BD∥AC， ∴∠DBE＝∠AEO＝90°， ∴BD 是⊙O 的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°， ∵∠OBD＝90°，OB＝8， ∴BD＝ OB＝8 ，∴S 阴影＝S△BDO﹣S 扇形 AOB＝ ×8×8 ﹣＝32 ﹣．【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中． 24．（8分）某商店购进 A、B 两种商品，购买 1个 A 商品比购买 1个 B 商品多花 10元，并且花费 300元购买 A 商品和花费 100元购买 B 商品的数量相等．（1）求购买一个 A 商品和一个 B 商品各需要多少元；（2）商店准备购买 A、B 两种商品共 80个，若 A 商品的数量不少于 B 商品数量的 4倍，并且购买 A、B 商品的总费用不低于 1000元且不高于 1050元，那么商店有哪几种购买方案？【分析】（1）设购买一个 B 商品需要 x 元，则购买一个 A 商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费 300元购买 A 商品和花费 100元购买 B 商品的数量相等，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； 20 （2）设购买 B 商品 m 个，则购买 A 商品（80﹣m）个，根据 A 商品的数量不少于 B 商品数量的 4倍并且购买 A、B 商品的总费用不低于 1000元且不高于 1050元，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围，再结合 m 为整数即可找出各购买方案．【解答】解：（1）设购买一个 B 商品需要 x 元，则购买一个 A 商品需要（x+10）元，依题意，得：＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意， ∴x+10＝15．答：购买一个 A 商品需要 15元，购买一个 B 商品需要 5元．（2）设购买 B 商品 m 个，则购买 A 商品（80﹣m）个，依题意，得：，解得：15≤m≤16． ∵m 为整数， ∴m＝15或 16． ∴商店有 2种购买方案，方案①：购进 A 商品 65个、B 商品 15个；方案②：购进 A 商品 64个、B 商品 16个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 25．（10分）如图，二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0）和点 B（3，0），与 y 轴交于点 N，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点 P 在线段 OB（点 P 不与 O、B 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点 M，连接 MN、MB．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 21 【分析】（1）将点 A、B 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设 OP＝x，则 PB＝3﹣x，由△POE∽△CBP 得出比例线段，可表示 OE 的长，利用二次函数的性质可求出线段 OE 的最大值；（3）过点 M 作 MH∥y 轴交 BN 于点 H，由 S△MNB＝S△BMH+S△MNH 【解答】解：（1））∵抛物线 y＝x2+bx+c 经过 A（﹣1，0），B（3，0），把 A、B 两点坐标代入上式，解得：＝即可求解．，，故抛物线函数关系表达式为 y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵A（﹣1，0），点 B（3，0）， ∴AB＝OA+OB＝1+3＝4， ∵正方形 ABCD 中，∠ABC＝90°，PC⊥BE， ∴∠OPE+∠CPB＝90°， ∠CPB+∠PCB＝90°， ∴∠OPE＝∠PCB，又∵∠EOP＝∠PBC＝90°， ∴△POE∽△CBP， ∴，设 OP＝x，则 PB＝3﹣x， ∴，∴OE＝，∵0＜x＜3， 22 ∴时，线段 OE 长有最大值，最大值为．．即 OP＝时，线段OE 有最大值．最大值是（3）存在．如图，过点 M 作 MH∥y 轴交 BN 于点 H， ∵抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3， ∴x＝0，y＝﹣3， ∴N 点坐标为（0，﹣3），设直线 BN 的解析式为 y＝kx+b， ∴∴，，∴直线 BN 的解析式为 y＝x﹣3，设 M（a，a2﹣2a﹣3），则 H（a，a﹣3）， ∴MH＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a， ∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH ＝＝＝，∵，∴a＝时，△MBN 的面积有最大值，最大值是，此时 M 点的坐标为（）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 26．（12分）如图，在等边△ABC 中，AB＝6cm，动点 P 从点 A 出发以 lcm/s 的速度沿 AB 匀 23 速运动．动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动，当点 P 到达点 B 时，点 P、Q 同时停止运动．设运动时间为以 t（s）．过点 P 作 PE⊥AC 于 E，连接 PQ 交 AC 边于 D．以 CQ、CE 为边作平行四边形 CQFE．（1）当 t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻 t，使点 F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求 DE 的长；（4）取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将△BPM 沿直线 PM 翻折，得△B′PM，连接 AB′，当 t 为何值时，AB’的值最小？并求出最小值．【分析】（1）当 BQ＝2BP 时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题．（2）如图 1中，连接 BF 交 AC 于 M．证明 EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题．（3）证明 DE＝ AC 即可解决问题．（4）如图 3中，连接 AM，AB′．根据 AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴当 BQ＝2BP 时，∠BPQ＝90°， ∴6+t＝2（6﹣t）， ∴t＝3， ∴t＝3时，△BPQ 是直角三角形．（2）存在．理由：如图 1中，连接 BF 交 AC 于 M． 24 ∵BF 平分∠ABC，BA＝BC， ∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm， ∵EF∥BQ， ∴∠EFM＝∠FBC＝ ∠ABC＝30°， ∴EF＝2EM， ∴t＝2•（3﹣ t），解得 t＝3．（3）如图 2中，作 PK∥BC 交 AC 于 K． ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠A＝60°， ∵PK∥BC， ∴∠APK＝∠B＝60°， ∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°， ∴△APK 是等边三角形， ∴PA＝PK， ∵PE⊥AK， ∴AE＝EK， 25 ∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC， ∴△PKD≌△QCD（AAS）， ∴DK＝DC， ∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝ AC＝3（cm）．（4）如图 3中，连接 AM，AB′ ∵BM＝CM＝3，AB＝AC， ∴AM⊥BC， ∴AM＝＝3 ，∵AB′≥AM﹣MB′， ∴AB′≥3 ﹣3， ∴AB′的最小值为 3 ﹣3．【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 26 27