精品解析：辽宁省沈阳市2018年中考数学试卷（解析版）

2018 年辽宁省沈阳市中考数学试卷一、选择题 1. 下列各数中是有理数的是（　　） 3 5 D. A. B. C. π02B【答案】【解析】【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，结合无理数的定义进行判断即可得答案．【详解】A、π 是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误； B、0 是有理数，故本选项正确； C、是无理数，故本选项错误； 2D、 3 是无理数，故本选项错误， 5故选 B．【点睛】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键． 2. 辽宁男蓝夺冠后，从 4 月 21 日至 24 日各类媒体体关于“辽篮 CBA 夺冠”的相关文章达到 81000 篇，将数据 81000 用科学记数法表示为（　　） A. 0.81×104 B. 0.81×106 C. 8.1×104 D. 8.1×106 C【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．【详解】81000 的小数点向左移动 4 位得到 8.1，所以 81000 用科学记数法表示为：8.1×104，故选 C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜ 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3. 如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. D【答案】【解析】【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【详解】从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1，左视图如下：故选 D．【点睛】本题考查了几何体的三种视图以及空间想象能力，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． ﹣4. 在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（4， 1），点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则点 A 的坐标是（　　） ﹣B. （ 1，4） ﹣﹣﹣ ﹣ D. （ 1， 4） A. （4，1） C. （ 4， 1） A【答案】【解析】【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号即可得出答案． ﹣【详解】∵点 B 的坐标是（4， 1），点 A 与点 B 关于 x 轴对称， ∴点 A 的坐标是：（4，1），故选 A．【点睛】本题考查了关于 x 轴对称的点的坐标特征，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 5. 下列运算错误的是（　　） A. （m2）3=m6 B. a10÷a9=a C. x3•x5=x8 D. a4+a3=a7 D【答案】【解析】【分析】利用合并同类项法则，单项式乘以单项式法则，同底数幂的乘法、除法的运算法则逐项进行计算即可得. 【详解】A、（m2）3=m6，正确； B、a10÷a9=a，正确； C、x3•x5=x8，正确； D、a4+a3=a4+a3，错误，故选 D．【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂的乘除法，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 6. 如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，则∠2 补角的度数是（　　） A. 60° B. 100° C. 110° D. 120° D【答案】【解析】的【分析】根据平行线性质以及补角的定义进行求解即可得. 【详解】∵AB∥CD， ∴∠1=∠EFH， ∵EF∥GH， ∴∠2=∠EFH， ∴∠2=∠1=60°， ∴∠2 的补角为 120°，故选 D．【点睛】本题考查了平行线的性质、补角和余角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键. 7. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数 B. 13 个人中至少有两个人生肖相同 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 明天一定会下雨 B【答案】【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，结合不可能事件、随机事件的定义依据必然事件的定义逐项进行判断即可．【详解】A、“任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数”是随机事件，故此选项错误； B、“13 个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项正确； C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项错误； D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误，故选 B．【点睛】本题考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 8. 在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则 k 和 b 的取值范围是（　　） A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 C. k＜0，b＞0 D. k＜0，b＜0 C【答案】【解析】【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．【详解】∵一次函数 y=kx+b 的图象经过一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0，故选 C．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数 y=kx+b（k≠0）中，当 k＜0，b ＞0 时图象在一、二、四象限． k﹣9. 点 A（ 3，2）在反比例函数 y= （k≠0）的图象上，则 k 的值是（　　） x3﹣﹣﹣C. 1A. 6B. D. 6 2A【答案】【解析】【分析】根据点 A 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出 k 值即可． k﹣【详解】解：∵A（ 3，2）在反比例函数 y= （k≠0）的图象上， x﹣﹣∴k=（ 3）×2= 6，故选 A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数的解析式． 10. 如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，AB=2 ，则的长是（　　） 2AB 312A. π B. πC. 2π D. π2A【答案】【解析】【分析】连接 OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出 AO，根据弧长公式求出即可．【详解】连接 OA、OB， ∵正方形 ABCD 内接于⊙O， ∴AB=BC=DC=AD， ∴，AB  BC  CD  DA 1∴∠AOB= ×360°=90°， 4在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：2AO2=（2 ）2， 2解得：AO=2， 90 2 180 ∴的长为 =π， AB 故选 A．【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB 的度数和 OA 的长是解此题的关键．二、填空题 3﹣11. 因式分解：3x 12x=_____． ﹣【答案】3x（x+2）（x 2）【解析】【分析】先提公因式 3x，然后利用平方差公式进行分解即可． 3﹣【详解】3x 12x 2﹣=3x（x 4） ﹣=3x（x+2）（x 2）， ﹣故答案为 3x（x+2）（x 2）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 12. 一组数 3，4，7，4，3，4，5，6，5 的众数是_____．【答案】4 【解析】【分析】根据众数的定义进行求解即可得．【详解】在这组数据中 4 出现次数最多，有 3 次，所以这组数据的众数为 4，故答案为 4．【点睛】本题考查了众数，解题的关键是掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时这几个数据都是众数． 2a 1﹣13. 化简： =_____． a2  4 a  2 1【答案】【解析】 a  2 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 2a a  2 【详解】原式= a  2 a  2 a  2 a  2     a  2 a  2 a  2 = 1=，a  2 1故答案为 .a  2 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的运算法则是解本题的关键． x  2  0 14. 不等式组的解集是_____． 3x  6  0 ﹣【答案】 2≤x＜2 【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据有等式组解集的确定方法即可求出不等式组的解集. ﹣【详解】解不等式 x 2＜0，得：x＜2， ﹣解不等式 3x+6≥0，得：x≥ 2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，故答案为﹣2≤x＜2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，确定解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 15. 如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开．已知篱笆的总长为 900m（篱笆的厚度忽略不计），当 AB=_____m 时，矩形土地 ABCD 的面积最大．【答案】150 【解析】【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积，利用函数的性质即可解答本题． 1﹣【详解】解：设 AB=xm，则 BC= （900 3x）， 232321222﹣（900 3x）x= ﹣﹣（x 300x）= ﹣﹣（x 150） +33750，由题意可得，S=AB×BC= ∴当 x=150 时，S 取得最大值，此时，S=33750， ∴AB=150m，故答案为 150．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值． 16. 如图，△ABC 是等边三角形，AB= ，点 D 是边 BC 上一点，点 H 是线段 AD 上一点，连接 BH、 7CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=_____． 1【答案】 3【解析】【分析】如图，作 AE⊥BH 于 E，BF⊥AH 于 F，利用等边三角形的性质得 AB=AC，∠BAC=60°，再证明 ∠ABH=∠CAH，则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH，所以 BE=AH，AE=CH，在 Rt△AHE 中利用含 30 133度的直角三角形三边的关系得到 HE= AH，AE= AH，则 CH= AH，于是在 Rt△AHC 中利用勾股定 2221理可计算出 AH=2，从而得到 BE=2，HE=1，AE=CH= ，BH=1，接下来在 Rt△BFH 中计算出 HF= ，BF= 32HD 3，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得到 =2，从而利用比例性质可得到 DH 的长． FD 2【详解】作 AE⊥BH 于 E，BF⊥AH 于 F，如图， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°， ∴∠ABH=∠CAH， AEB  AHC ABE  CAH AB  CA 在△ABE 和△CAH 中 ∴△ABE≌△CAH，，∴BE=AH，AE=CH，在 Rt△AHE 中，∠AHE=∠BHD=60°， AE AH 1∴sin∠AHE= ，HE= AH， 23∴AE=AH•sin60°= AH， 23∴CH= AH， 23在 Rt△AHC 中，AH2+（ AH）2=AC2=（）2，解得 AH=2， 72∴BE=2，HE=1，AE=CH= ，3﹣﹣∴BH=BE HE=2 1=1， 113在 Rt△BFH 中，HF= BH= ，BF= ，222∵BF∥CH， ∴△CHD∽△BFD， HD CH 33∴=2， FD BF 222 1 ×1∴DH= HF= =，33 2 3 1故答案为： 3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，解题的关键是明确在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．三、解答题 1﹣20﹣﹣﹣ ﹣ （4 π）． 17. 计算：2tan45° |3|+（）22【答案】2+ 2【解析】【分析】按顺序代入特殊角的三角函数值、化简绝对值、进行负指数幂、0 指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得. ﹣【详解】原式=2×1 （3 ﹣﹣）+4 12﹣=2 3+ ﹣1+4 2=2+ ．2【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，负指数幂、0 指数幂的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 18. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O．过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两直线相交于点 E．（1）求证：四边形 OCED 矩形；是（2）若 CE=1，DE=2，ABCD 的面积是　．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】【分析】（1）欲证明四边形 OCED 是矩形，只需推知四边形 OCED 是平行四边形，且有一内角为 90 度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【详解】（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD=90°． ∵CE∥OD，DE∥OC， ∴四边形 OCED 是平行四边形，又∠COD=90°， ∴平行四边形 OCED 是矩形；（2）由（1）知，平行四边形 OCED 是矩形，则 CE=OD=1，DE=OC=2． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC=2OC=4，BD=2OD=2， 11∴菱形 ABCD 的面积为： AC•BD= ×4×2=4， 22故答案为 4．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键. 19. 经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率． 5【答案】两人之中至少有一人直行的概率为【解析】．9【分析】画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有 9 种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为 5， 5所以两人之中至少有一人直行的概率为．9【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中一共抽取了　名学生，m 的值是　．（2）请根据据以上信息直在答题卡上补全条形统计图；（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是　度；（4）若该校九年级共有 1000 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．【答案】（1）50，18；（2）补全的条形统计图见解析；（3）108；（4）该校九年级学生中有 300 名学生对数学感兴趣．【解析】【分析】（1）根据统计图化学对应的数据和百分比可以求得这次调查的学生数，进而求得 m 的值；（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得选择数学的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以求得“数学”所对应的圆心角度数；（4）根据统计图中的数据，可以求得该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．【详解】（1）在这次调查中一共抽取了：10÷20%=50（名）学生， m%=9÷50×100%=18%，故答案为 50，18； ﹣ ﹣ ﹣ ﹣﹣ 10 3=15（名），（2）选择数学的有；50 958补全的条形统计图如图所示； 15 50 （3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：360°× =108°，故答案为 108； 15 （4）1000× =300（名）， 50 答：该校九年级学生中有 300 名学生对数学感兴趣．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中找到必要的信息，利用数形结合的思想解答． 21. 某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是 361 万元．假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测 4 月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为 5%；（2）预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据 2 月份、3 月份的生产成本，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由 4 月份该公司的生产成本=3 月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为 x， 2﹣根据题意得：400（1 x） =361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为 5%； ﹣（2）361×（1 5%）=342.95（万元），答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 22. 如图，BE 是圆 O 的直径，点 A 和点 D 是⊙O 上的两点，过点 A 作⊙O 的切线交 BE 延长线于点 C, （1）若∠ADE=25°，求∠C 的度数；（2）若 AB=AC，CE=2，求⊙O 半径的长．【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O 的半径为 2．【解析】【分析】（1）连接 OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）如图，连接 OA， ∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC=90°， ∵,∠ADE=25°， AE  AE ∴∠AOE=2∠ADE=50°， ﹣﹣∴∠C=90° ∠AOE=90° 50°=40°；（2）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵，AE  AE ∴∠AOC=2∠B， ∴∠AOC=2∠C， ∵∠OAC=90°， ∴∠AOC+∠C=90°， ∴3∠C=90°， ∴∠C=30°， 1∴OA= OC， 2设⊙O 的半径为 r， ∵CE=2， 1∴r= (r+2)， 2解得：r=2， ∴⊙O 的半径为 2．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含 30 度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键. 23. 如图，在平面直角坐标系中，点 F 的坐标为（0，10）．点 E 的坐标为（20，0），直线 l1 经过点 F 和点 E， 3直线 l1 与直线 l2 、y= x相交于点 P． 4（1）求直线 l1 的表达式和点 P 的坐标；（2）矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴的正半轴上，点 A 与点 F 重合，点 B 在线段 OF 上，边 AD 平行于 x 轴，且 AB=6，AD=9，将矩形 ABCD 沿射线 FE 的方向平移，边 AD 始终与 x 轴平行．已知矩形 ABCD 以每秒个单位的速度匀速移动（点 A 移动到点 E 时止移动），设移动时间为 t 秒（t＞0）． 5①矩形 ABCD 在移动过程中，B、C、D 三点中有且只有一个顶点落在直线 l1 或 l2 上，请直接写出此时 t 的值； ②若矩形 ABCD 在移动的过程中，直线 CD 交直线 l1 于点 N，交直线 l2 于点 M．当△PMN 的面积等于 18 时，请直接写出此时 t 的值． 13 10 85126 5 512﹣【答案】（1）直线 l1 的表达式为 y= x+10，点 P 坐标为（8，6）；（2）①t 值为或；②当 t= 时，△PMN 的面积等于 18. 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；（2）①分析矩形运动规律，找到点 D 和点 B 分别在直线 l2 上或在直线 l1 上时的情况，利用 AD、 AB 分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点 A 坐标，进而求出 AF 距离； ②设点 A 坐标，表示△PMN 即可．【详解】（1）设直线 l1 的表达式为 y=kx+b， ∵直线 l1 过点 F（0，10），E（20，0）， 12b 10 k   ∴，解得：，20k  b  0 b 10 1﹣直线 l1 的表达式为 y= x+10， 234y  xx  8 y  6 解方程组得，1y  x 10 2∴点 P 坐标为（8，6）；（2）①如图，当点 D 在直线上 l2 时， ∵AD=9 ∴点 D 与点 A 的横坐标之差为 9， 4﹣∴将直线 l1 与直线 l2 的解析式变形为 x=20 2y，x= y， 34﹣﹣（20 2y）=9， ∴y387 解得：y= ，10 13 5﹣∴x=20 2y= ，13 87 则点 A 的坐标为：（，）， 510 2213 587 13 5 则 AF= ， 10  10 10 ∵点 A 速度为每秒个单位， 513 ∴t= ；10 如图，当点 B 在 l2 直线上时， ∵AB=6， ∴点 A 的纵坐标比点 B 的纵坐标高 6 个单位， ∴直线 l1 的解析式减去直线 l2 的解析式得， 3412﹣﹣x+10 x=6， 16 5解得 x= ，42 ，51﹣y= x+10= 216 42 则点 A 坐标为（，）552216 42 58 5 5则 AF= ， 10  5∵点 A 速度为每秒个单位， 58∴t= ，513 10 85故 t 值为或；②如图，设直线 AB 交 l2 于点 H，设点 A 横坐标为 a，则点 D 横坐标为 a+9， 5454a  由①中方法可知：MN= 此时点 P 到 MN 距离 ∵△PMN 的面积等于 18，，﹣：a+9 8=a+1，为1 5 54·a  · a 1 =18， ∴2 4 解得 12 5 12 5 5﹣a1= -1，a2= -1（舍去）， 55﹣∴AF=6 ，26 5 51则此时 t 为，26 5 512当 t= 时，△PMN 的面积等于 18. 【点睛】本题是代数几何综合题，涉及到待定系数法、两直线的交点坐标、勾股定理、三角形的面积等，综合性较强，熟练掌握相关知识、运用分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键. 已知：△ABC 是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点 M 在边 AC 上，点 N 在边 BC 上（点 M、 24. 点 N 不与所在线段端点重合），BN=AM，连接 AN，BM，射线 AG∥BC，延长 BM 交射线 AG 于点 D，点 E 在直线 AN 上，且 AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时 ①求证：△BCM≌△ACN； ②求∠BDE 的度数；（2）当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE 的度数是　（用含 α 的代数式表示）（3）若△ABC 是等边三角形，AB=3 直接写出线段 CF 的长．，点 N 是 BC 边上的三等分点，直线 ED 与直线 BC 交于点 F，请 33﹣【答案】（1）①证明见解析；②∠BDE=90°；（2）α 或 180° α；（3）CF 的长为或 4 ．32【解析】【分析】（1）①根据 SAS 证明即可； ②想办法证明∠ADE+∠ADB=90°即可；（2）分两种情形讨论求解即可，①如图 2 中，当点 E 在 AN 的延长线上时，②如图 3 中，当点 E 在 NA 的延长线上时， 1（3）分两种情形求解即可，①如图 4 中，当 BN= BC= 时，作 AK⊥BC 于 K，解直角三角形 331即可．②如图 5 中，当 CN= BC= 时，作 AK⊥BC 于 K，DH⊥BC 于 H，结合图形求解即可. 33【详解】（1）①如图 1 中， ∵CA=CB，BN=AM， ﹣﹣∴CB BN=CA AM，即 CN=CM， ∵∠ACN=∠BCM， ∴△BCM≌△CAN； ②如图 1 中， ∵△BCM≌△ACN， ∴∠MBC=∠NAC， ∵EA=ED， ∴∠EAD=∠EDA， ∵AG∥BC， ∴∠GAC=∠ACB=90°，∠ADB=∠DBC， ∴∠ADB=∠NAC， ∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD， ﹣∵∠ADB+∠EDA=180° 90°=90°， ∴∠BDE=90°；（2）如图 2 中，当点 E 在 AN 的延长线上时，易证：∠CBM=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD， ∵EA=ED， ∴∠EAD=∠EDA， ∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB， ∴∠BDE=∠ACB=α；如图 3 中，当点 E 在 NA 的延长线上时，易证：∠1+∠2=∠CAN+∠DAC， ∵∠2=∠ADM=∠CBD=∠CAN， ∴∠1=∠CAD=∠ACB=α， ﹣∴∠BDE=180° α，综上所述，∠BDE=α 或 180° α， ﹣﹣故答案为：α 或 180° α； 1（3）如图 4 中，当 BN= BC= 时，作 AK⊥BC 于 K， 33∵AD∥BC， AD AM 12∴，BC CM 3 3 ∴AD= ，AC=3 ，易证△ADC 是直角三角形，则四边形 ADCK 是矩形，△AKN≌△DCF， 323 3 23﹣∴CF=NK=BK BN= ﹣=；321如图 5 中，当 CN= BC= 时，作 AK⊥BC 于 K，DH⊥BC 于 H， 33∵AD∥BC， AD AM  2 ∴，BC CM ∴AD=6 ，易证△ACD 是直角三角形， 39 3 2由△ACK∽△CDH，可得 CH= AK= ，33由△AKN≌△DHF，可得 KN=FH= ，2﹣∴CF=CH FH=4 ．33综上所述，CF 的长为或 4 ．32【点睛】本题考查了三角形综合题，涉及了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 2﹣﹣﹣﹣25. 如图，在平面角坐标系中，抛物线 C1：y=ax +bx1 经过点 A（ 2，1）和点 B（ 1， 1），抛物线 C2：y=2×2+x+1，动直线 x=t 与抛物线 C1 交于点 N，与抛物线 C2 交于点 M．（1）求抛物线 C1 的表达式；（2）直接用含 t 的代数式表示线段 MN 的长；（3）当△AMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形时，求 t 的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线 C1 与 y 轴交于点 P，点 M 在 y 轴右侧的抛物线 C2 上，连接 AM 交 y 轴于点 k，连接 KN，在平面内有一点 Q，连接 KQ 和 QN，当 KQ=1 且∠KNQ=∠BNP 时，请直接写出点 Q 的坐标． 22﹣【答案】（1）抛物线 C1：解析式为 y=x +x1；（2）MN=t +2；（3）t 的值为 1 或 0；（4）满足条件的 Q 点 3519 54512 5﹣坐标为：（0，2）、（ 1，3）、（，）、（，）【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）把 x=t 代入函数关系式相减即可得；（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况即可得；（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到 AN 为△KNP 对称轴，由对称性找到第一个满足条件 Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点，利用勾股定理进行计算． 2﹣﹣﹣﹣【详解】（1）∵抛物线 C1：y=ax +bx1 经过点 A（ 2，1）和点 B（ 1， 1）， 1 4a  2b 1 a 1 b 1 ∴，解得：，1 a b 1 2﹣∴抛物线 C1：解析式为 y=x +x1；（2）∵动直线 x=t 与抛物线 C1 交于点 N，与抛物线 C2 交于点 M， 22﹣∴点 N 的纵坐标为 t +t1，点 M 的纵坐标为 2t +t+1， 222﹣﹣∴MN=（2t +t+1）（t +t1）=t +2；（3）共分两种情况 2﹣﹣①当∠ANM=90°，AN=MN 时，由已知 N（t，t +t1），A（ 2，1）， ﹣﹣2）=t+2， ∴AN=t （∵MN=t2+2， ∴t2+2=t+2， ∴t1=0（舍去），t2=1， ∴t=1； 2﹣②当∠AMN=90°，AN=MN 时，由已知 M（t，2t +t+1），A（ 2，1）， ﹣﹣2）=t+2， ∴AM=t （∵MN=t2+2， ∴t2+2=t+2， ∴t1=0，t2=1（舍去）， ∴t=0，故 t 的值为 1 或 0；（4）由（3）可知 t=1 时 M 位于 y 轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得 K（0，3），B、O、N 三点共线， ﹣﹣∵A（ 2，1），N（1，1），P（0， 1）， ∴点 K、P 关于直线 AN 对称，设⊙K 与 y 轴下方交点为 Q2，则其坐标为（0，2）， ∴Q2 与点 O 关于直线 AN 对称， ∴Q2 是满足条件∠KNQ=∠BNP，则 NQ2 延长线与⊙K 交点 Q1，Q1、Q2 关于 KN 的对称点 Q3、Q4 也满足∠KNQ=∠BNP， ﹣由图形易得 Q1（ 1，3），设点 Q3 坐标为（a，b），由对称性可知 Q3N=NQ1=BN=2 由∵⊙K 半径为 1，，23519 5222a1  a 1  b 1  2 2 a  1 2∴，解得：，，2b2  3 a2  b 3 12 b  1同理，设点 Q4 坐标为（a，b），由对称性可知 Q4N=NQ2=NO= ，24512 5222a3  a 1  b 1  2a  0 4∴，解得：，，2b4  2 a2  b 3 12 b3  319 4512 ﹣的∴满足条件 Q 点坐标为：（0，2）、（ 1，3）、（，）、（，）. 555【点睛】本题为代数几何综合题，考查了待定系数法、二次函数基本性质、轴对称的性质、平面内两点间的距离等，熟练掌握相关知识、灵活运用分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想是解题的关键．本试卷的题干 713000635