山东省淄博市2018年中考数学真题试题（含答案）

山东省淄博市2018年中考数学真题试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4分）计算 A．0 B．1 的结果是（　　） C．﹣1 D． 2．（4分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　） A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日 C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意 3．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． 4．（4分）若单项式am﹣1b2与 A．3 B．6 C．8 D．9 5．（4分）与最接近的整数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 B． C． D．的和仍是单项式，则nm的值是（　　） 6．（4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）化简的结果为（　　） D．1 A． B．a﹣1 C．a 8．（4分）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　） 1A．3 B．2 C．1 D．0 9．（4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（　　） A．2π B． C． D． 10．（4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）A． C． B． D． 11．（4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN 平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　） A．4 B．6 C． D．8 12．（4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4 ，5，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D．　二、填空题（每题4分，共5个小题，满分20分，将直接填写最后结果） 213．（4分）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=　　度． 14．（4分）分解因式：2×3﹣6×2+4x=　 15．（4分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D 落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于　．　． 16．（4分）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为　　． 17．（4分）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是　　．　三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18．（5分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中．19．（5分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°． 320．（8分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：时间（小时）678910 人数 5812 15 10 （1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．（3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少？ 21．（8分）如图，直线y1=﹣x+4，y2= x+b都与双曲线y= 交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式 x+b＞的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标． 22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P， ∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x +6=0的两个实数根．（1）求证：PA•BD=PB•AE； 4（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由． 23．（9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC 的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M， N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是　　；位置关系是　　．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明． 24．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3， ﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标． 5　6参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4分）计算 A．0 B．1 的结果是（　　） C．﹣1 D．【考点】1A：有理数的减法；15：绝对值．【分析】先计算绝对值，再计算减法即可得．【解答】解： = ﹣ =0，故选：A．【点评】本题主要考查绝对值和有理数的减法，解题的关键是掌握绝对值的性质和有理数的减法法则．　2．（4分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　） A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日 C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意【考点】X1：随机事件．【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误； B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误； C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误； D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．　3．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7【考点】P3：轴对称图形．【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知：选项C中的图形不是轴对称图形．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形，牢记轴对称图形的概念是解题的关键．　4．（4分）若单项式am﹣1b2与 A．3 B．6 C．8 D．9 的和仍是单项式，则nm的值是（　　）【考点】35：合并同类项；42：单项式．【分析】首先可判断单项式am﹣1b2与是同类项，再由同类项的定义可得m、n的值，代入求解即可．【解答】解：∵单项式am﹣1b2与的和仍是单项式， ∴单项式am﹣1b2与是同类项， ∴m﹣1=2，n=2， ∴m=3，n=2， ∴nm=8．故选：C．【点评】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同．　5．（4分）与 A．5 B．6 【考点】2B：估算无理数的大小；27：实数．最接近的整数是（　　） C．7 D．8 【分析】由题意可知36与37最接近，即【解答】解：∵36＜37＜49，与最接近，从而得出答案． ∴＜＜，即6＜＜7， ∵37与36最接近， ∴与最接近的是6．故选：B． 8【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与最接近，所以 =6最接近．　6．（4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（　　） A． B． C． D．【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数．【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．【解答】解：sinA= = =0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A．【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．　7．（4分）化简 A． B．a﹣1 C．a 的结果为（　　） D．1 【考点】6B：分式的加减法．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式= +9==a﹣1 故选：B．【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．　8．（4分）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】O2：推理与论证．【分析】四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．【解答】解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，所以甲只能是胜两场，即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．故选：D．【点评】此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可．　9．（4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（　　） A．2π B． C． D．【考点】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理． 10 【分析】先连接CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧AC的长为 =．【解答】解：如图，连接CO， ∵∠BAC=50°，AO=CO=3， ∴∠ACO=50°， ∴∠AOC=80°， ∴劣弧AC的长为故选：D． =，【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．　10．（4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）A． C． B． D．【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，依题意得：故选：C． ﹣ =30，即．11 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．　11．（4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN 平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　） A．4 B．6 C． D．8 【考点】KO：含30度角的直角三角形；JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分 ∠AMC， ∴∠AMB=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC， ∴∠ACB=2∠B，NM=NC， ∴∠B=30°， ∵AN=1， ∴MN=2， ∴AC=AN+NC=3， ∴BC=6，故选：B．【点评】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．　12．（4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4 ，5，则△ABC的面积为（　　） 12 A． B． C． D．【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠P BE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90 °，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF 中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图， ∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4， ∴AE2=PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°， ∴∠APB=90°+60°=150°． ∴∠APF=30°， ∴在直角△APF中，AF= AP= ，PF= AP= ．∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+ ）2+（）2=25+12 ．13 则△ABC的面积是 •AB2= •（25+12 ）= 故选：A．．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．　二、填空题（每题4分，共5个小题，满分20分，将直接填写最后结果） 13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=　40　度．【考点】JA：平行线的性质．【分析】由两直线平行同旁内角互补得出∠1+∠2=180°，根据∠1的度数可得答案．【解答】解：∵a∥b， ∴∠1+∠2=180°， ∵∠1=140°， ∴∠2=180°﹣∠1=40°，故答案为：40．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补．　14．（4分）分解因式：2×3﹣6×2+4x=　2x（x﹣1）（x﹣2）　．【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等；53：因式分解﹣提公因式法．【分析】首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．【解答】解：2×3﹣6×2+4x =2x（x2﹣3x+2） =2x（x﹣1）（x﹣2）．故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 14 　15．（4分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D 落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于　10　．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质．【分析】要计算周长首先需要证明E、C、D共线，DE可求，问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，CD=AB=2 由折叠，∠DAC=∠EAC ∵∠DAC=∠ACB ∴∠ACB=∠EAC ∴OA=OC ∵AE过BC的中点O ∴AO= BC ∴∠BAC=90° ∴∠ACE=90° 由折叠，∠ACD=90° ∴E、C、D共线，则DE=4 ∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10 故答案为：10 【点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解题时注意不能忽略E、C、D三点共线．　16．（4分）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为　2　． 15 【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．【分析】先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A 和B的坐标可得AB的长，从而得结论．【解答】解：如图，∵B，C是线段AD的三等分点， ∴AC=BC=BD，由题意得：AC=BD=m，当y=0时，x2+2x﹣3=0，（x﹣1）（x+3）=0， x1=1，x2=﹣3， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AB=3+1=4， ∴AC=BC=2， ∴m=2，故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键．　17．（4分）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是　2018　． 16 【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018；【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2， ∴第45行第一个数是2025， ∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，故答案为2018．【点评】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．　三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18．（5分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值；76：分母有理化．【分析】先算平方与乘法，再合并同类项，最后代入计算即可．【解答】解：原式=a2+2ab﹣（a2+2a+1）+2a =a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a =2ab﹣1，当时，）﹣1 原式=2（ +1）（ =2﹣1 =1．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．　17 19．（5分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．【解答】证明：过点A作EF∥BC， ∵EF∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．　20．（8分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：时间（小时） 65788910 10 人数 12 15 （1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．（3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少？ 18 【考点】X4：概率公式；VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．【分析】（1）先根据表格提示的数据得出50名学生读书的时间，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，9出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，从而求出中位数是8.5；（2）根据题意直接补全图形即可．（3）从表格中得知在50名学生中，读书时间不少于9小时的有25人再除以50即可得出结论．【解答】解：（1）观察表格，可知这组样本数据的平均数为：（6×5+7×8+8×12+9×15+10×10）÷50=8.34，故这组样本数据的平均数为2； ∵这组样本数据中，9出现了15次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是9； ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9， ∴这组数据的中位数为（8+9）=8.5；（2）补全图形如图所示， 19 （3）∵读书时间是9小时的有15人，读书时间是10小时的有10， ∴读书时间不少于9小时的有15+10=25人， ∴被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是 = 【点评】本题考查了加权平均数、众数以及中位数，用样本估计总体的知识，解题的关键是牢记概念及公式．　21．（8分）如图，直线y1=﹣x+4，y2= x+b都与双曲线y= 交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式 x+b＞的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y= ，可得y与x之间的函数关系式；（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式 x+b＞的解集为x＞1；（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP= BC= ，或BP= BC= ，即可得到OP=3﹣ = ，或OP=4﹣ = ，进而得出点P的坐标．【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3， ∴A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y= ，可得m=1×3=3， ∴y与x之间的函数关系式为：y= ；20 （2）∵A（1，3）， ∴当x＞0时，不等式 x+b＞的解集为：x＞1；（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4， ∴点B的坐标为（4，0），把A（1，3）代入y2= x+b，可得3= +b， ∴b= ，∴y2= x+ ，令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0）， ∴BC=7， ∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分， ∴CP= BC= ，或BP= BC= ，∴OP=3﹣ = ，或OP=4﹣ = ∴P（﹣ ，0）或（，0）．，【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．　22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P， ∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+ 6=0的两个实数根．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其 21 面积；若不存在，说明理由．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案．（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC= ，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形AD FE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积．【解答】解：（1）∵DP平分∠APB， ∴∠APE=∠BPD， ∵AP与⊙O相切， ∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°， ∴∠EAP=∠B， ∴△PAE∽△PBD， ∴，∴PA•BD=PB•AE；（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G， ∵DP平分∠APB， AD⊥AP，DF⊥PB， ∴AD=DF， ∵∠EAP=∠B， ∴∠APC=∠BAC，易证：DF∥AC， 22 ∴∠BDF=∠BAC，由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0，解得：AE=2，BD=3， ∴由（1）可知： ∴cos∠APC= = ，，∴cos∠BDF=cos∠APC= ，∴，∴DF=2， ∴DF=AE， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∵AD=AE， ∴四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点， ∵cos∠BAC=cos∠APC= ∴sin∠BAC= ，，∴，∴DG= ，∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形其面积为：DG•AE=2× =【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力． 23 　23．（9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC 的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M， N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是　MG=NG　；位置关系是　 MG⊥NG　．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠D BH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．【解答】解：（1）连接BE，CD相较于H， ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90° ∴∠CAD=∠BAE， ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD=BE，∠ADC=∠ABE， ∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°， ∴∠BHD=90°， ∴CD⊥BE， 24 ∵点M，G分别是BD，BC的中点， ∴MG CD，同理：NG BE， ∴MG=NG，MG⊥NG，故答案为：MG=NG，MG⊥NG；（2）连接CD，BE，相较于H，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC， ∴∠AEB=∠ACD， ∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°， ∴∠DHE=90°，同（1）的方法得，MG⊥NG．【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．　24．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3， ﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围； 25 （3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将已知点坐标代入即可；（2）利用抛物线增减性可解问题；（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，），点B（ 3，﹣ ）求出相关角度．【解答】解：（1）把点A（1，），点B（3，﹣ ）分别代入y=ax2+bx得解得 ∴y=﹣ （2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x= 当x＞时，y随x的增大而减小 ∴当t＞4时，n＜m．（3）如图，设抛物线交x轴于点F 分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E 26 ∵AC≥AD，BC≥BE ∴AD+BE≥AC+BE=AB ∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大． ∵A（1，），点B（3，﹣ ∴∠AOF=60°，∠BOF=30° ∴∠AOB=90° ）∴∠ABO=30° 当OC⊥AB时，∠BOC=60° 点C坐标为（，）．【点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．　27