2016年辽宁省沈阳市中考数学试卷（含解析版）

2016年辽宁省沈阳市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分） 1．（2分）下列各数是无理数的是（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 2．（2分）如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）在我市2016年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到5400000平方米，将数据5400000用科学记数法表示为（　　）A．0.54×107 B．54×105 C．5.4×106 D．5.4×107 4．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y= （x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 5．（2分）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（　　）第1页（共36页） A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 B．x3•x2=x6 D．不确定事件 6．（2分）下列计算正确的是（　　） A．x4+x4=2×8 C．（x2y）3=x6y3 D．（x﹣y）（y﹣x）=x2﹣y2 7．（2分）已知一组数据：3，4，6，7，8，8，下列说法正确的是（　　） A．众数是2 B．众数是8 C．中位数是6 D．中位数是7 8．（2分）一元二次方程x2﹣4x=12的根是（　　） A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 D．x1=2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 9．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　）A． B．4 C．8 D．4 10．（2分）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A （x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4 　第2页（共36页）二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）分解因式：2×2﹣4x+2=　． 12．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是　边形． 13．（3分）化简：（1﹣ ）•（m+1）=　． 14．（3分）三个连续整数中，n是最大的一个，这三个数的和为　． 15．（3分）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲，乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图表示，当甲车出发　h时，两车相距350km． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME ，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是　．　三、解答题 17．（6分）计算：（π﹣4）0+|3﹣tan60°|﹣（）﹣2+ ．第3页（共36页） 18．（8分）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A，B，C依次表示这三个诵读材料），将A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．（1）小明诵读《论语》的概率是　；（2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．第4页（共36页） 19．（8分）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形． 20．（8分）我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种），并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图表：学生最喜欢的活动项目的人数统计表项目学生数（名）百分比 10% p% 20 60 n丢沙包打篮球跳大绳踢毽球 40% 20% 40 根据图表中提供的信息，解答下列问题：第5页（共36页）（1）m=　，n=　，p=　；（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢跳大绳． 21．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E ，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．第6页（共36页） 22．（10分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？ 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE 第7页（共36页）的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．（1）线段OC的长为　；（2）求证：△CBD≌△COE；（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E 的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD1，CE1，设点E1的坐标为（a，0 ），其中a≠2，△CD1E1的面积为S． ①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式； ②在平移过程中，当S= 时，请直接写出a的值．第8页（共36页） 24．（12分）在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．（1）如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F． ①求证：△ABD是等边三角形； ②求证：BF⊥AD，AF=DF； ③请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DA G=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．第9页（共36页） 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y= x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处． ①点B的坐标为（　、　），BK的长是　，CK的长是　； ②求点F的坐标； ③请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E 开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．　第10页（共36页） 2016年辽宁省沈阳市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分） 1．（2分）下列各数是无理数的是（　　） A．0 B．﹣1 C． D．【考点】26：无理数．菁优网版权所有【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：0，﹣1，是有理数，是无理数，故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 2．（2分）如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D．【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有【分析】画出从上往下看的图形即可．第11页（共36页）【解答】解：这个几何体的俯视图为故选：A．．【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． 3．（2分）在我市2016年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到5400000平方米，将数据5400000用科学记数法表示为（　　）A．0.54×107 B．54×105 C．5.4×106 D．5.4×107 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：5400000用科学记数法表示为5.4×106，故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y= （x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（　　）第12页（共36页） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．再由函数图象所在的象限确定k的值即可．【解答】解：∵点P是反比例函数y= （x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA ⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3， ∴矩形OAPB的面积S=|k|=3，解得k=±3．又∵反比例函数的图象在第一象限， ∴k=3．故选：A．【点评】本题主要考查了反比例函数y= 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 5．（2分）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（　　） A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件【考点】X1：随机事件．菁优网版权所有【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，第13页（共36页）故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6．（2分）下列计算正确的是（　　） A．x4+x4=2×8 B．x3•x2=x6 C．（x2y）3=x6y3 D．（x﹣y）（y﹣x）=x2﹣y2 【考点】4I：整式的混合运算．菁优网版权所有【专题】2C：存在型．【分析】先计算出各个选项中式子的正确结果，即可得到哪个选项是正确的，本题得以解决．【解答】解：∵x4+x4=2×4，故选项A错误； ∵x3•x2=x5，故选项B错误； ∵（x2y）3=x6y3，故选项C正确； ∵（x﹣y）（y﹣x）=﹣x2+2xy﹣y2，故选项D错误；故选：C．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法． 7．（2分）已知一组数据：3，4，6，7，8，8，下列说法正确的是（　　） A．众数是2 B．众数是8 C．中位数是6 D．中位数是7 【考点】W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有【分析】根据众数和中位数的定义求解．【解答】解：数据：3，4，6，7，8，8的众数为8，中为数为6.5．第14页（共36页）故选：B．【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数定义． 8．（2分）一元二次方程x2﹣4x=12的根是（　　） A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 D．x1=2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有【专题】11：计算题；521：一次方程（组）及应用．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0，分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，解得：x1=﹣2，x2=6，故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 9．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　）A． B．4 C．8 D．4 【考点】T7：解直角三角形．菁优网版权所有【分析】根据cosB= 及特殊角的三角函数值解题即可．第15页（共36页）【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8， cosB= ，即cos30°= ，∴BC=8× =4 故选：D．；【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握． 10．（2分）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A （x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4 【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；H7：二次函数的最值．菁优网版权所有【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象的增减性进行解答．【解答】解：y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1．又y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1． A、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选第16页（共36页）项错误； B、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误； C、y的最小值是﹣4，故本选项错误； D、y的最小值是﹣4，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题时，利用了“数形结合”的数学思想．　二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）分解因式：2×2﹣4x+2=　2（x﹣1）2　．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．【解答】解：2×2﹣4x+2， =2（x2﹣2x+1）， =2（x﹣1）2．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 12．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是　五　边形．【考点】L3：多边形内角与外角．菁优网版权所有【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可．【解答】解：设多边形的边数是n，则第17页（共36页）（n﹣2）•180°=540°，解得n=5，故答案为：五．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键． 13．（3分）化简：（1﹣ ）•（m+1）=　m　．【考点】6C：分式的混合运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；513：分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式= 故答案为：m •（m+1）=m，【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．（3分）三个连续整数中，n是最大的一个，这三个数的和为　3n﹣3　．【考点】32：列代数式．菁优网版权所有【专题】12：应用题．【分析】先利用连续整数的关系用n表示出最小的数和中间的整数，然后把三个数相加即可．【解答】解：这三个数的和为n﹣2+n﹣1+n=3n﹣3．故答案为3n﹣3．【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．本题的关键是表示出最小整数． 15．（3分）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲第18页（共36页），乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图表示，当甲车出发　h时，两车相距350km．【考点】FH：一次函数的应用．菁优网版权所有【分析】根据图象，可得A与C的距离等于B与C的距离，根据行驶路程与时间的关系，可得相应的速度，根据甲、乙的路程，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由题意，得 AC=BC=240km，甲的速度240÷4=60km/h，乙的速度240÷3=80km/h．设甲出发x小时甲乙相距350km，由题意，得 60x+80（x﹣1）+350=240×2，解得x= ，答：甲车出发 h时，两车相距350km，故答案为：．【点评】本题考查了一次函数的应用，利用题意找出等量关系是解题关键． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME 第19页（共36页），DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是　或　．【考点】KX：三角形中位线定理．菁优网版权所有【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据 =计算即可 ②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得计算即可． =【解答】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°， ∵DE是△ABC中位线， ∴DE∥BC，DE= BC=10， ∵DN′∥EF， ∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°， ∴四边形DEFN′是矩形， ∴EF=DN′，DE=FN′=10， ∵AB=AC，∠A=90°， ∴∠B=∠C=45°， ∴BN′=DN′=EF=FC=5， ∴∴=，=，∴DO′= ．当∠MON=90°时， ∵△DOE∽△EFM， ∴=，第20页（共36页） ∵EM= =13， ∴DO= ，故答案为或．【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．　三、解答题 17．（6分）计算：（π﹣4）0+|3﹣tan60°|﹣（）﹣2+ ．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式=1+3﹣ ﹣4+3 =2 ，．【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关性质进而化简是解题关键． 18．（8分）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A，B，C依次表示这三个诵读材料），将A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比第21页（共36页）赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．（1）小明诵读《论语》的概率是　；（2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）列举出所有情况，看小明和小亮诵读两个不同材料的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：（1）∵诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》三种， ∴小明诵读《论语》的概率= ，故答案为：；（2）列表得： AB小明小亮 CABC（A，A）（B，A）（C，A）（A，B）（B，B）（C，B）（A，C）（B，C）（C，C）由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有 6种．所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率= ．第22页（共36页）【点评】本题考查了用列表法或画树形图发球随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的易错点． 19．（8分）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【考点】KA：全等三角形的性质；L9：菱形的判定．菁优网版权所有【专题】14：证明题．【分析】（1）欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD即可．（2）先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定．【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD， ∴∠ABC=∠ABD， ∵CE∥BD， ∴∠CEB=∠DBE， ∴∠CEB=∠CBE．（2））∵△ABC≌△ABD， ∴BC=BD， ∵∠CEB=∠CBE， ∴CE=CB， ∴CE=BD ∵CE∥BD，第23页（共36页） ∴四边形CEDB是平行四边形， ∵BC=BD， ∴四边形CEDB是菱形．【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型． 20．（8分）我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种），并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图表：学生最喜欢的活动项目的人数统计表项目学生数（名）百分比 10% p% 20 60 n丢沙包打篮球跳大绳踢毽球 40% 20% 40 根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）m=　200　，n=　80　，p=　30　；（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢跳大第24页（共36页）绳．【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图．菁优网版权所有【分析】（1）利用20÷10%=200，即可得到m的值；用200×40%即可得到n的值，用60÷200即可得到p的值．（2）根据n的值即可补全条形统计图；（3）根据用样本估计总体，2000×40%，即可解答．【解答】解：（1）m=20÷10%=200；n=200×40%=80，60÷200=30%，p=30，故答案为：200，80，30；（2）如图，（3）2000×40%=800（人），答：估计该校2000名学生中有800名学生最喜欢跳大绳．【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、概率公式，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 21．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E ，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；第25页（共36页）（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．【考点】MC：切线的性质；MN：弧长的计算．菁优网版权所有【分析】（1）连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=O B可得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出DF⊥AC；（2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再结合OB=OD可得出△ OBD是等边三角形，根据弧长公式即可得出结论．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示． ∵DF是⊙O的切线，D为切点， ∴OD⊥DF， ∴∠ODF=90°． ∵BD=CD，OA=OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，第26页（共36页） ∴∠CFD=∠ODF=90°， ∴DF⊥AC．（2）解：∵∠CDF=30°，由（1）得∠ODF=90°， ∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°． ∵OB=OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BOD=60°， ∴的长= == π．【点评】本题考查了切线的性质、弧长公式、平行线的性质、三角形中位线定理以及等边三角形的判断，解题的关键是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（ 2）找出△OBD是等边三角形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过角的计算找出90°的角是关键． 22．（10分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．菁优网版权所有【分析】（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，根据：“A， B两种型号的健身器材共50套、共支出20000元”列方程组求解可得；（2）设购买A型号健身器材m套，根据：A型器材总费用+B型器材总费用≤1800 第27页（共36页） 0，列不等式求解可得．【解答】解：（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，根据题意，得：解得：，，答：购买A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套．（2）设购买A型号健身器材m套，根据题意，得：310m+460（50﹣m）≤18000，解得：m≥33 ， ∵m为整数， ∴m的最小值为34，答：A种型号健身器材至少要购买34套．【点评】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，审清题意得到相等关系或不等关系是解题的关键． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE 的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．（1）线段OC的长为　　；（2）求证：△CBD≌△COE；（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E 的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD1，CE1，设点E1的坐标为（a，0 ），其中a≠2，△CD1E1的面积为S． ①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；第28页（共36页） ②在平移过程中，当S= 时，请直接写出a的值．【考点】LO：四边形综合题．菁优网版权所有【分析】（1）由点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），利用勾股定理即可求得AB的长，然后由点C为边AB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得线段OC的长；（2）由四边形OBDE是正方形，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易得B D=OE，BC=OC，∠CBD=∠COE，即可证得：△CBD≌△COE；（3）①首先根据题意画出图形，然后过点C作CH⊥D1E1于点H，可求得△CD1E1 的高与底，继而求得答案； ②分别从1＜a＜2与a＞2去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1）， ∴OA=4，OB=1， ∵∠AOB=90°， ∴AB= =，∵点C为边AB的中点， ∴OC= AB= 故答案为：；．（2）证明：∵∠AOB=90°，点C是AB的中点，第29页（共36页） ∴OC=BC= AB， ∴∠CBO=∠COB， ∵四边形OBDE是正方形， ∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°， ∴∠CBD=∠COE，在△CBD和△COE中，，∴△CBD≌△COE（SAS）；（3）①解：过点C作CH⊥D1E1于点H， ∵C是AB边的中点， ∴点C的坐标为：（2，） ∵点E1的坐标为（a，0），1＜a＜2， ∴CH=2﹣a， ∴S= D1E1•CH= ×1×（2﹣a）=﹣ a+1； ②当1＜a＜2时，S=﹣ a+1= ，解得：a= ；当a＞2时，同理：CH=a﹣2， ∴S= D1E1•CH= ×1×（a﹣2）= a﹣1， ∴S= a﹣1= ，解得：a= ，综上可得：当S= 时，a= 或．第30页（共36页）【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 24．（12分）在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．（1）如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F． ①求证：△ABD是等边三角形； ②求证：BF⊥AD，AF=DF； ③请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DA G=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．【考点】KY：三角形综合题．菁优网版权所有第31页（共36页）【分析】（1）①由旋转性质知AB=AD，∠BAD=60°即可得证；②由BA=BD、EA= ED根据中垂线性质即可得证；③分别求出BF、EF的长即可得；（2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB 、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根据三线合一可得CE⊥AB、AC=5 、AH=3，继而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案．【解答】解：（1）①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE， ∴AB=AD，∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形； ②由①得△ABD是等边三角形， ∴AB=BD， ∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE， ∴AC=AE，BC=DE，又∵AC=BC， ∴EA=ED， ∴点B、E在AD的中垂线上， ∴BE是AD的中垂线， ∵点F在BE的延长线上， ∴BF⊥AD，AF=DF； ③由②知BF⊥AD，AF=DF， ∴AF=DF=3， ∵AE=AC=5， ∴EF=4， ∵在等边三角形ABD中，BF=AB•sin∠BAF=6× =3 ∴BE=BF﹣EF=3 ﹣4；，第32页（共36页）（2）如图所示， ∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC， ∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°， ∴∠BAE=∠ABC， ∵AC=BC=AE， ∴∠BAC=∠ABC， ∴∠BAE=∠BAC， ∴AB⊥CE，且CH=HE= CE， ∵AC=BC， ∴AH=BH= AB=3，则CE=2CH=8，BE=5， ∴BE+CE=13．【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、中垂线的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y= x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处． ①点B的坐标为（　10　、　0　），BK的长是　8　，CK的长是　10　；第33页（共36页） ②求点F的坐标； ③请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E 开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）①根据四边形OCKB是矩形以及对称轴公式即可解决问题． ②在RT△BKF中利用勾股定理即可解决问题． ③设OA=AF=x，在RT△ACF中，AC=8﹣x，AF=x，CF=4，利用勾股定理即可解决问题．（2）不变．S1•S2=289．由△GHN∽△MHG，得 =，得到GH2=HN•HM，求出GH2，根据S1•S2= •OG•HN• •OG•HM即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，①∵抛物线y= x2﹣3x+m的对称轴x=﹣ =10， ∴点B坐标（10，0），第34页（共36页） ∵四边形OBKC是矩形， ∴CK=OB=10，KB=OC=8，故答案分别为10，0，8，10． ②在RT△FBK中，∵∠FKB=90°，BF=OB=10，BK=OC=8， ∴FK= =6， ∴CF=CK﹣FK=4， ∴点F坐标（4，8）． ③设OA=AF=x，在RT△ACF中，∵AC2+CF2=AF2， ∴（8﹣x）2+42=x2， ∴x=5， ∴点A坐标（0，5），代入抛物线y= x2﹣3x+m得m=5， ∴抛物线为y= x2﹣3x+5．（2）不变．S1•S2=289．理由：如图2中，在RT△EDG中，∵GE=EO=17，ED=8， ∴DG= ∴CG=CD﹣DG=2， ∴OG= ==15， ==2 ，∵GP⊥OM，MH⊥OG， ∴∠NPM=∠NHG=90°， ∵∠HNG+∠HGN=90°，∠PNM+∠PMN=90°，∠HNG=∠PNM， ∴∠HGN=∠NMP， ∵∠NMP=∠HMG，∠GHN=∠GHM， ∴△GHN∽△MHG，第35页（共36页） ∴=，∴GH2=HN•HM， ∵GH=OH= ，∴HN•HM=17， ∵S1•S2= •OG•HN• •OG•HM=（ •2 ）2•17=289．【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、翻折变换相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△GHN∽△MHG求出HN•HM的值，属于中考压轴题．　第36页（共36页）