2015年广西省钦州市中考数学试卷（含解析版）

2015年广西钦州市中考数学试题一、选择题（每小题3分，共36分） 1．.下列图形中，是轴对称图形的是（　　）　 A． B． C． D． 2．.下列实数中，无理数是（　　） 1A．﹣1 B． C．5 D． 3 23．.计算(a3 )2 的结果是（　　） A． a9 B． a6 C． a5 D．a 4．.下列几何体中，主视图是圆的是（　　）　 A． B． C． D． 5．.国家统计局4月15日发布数据，初步核算，2015年一季度全国国内生产总值为140667亿元，其中数据140667用科学记数法表示为（　　） A．1.40667×105 B．1.40667×106 C．14.0667×104 D．0.140667×106 6．.如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　） A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D． AC=BD7．.用配方法解方程 x2 10x  9  0 ，配方后可得（　　） A．(x  5)2 16 B．(x  5)2 1 C．(x 10)2  91 D．(x 10)2 109 8．.在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3 个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（　　） A．（2，5） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，﹣1） – 1 – 49．.对于函数 y  ，下列说法错误的是（　　） xA．这个函数的图象位于第一、第三象限 B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 10．.在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相 1同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（　　） 5A．3 B．5 C．8 D．10 11．.如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（　　） A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC m  n (m  n) m  n (m  n) 12．.对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n= ，计算（3※ 2）×（8※12）的结果为（　　） A． 2  4 6 B．2 C． 2 5 D．20 二、填空题（每小题3分，共18分） 13．如图，直线AB和OC相交于点O，∠AOC=100°，则∠1= 度． 14．一组数据3，5，5，4，5，6的众数是．15．一次函数 y  kx  b （k  0 ）的图象经过A（1，0）和B（0，2）两点，则它的图象不经过第象限． – 2 – m2 416．当m=2105时，计算： =．m  2 m  2 17．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△AOB绕点O 逆时针旋转90°得到△COD，则旋转过程中形成的阴影部分的面积为．18．如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变化，经 1第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变 21化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正 21方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，．．．．．．，按此规律，经 2第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n =．三、解答题（8个小题，共66分） 19．计算：50  4  2(3) – 3 – 20．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证： DE=BF． 21．抛物线 y  x2  4x  3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C是此抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标； k（2）点C在反比例函数 y  （ k  0 ）的图象上，求反比例函数的解析式． x22．某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2 个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ – 4 – 23．（10分）某校决定在6月8日“世界海洋日”开展系列海洋知识的宣传活动，活动有A．唱歌、B．舞蹈、C．绘画、D．演讲四项宣传方式．学校围绕“你最喜欢的宣传方式是什么？”在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表：请结合统计图表，回答下列问题：（1）本次抽查的学生共人，a= ，并将条形统计图补充完整；（2）如果该校学生有1800人，请你估计该校喜欢“唱歌”这项宣传方式的学生约有多少人？（3）学校采用抽签方式让每班在A、B、C、D四项宣传方式中随机抽取两项进行展示，请用树状图或列表法求某班所抽到的两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈” 的概率． – 5 – 24．如图，船A、B在东西方向的海岸线MN上，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP=30海里．（1）尺规作图：过点P作AB所在直线的垂线，垂足为E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；（2）求船P到海岸线MN的距离（即PE的长）；（3）若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37° ≈0.80，tan37°≈0.75） 25．如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线； 1（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC= ，AD=3，求直径AB 2的长． – 6 – 26．如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD 的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C ．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；（2）当t为何值时，∠OCD=180°？（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式． 2015年广西省钦州市中考数学试卷 – 7 – 参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分） 1．.下列图形中，是轴对称图形的是（　　）　 A． B． C． D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．解答：解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项错误； B、该图形是中心对称图形，故本选项错误； C、该图形是轴对称图形，故本选项正确； D、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项错误；故选：C．点评：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．.下列实数中，无理数是（　　） 1A．﹣1 B． C．5 D． 3 2考点：无理数．分析：根据无理数就是无限不循环小数即可判定选择项．解答：解：﹣1，，5是有理数，只有是无理数，故选D 点评：此题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π等；②开方开不尽的数，如等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等． 3．.计算(a3 )2 的结果是（　　） A． a9 B． a6 C． a5 D．a – 8 – 考点：幂的乘方与积的乘方．分析：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变指数相乘，即可求解．解答：解：（a3）2=a3×2=a6．故选B．点评：本题主要考查了幂的乘方法则，正确理解法则：幂的乘方，底数不变指数相乘，是解题关键． 4．.下列几何体中，主视图是圆的是（　　）　 A． B． C． D．考点：简单几何体的三视图．分析：分别分析四个选项的主视图，从而得出主视图是圆的几何体．解答：解：A、正方体的主视图是正方形，故本选项错误； B、球的主视图是圆，故本选项正确． C、三棱柱的几何体是矩形，故本选项错误； D、圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了简单几何体的三视图，重点考查学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 5．.国家统计局4月15日发布数据，初步核算，2015年一季度全国国内生产总值为140667亿元，其中数据140667用科学记数法表示为（　　） A．1.40667×105 B．1.40667×106 C．14.0667×104 D．0.140667×106 考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动 – 9 – 的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：140667用科学记数法表示为1.40667×105，故选A 点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6．.如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　） A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D． AC=BD 考点：菱形的判定．专题：证明题．分析：利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．解答：解：如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是BA=BC，故选B 点评：此题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键． 7．.用配方法解方程 x2 10x  9  0 ，配方后可得（　　） A．(x  5)2 16 B．(x  5)2 1 C．(x 10)2  91 D．(x 10)2 109 考点：解一元二次方程-配方法．专题：计算题．分析：方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．解答：解：方程x2+10x+9=0， – 10 – 整理得：x2+10x=﹣9，配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）2=16，故选A 点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 8．.在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3 个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（　　） A．（2，5） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，﹣1）考点：坐标与图形变化-平移．分析：逆向思考，把点（﹣3，2）先向右平移5个单位，再向下平移3个单位后可得到A点坐标．解答：解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2 ，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．故选D．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数 a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 49．.对于函数 y  ，下列说法错误的是（　　） xA．这个函数的图象位于第一、第三象限 B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 – 11 – C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小考点：反比例函数的性质．分析：根据反比例函数的性质：对于反比例函数y= ，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大解答即可．解答：解：函数y= 的图象位于第一、第三象限，A正确；图象既是轴对称图形又是中心对称图形，B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，C错误；当x＜0时，y随x的增大而减小，D正确，故选：C．点评：本题考查的是反比例函数的性质，掌握对于反比例函数y= ，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大是解题的关键． 10．.在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相 1同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（　　） 5A．3 B．5 C．8 D．10 考点：概率公式．分析：根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．解答：解：∵摸到红球的概率为， ∴P（摸到黄球）=1﹣ = ， ∴= ，解得n=8．故选：C． – 12 – 点评：本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 11．.如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（　　） A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC 分析：先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有 =，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．解答：解：如图过点B作BE∥AC交AD延长线于点E， ∵BE∥AC， ∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD， ∴△BDE∽△CDA， – 13 – ∴=，又∵AD是角平分线， ∴∠E=∠DAC=∠BAD， ∴BE=AB， ∴=，∴AB：AC=BD：CD．点评：此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键是作平行线． m  n (m  n) m  n (m  n) 12．.对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n= 2）×（8※12）的结果为（　　），计算（3※ A． 2  4 6 B．2 C． 2 5 D．20 考点：二次根式的混合运算．专题：新定义．分析：根据题目所给的运算法则进行求解．解答：解：∵3＞2， ∴3※2= ﹣，∵8＜12， ∴8※12= +=2（ +）， ∴（3※2）×（8※12）=（ ﹣）×2（ +）=2．故选B．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是根据题目所给的运算法则求解． – 14 – 二、填空题（每小题3分，共18分） 13．.如图，直线AB和OC相交于点O，∠AOC=100°，则∠1= 度．考点：对顶角、邻补角．分析：根据邻补角互补，可得答案．解答：解：由邻补角互补，得∠1=180°﹣∠AOC=180°﹣100°=80°，故答案为：80．点评：本题考查了邻补角，利用了邻补角的定义．　14．.一组数据3，5，5，4，5，6的众数是．考点：众数．分析：根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案．解答：解：这组数据中出现次数最多的数据为：5．故众数为5．故答案为：5．点评：本题考查了众数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．　15．.一次函数 y  kx  b （ k  0 ）的图象经过A（1，0）和B（0，2）两点，则它的图象不经过第象限．考点：一次函数图象与系数的关系．分析：将A（1，0）和B（0，2）分别代入一次函数解析式y=kx+b中，得到关于k 与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式，利用一次函数的性质即可得到一次函数图象不经过第三象限． – 15 – 解答：解：将A（1，0）和B（0，2）代入一次函数y=kx+b中得：，解得：，∴一次函数解析式为y=﹣2x+2不经过第三象限．故答案为：三．点评：此题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，灵活运用待定系数法是解本题的关键． m2 416．.当m=2105时，计算： =．m  2 m  2 考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．解答：解：原式= ==m﹣2，当m=2015时，原式=2015﹣2=2013．故答案为：2013 点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　17．.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△AOB绕点 O逆时针旋转90°得到△COD，则旋转过程中形成的阴影部分的面积为．- 16 – 考点：旋转的性质；扇形面积的计算．分析：根据OA=3，再根据△OAB所扫过的面积=S扇形AOC+S△DOC﹣S△AOB=S扇形AOC 求解即可．解答：解：将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，所以S△DOC=S△AOB ，可得：旋转过程中形成的阴影部分的面积=S扇形AOC+S△DOC﹣S△AOB=S扇形AOC =，故答案为：点评：本题考查了利用旋转变换作图，得出扇形的面积和熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 18．.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变化，经 1第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后 21得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3 21C3，其边长OA3缩小为OA2的，．．．．．．，按此规律，经第n次变化后， 2所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．- 17 – 考点：位似变换；正方形的性质．专题：规律型．分析：由图形的变化规律可知正方形OAnBnCn的边长为，据此即可求解．解答：解：由图形的变化规律可得 =，解得n=8．故答案为：8．点评：本题主要考查了正方形的性质及位似变换，解题的关键是正确的找出图形的变化规律．　三、解答题（8个小题，共66分） 19．计算：50  4  2(3) 考点：实数的运算；零指数幂．分析：先算0指数幂，绝对值与乘法，再算加减，由此顺序计算即可．解答：解：原式=1+4+6 =11． – 18 – 点评：本题考查实数的综合运算能力，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键． 20．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证： DE=BF．考点：矩形的性质；全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据矩形的性质和已知证明DF=BE，AB∥CD，得到四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB=CD，又E、F分别是边AB、CD的中点， ∴DF=BE，又AB∥CD， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF．点评：本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 21．抛物线 y  x2  4x  3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C是此抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标； k（2）点C在反比例函数 y  （ k  0 ）的图象上，求反比例函数的解析式． x考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求反比例函数解析式． – 19 – 分析：（1）令抛物线解析式中y=0得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出A与B坐标即可；配方后求出C坐标即可；（2）将求得的点C的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k值．解答：解：（1）令y=0，得到x2﹣4x+3=0，即（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x=1或3，则A（1，0），B（3，0）， ∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴顶点C的坐标为（2，﹣1）；（2）∵点C（2，﹣1）在反比例函数y= （k≠0）的图象上， ∴k=﹣1×2=﹣2， ∴反比例函数的解析式为y=﹣ ；点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数的解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．22．某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2 个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用． – 20 – 分析：（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，根据购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元列方程组求解即可；（2）设购买气排球x个，则购买篮球（50﹣x）个，根据总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个确定出x的范围，从而可计算出最低费用．解答：解：（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．根据题意得：解得：所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元．（2）设购买气排球x个，则购买篮球（50﹣x）个．根据题意得：50x+80（50﹣x）≤3200 解得x≥26 ，又∵排球得个数小于30个， ∴当够买排球29个，篮球21个时，费用最低． 29×50+21×80=1450+1680=3130元．点评：本题主要考查的是二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键． 23．（10分）某校决定在6月8日“世界海洋日”开展系列海洋知识的宣传活动，活动有A．唱歌、B．舞蹈、C．绘画、D．演讲四项宣传方式．学校围绕“你最喜欢的宣传方式是什么？”在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表： – 21 – 请结合统计图表，回答下列问题：（1）本次抽查的学生共人，a= ，并将条形统计图补充完整；（2）如果该校学生有1800人，请你估计该校喜欢“唱歌”这项宣传方式的学生约有多少人？（3）学校采用抽签方式让每班在A、B、C、D四项宣传方式中随机抽取两项进行展示，请用树状图或列表法求某班所抽到的两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈” 的概率．考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图．专题：计算题．分析：（1）用D类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用1分别减去A 、C、D类的百分比即可得到a的值，然后用a乘以总人数得到B类人数，再补全条形统计图；（2）估计样本估计总体，用1800乘以A类的百分比即可；（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出含A和B的结果数，然后根据概率公式求解．解答：解：（1）本次抽查的学生数=30÷10%=300（人），a=1﹣35%﹣25%﹣10% =30%； 300×30%=90，即D类学生人数为90人，如图，故答案为300，30%；（2）1800×35%=630（人）， – 22 – 所以可估计该校喜欢“唱歌”这项宣传方式的学生约有630人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中含A和B的结果数为2，所以某班所抽到的两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率= =．点评：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了样本估计总体和条形统计图．　24．如图，船A、B在东西方向的海岸线MN上，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP=30海里．（1）尺规作图：过点P作AB所在直线的垂线，垂足为E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；（2）求船P到海岸线MN的距离（即PE的长）；（3）若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37° ≈0.80，tan37°≈0.75） – 23 – 考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）利用直角三角板中90°的直角直接过点P作AB所在直线的垂线即可；（2）解Rt△APE求出PE即可；（3）在Rt△BPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断．解答：解：（1）如图所示：（2）由题意得，∠PAE=30°，AP=30海里，在Rt△APE中，PE=APsin∠PAE=APsin30°=15海里；（3）在Rt△PBE中，PE=15海里，∠PBE=53°，则BP= =海里， A船需要的时间为： =1.5小时，B船需要的时间为： =1.25小时， ∵1.5＞1.25， ∴B船先到达．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般． 25．如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线； 1（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC= ，AD=3，求直径AB 2的长． – 24 – 考点：切线的判定．分析：（1）由AB为⊙O的直径，可得∠D=90°，继而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠ DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，则可证得BC是⊙O的切线；（2）根据点O是AB的中点，点E时BD的中点可知OE是△ABD的中位线，故AD ∥OE，则∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC= 可知t an∠ABD= =，由此可得出结论．解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠D=90°， ∴∠ABD+∠A=90°， ∵∠DBC=∠A， ∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线；（2）∵点O是AB的中点，点E时BD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴AD∥OE， ∴∠A=∠BOC．、 ∵由（1）∠D=∠OBC=90°， ∴∠C=∠ABD， ∵tanC= ， ∴tan∠ABD= == ，解得BD=6， – 25 – ∴AB= ==3 ．点评：本题考查的是切线的判定，熟知经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答此题的关键．　26．如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD 的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C ．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；（2）当t为何值时，∠OCD=180°？（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．考点：一次函数综合题；相似三角形的判定与性质．分析：（1）由点B坐标为（0，8），可知OB=8，根据线段垂直平分线的定义可知：AE=4，从而求得：BE=t+4，故此点E的坐标为（t+4，8）；（2）过点D作DH⊥OF，垂足为H．先证明△OBA∽△AEC，由相似三角形的性质可知，可求得EC= ，从而得到点C的坐标为（t+4，8﹣ ），因为∠ OCD=180°，CF∥DH，可知（3）三角形OCF的面积= ，即从而可解得t的值；，从而可得S与t的函数关系式． – 26 – 解答：解：（1）∵点B坐标为（0，8）， ∴OB=8． ∵AD=OB，EF垂直平分AD， ∴AE=4． ∴BE=t+4． ∴点E的坐标为（t+4，8）；（2）如图所示；过点D作DH⊥OF，垂足为H． ∵AC⊥OA， ∴∠OAC=90°． ∴∠BAO+∠EAC=90°．又∵∠BOA+∠BAO=90°， ∴∠EAC=∠BOA．又∵∠OBA=∠AEC， ∴△OBA∽△AEC． ∴，即．．∴EC= ∴点C的坐标为（t+4，8﹣ ）∵∠OCD=180°， ∴点C在OD上． ∵CF∥DH， ∴，即解得：，（舍去）． – 27 – 所以当t=4 ﹣4时，∠OCD=180°．（3）三角形OCF的面积= ×OF•FC= ∴s与t的函数关系式为s= 点评：（t+4）（8 t）= ，．本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，用含字母t的式子表示点C的坐标是解题的关键．　- 28 –