2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）（含解析版）下载

2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则 A∩B 中元素的个数 为（　　） A．2 2．（5 分）若 （1+i）＝1﹣i，则 z＝（　　） A．1﹣i B．1+i B．3 C．4 D．5 D．i C．﹣i 3．（5 分）设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10×1，10×2，…，10xn 的方差为（　　） A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 4．（5 分）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数 据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I（t）（t 的单位：天）的 Logistic 模型：I（t）＝ ，其中 K 为最大确诊病例数．当 I（t*）＝0.95K 时，标志着已初步遏制 疫情，则 t*约为（　　）（ln19≈3） A．60 5．（5 分）已知 sinθ+sin（θ+ A． B． B．63 C．66 ）＝1，则 sin（θ+ C． D．69 ）＝（　　） D． 6．（5 分）在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点．若 •＝1，则点 C 的轨迹为（　　） D．直线 A．圆 B．椭圆 C．抛物线 7．（5 分）设 O 为坐标原点，直线 x＝2 与抛物线 C：y2＝2px（p＞0）交于 D，E 两点， 若 OD⊥OE，则 C 的焦点坐标为（　　） A．（ ，0） 8．（5 分）点（0，﹣1）到直线 y＝k（x+1）距离的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0） 9．（5 分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（　　） 第 1 页（共 21 页） A．6+4 10．（5 分）设 a＝log32，b＝log53，c＝ ，则（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a B．4+4 C．6+2 D．4+2 D．c＜a＜b 11．（5 分）在△ABC 中，cosC＝ ，AC＝4，BC＝3，则 tanB＝（　　） A． B．2 C．4 D．8 12．（5 分）已知函数 f（x）＝sinx+ ，则（　　） A．f（x）的最小值为 2 B．f（x）的图象关于 y 轴对称 C．f（x）的图象关于直线 x＝π 对称 D．f（x）的图象关于直线 x＝ 对称 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）若 x，y 满足约束条件 则 z＝3x+2y 的最大值为　 　． 14．（5 分）设双曲线 C： ﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为 y＝ x，则 C 的离 心率为　 　． 15．（5 分）设函数 f（x）＝ ，若 f′（1）＝ ，则a＝　 　． 16．（5 分）已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为　 ．　三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题 ，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 第 2 页（共 21 页） 共 60 分。 17．（12 分）设等比数列{an}满足 a1+a2＝4，a3﹣a1＝8． （1）求{an}的通项公式； （2）记 Sn 为数列{log3an}的前 n 项和．若 Sm+Sm+1═Sm+3，求 m． 18．（12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公 园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 [0，200] （200，400] （400，600] 空气质量等级 1（优） 2（良） 256716 10 725 12 83（轻度污染） 4（中度污染） 20（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表）； （3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等 级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表，并 根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气 质量有关？ 人次≤400 人次＞400 空气质量好 空气质量不好 附：K2＝ 第 3 页（共 21 页） P（K2≥k） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 19．（12 分）如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 E，F 分别在棱 DD1，BB1 上，且 2DE ＝ED1，BF＝2FB1．证明： （1）当 AB＝BC 时，EF⊥AC； （2）点 C1 在平面 AEF 内． 20．（12 分）已知函数 f（x）＝x3﹣kx+k2． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有三个零点，求 k 的取值范围． 第 4 页（共 21 页） 21．（12 分）已知椭圆 C： +＝1（0＜m＜5）的离心率为 ，A，B 分别为 C 的左、 右顶点． （1）求 C 的方程； （2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x＝6 上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ 的面积． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数且 t≠1 ），C 与坐标轴交于 A，B 两点． （1）求|AB|； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．设 a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1． （1）证明：ab+bc+ca＜0； （2）用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．第 5 页（共 21 页） 2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则 A∩B 中元素的个数 为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 A∩B，进而能求出 A∩B 中元素的个数． 【解答】解：∵集合 A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15）， ∴A∩B＝{5，7，11}， ∴A∩B 中元素的个数为 3． 故选：B． 【点评】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题． 2．（5 分）若 （1+i）＝1﹣i，则 z＝（　　） A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概 念得答案． 【解答】解：由 （1+i）＝1﹣i，得 ，∴z＝i． 故选：D． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．（5 分）设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10×1，10×2，…，10xn 的方差为（　　） A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 【分析】根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，求出新数据的方差即 可． 【解答】解：∵样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01， 第 6 页（共 21 页） ∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长， ∴数据 10×1，10×2，…，10xn 的方差为：100×0.01＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了方差的性质，掌握根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方 倍增长是解题的关键，本题属于基础题． 4．（5 分）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数 据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I（t）（t 的单位：天）的 Logistic 模型：I（t）＝ ，其中 K 为最大确诊病例数．当 I（t*）＝0.95K 时，标志着已初步遏制 疫情，则 t*约为（　　）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 【分析】根据所给材料的公式列出方程 【解答】解：由已知可得 ＝0.95K，解出 t 即可． ＝0.95K，解得 e﹣0.23（t﹣53） ＝，两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19， 解得 t≈66， 故选：C． 【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题 5．（5 分）已知 sinθ+sin（θ+ A． B． ）＝1，则 sin（θ+ C． ）＝（　　） D． 【分析】利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可． 【解答】解：∵sinθ+sin（ ∴sinθ+ sinθ+ cosθ＝1， cosθ＝1， ）＝1， 即得即sinθ+ （cosθ+ sinθ）＝1， ）＝1， sin（ 得 sin（ ）＝ 故选：B． 第 7 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角 公式进行转化是解决本题的关键．难度不大． 6．（5 分）在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点．若 •＝1，则点 C 的轨迹为（　　） D．直线 A．圆 B．椭圆 C．抛物线 【分析】设出 A、B、C 的坐标，利用已知条件，转化求解 C 的轨迹方程，推出结果即可 ．【解答】解：在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点， 不妨设 A（﹣a，0），B（a，0），设 C（x，y）， 因为 ＝1， 所以（x+a，y）•（x﹣a，y）＝1， 解得 x2+y2＝a2+1， 所以点 C 的轨迹为圆． 故选：A． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力． 7．（5 分）设 O 为坐标原点，直线 x＝2 与抛物线 C：y2＝2px（p＞0）交于 D，E 两点， 若 OD⊥OE，则 C 的焦点坐标为（　　） A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0） 【分析】利用已知条件转化求解 E、D 坐标，通过 kOD•kOE＝﹣1，求解抛物线方程，即 可得到抛物线的焦点坐标． 【解答】解：将 x＝2 代入抛物线 y2＝2px，可得 y＝±2 ，OD⊥OE，可得 kOD•kOE＝﹣ 1， 即，解得 p＝1， 所以抛物线方程为：y2＝2x，它的焦点坐标（ ，0）． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 8．（5 分）点（0，﹣1）到直线 y＝k（x+1）距离的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论． 第 8 页（共 21 页） 【解答】解：因为点（0，﹣1）到直线 y＝k（x+1）距离 d＝ ＝＝；∵要求距离的最大值，故需 k＞0； 可得 d≤ ＝；当 k＝1 时等号成立； 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是点到直线的距离公式，属于基础题． 9．（5 分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（　　） A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2 【分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公 式计算即可． 【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图是正方体的一个角，如图： PA＝AB＝AC＝2，PA、AB、AC 两两垂直， 故 PB＝BC＝PC＝2 ，几何体的表面积为：3× 故选：C． ＝6+2 ，【点评】本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间 第 9 页（共 21 页） 想象能力，计算能力． 10．（5 分）设 a＝log32，b＝log53，c＝ ，则（　　） A．a＜c＜b 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【解答】解：∵a＝log32＝ b＝log53＝ c＝ B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ＜＝ ， ＞＝ ， ，∴a＜c＜b． 故选：A． 【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题． 11．（5 分）在△ABC 中，cosC＝ ，AC＝4，BC＝3，则 tanB＝（　　） A． B．2 C．4 D．8 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 tanC 的值，利用余弦定理可求 AB 的 值，可得 A＝C，利用三角形的内角和定理可求 B＝π﹣2C，利用诱导公式，二倍角的正 切函数公式即可求解 tanB 的值． 【解答】解：∵cosC＝ ，AC＝4，BC＝3， ∴tanC＝ ＝，∴AB＝ ＝＝3，可得 A＝C， ∴B＝π﹣2C， 则 tanB＝tan（π﹣2C）＝﹣tan2C＝ 故选：C． ＝＝4 ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的内角和定理， 诱导公式，二倍角的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想， 属于基础题． 第 10 页（共 21 页） 12．（5 分）已知函数 f（x）＝sinx+ ，则（　　） A．f（x）的最小值为 2 B．f（x）的图象关于 y 轴对称 C．f（x）的图象关于直线 x＝π 对称 D．f（x）的图象关于直线 x＝ 对称 【分析】设 sinx＝t，则 y＝f（x）＝t+ ，t∈[﹣1，1]，由双勾函数的图象和性质可得，y ≥2 或 y≤﹣2，故可判断 A；根据奇偶性定义可以判断 B 正误；根据对称性的定义可以 判断 C，D 的正误． 【解答】解：由 sinx≠0 可得函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故定义域关于原点对称； 设 sinx＝t，则 y＝f（x）＝t+ ，t∈[﹣1，1]，由双勾函数的图象和性质得，y≥2 或 y≤﹣ 2，故 A 错误； 又有 f（﹣x）＝sin（﹣x）+ ＝﹣（sinx+ ）＝﹣f（x），故 f（x）是奇函 数，且定义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故 B 错误； f（π+x）＝sin（π+x）+ ＝﹣sinx﹣ ；f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+ ＝sinx+ ，故 f（π+x）≠f（π﹣x），f（x）的图象不关于直线 x＝π 对 称，C 错误； 又 f（ +x）＝sin（ +x）+ ＝cosx+ ；f（ ﹣x）＝sin（ ﹣x） +＝cosx+ ，故 f（ +x）＝f（ ﹣x），定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}， f（x）的图象关于直线 x＝ 故选：D． 对称；D 正确； 【点评】本题考查了基本初等函数的图象与性质，考查了对函数奇偶性和对称性质的灵 活应用能力，属于基础题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 第 11 页（共 21 页） 13．（5 分）若 x，y 满足约束条件 则 z＝3x+2y 的最大值为　7　． 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x+2y 表示直线在 y 轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在 y 轴上的截距最大值即可． 【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由 解得 A（1，2）， 如图，当直线 z＝3x+2y 过点 A（1，2）时，目标函数在 y 轴上的截距取得最大值时，此 时 z 取得最大值， 即当 x＝1，y＝2 时，zmax＝3×1+2×2＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 14．（5 分）设双曲线 C： ﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为 y＝ x，则 C 的离 心率为　． 【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出 a，b 的关系，再由离心率的 公式及 a，b，c 之间的关系求出双曲线的离心率． 【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝± x， 由题意可得 故答案为： ＝，所以离心率 e＝ ＝＝，．【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题． 第 12 页（共 21 页） 15．（5 分）设函数 f（x）＝ ，若 f′（1）＝ ，则a＝　1　． 【分析】先求出函数的导数，再根据 f′（1）＝ ，求得a 的值． 【解答】解：∵函数 f（x）＝ ，∴f′（x）＝ ，若 f′（1）＝ 故答案为：1． ＝，∴ ＝ ，则a＝1， 【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题． 16．（5 分）已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为　 2π　． 【分析】由条件易知该圆锥内半径最大的球为该圆锥的内接球，作图，数形结合即可． 【解答】解：当球为该圆锥内切球时，半径最大， 如图：BS＝3，BC＝1，则圆锥高 SC＝ 设内切球与圆锥相切与点 D，半径为 r，则△SOD∽△SCB， 故有 ，即，解得 r＝ ＝＝2 ，＝，所以该球的表面积为 4πr2＝2π． 故答案为：2π． 【点评】本题考查圆锥内切球半径求法，考查球的表面积公式，数形结合思想，属于中 档题． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题 ，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 共 60 分。 第 13 页（共 21 页） 17．（12 分）设等比数列{an}满足 a1+a2＝4，a3﹣a1＝8． （1）求{an}的通项公式； （2）记 Sn 为数列{log3an}的前 n 项和．若 Sm+Sm+1═Sm+3，求 m． 【分析】（1）设其公比为 q，则由已知可得 ，解得 a1＝1，q＝3，可求其 通项公式． （2）由（1）可得 log3an＝n﹣1，是一个以 0 为首项，1 为公差的等差数列，可求 Sn＝ ，由已知可得 +＝，进而解得 m 的值． 【解答】解：（1）设公比为 q，则由 可得 a1＝1，q＝3， ，所以 an＝3n﹣1 ．（2）由（1）有 log3an＝n﹣1，是一个以 0 为首项，1 为公差的等差数列， 所以 Sn＝ ，所以 +＝，m2﹣5m﹣6＝0， 解得 m＝6，或 m＝﹣1（舍去）， 所以 m＝6． 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，等差数列的求和，考查了转化思 想和方程思想的应用，属于基础题． 18．（12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公 园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 [0，200] （200，400] （400，600] 空气质量等级 1（优） 2（良） 256716 10 725 12 83（轻度污染） 4（中度污染） 20（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； 第 14 页（共 21 页） （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表）； （3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等 级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表，并 根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气 质量有关？ 人次≤400 人次＞400 空气质量好 空气质量不好 附：K2＝ P（K2≥k） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 【分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案； （3）由公式 计算 k 的值，从而查表即可， 【解答】解：（1）该市一天的空气质量等级为 1 的概率为： ＝；该市一天的空气质量等级为 2 的概率为： 该市一天的空气质量等级为 3 的概率为： 该市一天的空气质量等级为 4 的概率为： ＝；＝＝；；（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为： ＝100×0.20+300× 0.35+500×0.45＝350； （3）根据所给数据，可得下面的 2×2 列联表， 人次≤400 人次＞400 总计 70 空气质量好 33 22 37 8空气质量不好 30 第 15 页（共 21 页） 总计 55 45 100 由表中数据可得：K2＝ ＞3.841， ＝≈5.820 所以有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 【点评】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题． 19．（12 分）如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 E，F 分别在棱 DD1，BB1 上，且 2DE ＝ED1，BF＝2FB1．证明： （1）当 AB＝BC 时，EF⊥AC； （2）点 C1 在平面 AEF 内． 【分析】（1）因为 ABCD﹣A1B1C1D1 是长方体，且 AB＝BC，可得 AC⊥平面 BB1D1D， 因为 EF⊂平面 BB1D1D，所以 EF⊥AC． （2）取 AA1 上靠近 A1 的三等分点 M，连接 DM，C1F，MF．根据已知条件可得四边形 AED1M 为平行四边形，得 D1M∥AE，再推得四边形 C1D1MF 为平行四边形，所以 D1M∥ C1F，根据直线平行的性质可得 AE∥C1F，所以 A，E，F，C1 四点共面，即点 C1 在平面 AEF 内． 【解答】解：（1）因为 ABCD﹣A1B1C1D1 是长方体，所以 BB1⊥平面 ABCD，而 AC⊂平 面 ABCD，所以 AC⊥BB1， 因为 ABCD﹣A1B1C1D1 是长方体，且 AB＝BC，所以 ABCD 是正方形，所以 AC⊥BD， 又 BD∩BB1＝B． 所以 AC⊥平面 BB1D1D，又因为点 E，F 分别在棱 DD1，BB1 上，所以 EF⊂平面 BB1D1D 第 16 页（共 21 页） ，所以 EF⊥AC． （2）取 AA1 上靠近 A1 的三等分点 M，连接 D1M，C1F，MF． 因为点 E 在 DD1，且 2DE＝ED1，所以 ED∥AM，且 ED＝AM， 所以四边形 AED1M 为平行四边形，所以 D1M∥AE，且 D1M＝AE， 又因为 F 在 BB1 上，且 BF＝2FB1，所以 A1M∥FB1，且 A1M＝FB1， 所以 A1B1FM 为平行四边形， 所以 FM∥A1B1，FM＝A1B1，即 FM∥C1D1，FM＝C1D1， 所以 C1D1MF 为平行四边形， 所以 D1M∥C1F， 所以 AE∥C1F，所以 A，E，F，C1 四点共面． 所以点 C1 在平面 AEF 内． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查直线平行的性质应用，是中档题． 20．（12 分）已知函数 f（x）＝x3﹣kx+k2． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有三个零点，求 k 的取值范围． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 k 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于 k 的不等式组，解出即可． 【解答】解：（1）f（x）＝x3﹣kx+k2．f′（x）＝3×2﹣k， k≤0 时，f′（x）≥0，f（x）在 R 递增， 第 17 页（共 21 页） k＞0 时，令 f′（x）＞0，解得：x＞ 或 x＜﹣ ，令 f′（x）＜0，解得：﹣ ∴f（x）在（﹣∞，﹣ ＜x＜ ，）递增，在（﹣ ，）递减，在（ ，+∞）递增， 综上，k≤0 时，f（x）在 R 递增， k＞0 时，f（x）在（﹣∞，﹣ ）递增，在（﹣ ，）递减，在（ ，+∞）递 增； （2）由（1）得：k＞0，f（x）极小值＝f（ 若 f（x）有三个零点， ），f（x）极大值＝f（﹣ ）， 只需 ，解得：0＜k＜ ，故 k∈（0， ）． 【点评】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思 想，是一道常规题． 21．（12 分）已知椭圆 C： +＝1（0＜m＜5）的离心率为 ，A，B 分别为 C 的左 、右顶点． （1）求 C 的方程； （2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x＝6 上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ 的面积． 【分析】（1）根据 e＝ ，a2＝25，b2＝m2，代入计算 m2 的值，求出 C 的方程即可； （2）设出 P，Q 的坐标，得到关于 s，t，n 的方程组，求出 AP（8，1），AQ（11，2） ，从而求出△APQ 的面积． 【解答】解：（1）由 e＝ 得e2＝1﹣ ，即 ＝1﹣ ，∴m2＝ ，故 C 的方程是： +＝1； 第 18 页（共 21 页） （2）由（1）A（﹣5，0），设 P（s，t），点 Q（6，n）， 根据对称性，只需考虑 n＞0 的情况， 此时﹣5＜s＜5，0＜t≤ ，∵|BP|＝|BQ|，∴有（s﹣5）2+t2＝n2+1①， 又∵BP⊥BQ，∴s﹣5+nt＝0②， 又+＝1③， 联立①②③得 或，当则时，则 P（3，1），Q（6，2），而 A（﹣5，0）， ＝（8，1）， ＝（11，2）， ∴S△APQ＝ ＝ |8×2﹣11×1|＝ ， 同理可得当 时，S△APQ＝ ， 综上，△APQ 的面积是 ．【点评】本题考查求椭圆方程以及了直线和椭圆的关系，考查转化思想，是一道综合题． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数且 t≠1 ），C 与坐标轴交于 A，B 两点． （1）求|AB|； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程． 【分析】（1）可令 x＝0，求得 t，对应的 y；再令 y＝0，求得 t，对应的 x；再由两点的 距离公式可得所求值； （2）运用直线的截距式方程可得直线 AB 的方程，再由由 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得所 求极坐标方程． 【解答】解：（1）当 x＝0 时，可得 t＝﹣2（1 舍去），代入 y＝2﹣3t+t2，可得 y＝2+6+4 第 19 页（共 21 页） ＝12， 当 y＝0 时，可得 t＝2（1 舍去），代入 x＝2﹣t﹣t2，可得 x＝2﹣2﹣4＝﹣4， 所以曲线 C 与坐标轴的交点为（﹣4，0），（0，12）， 则|AB|＝ ＝4 ；（2）由（1）可得直线 AB 过点（0，12），（﹣4，0）， 可得 AB 的方程为 ﹣ ＝1， 即为 3x﹣y+12＝0， 由 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 可得直线 AB 的极坐标方程为 3ρcosθ﹣ρsinθ+12＝0． 【点评】本题考查曲线的参数方程的运用，考查直线方程的求法和两点的距离公式的运 用，考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于基础题． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．设 a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1． （1）证明：ab+bc+ca＜0； （2）用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．【分析】（1）将 a+b+c＝0 平方之后，化简得到 2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2）＜0，即 可得证； （2）利用反证法，假设 a≤b＜0＜c＜ ，结合条件推出矛盾． 【解答】证明：（1）∵a+b+c＝0，∴（a+b+c）2＝0， ∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝0， ∴2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2）， ∵abc＝1，∴a，b，c 均不为 0， ∴2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2）＜0， ∴ab+ac+bc＜0； （2）不妨设 a≤b＜0＜c＜ ∵a+b+c＝0，∴﹣a﹣b＝c＜ ，则 ab＝ ＞，，第 20 页（共 21 页） 而﹣a﹣b≥2 ＞＝＝＝，与假设矛盾， 故 max{a，b，c}≥ ．【点评】本题考查基本不等式的应用和利用综合法与反正法证明不等式，考查了转化思 想，属于中档题． 第 21 页（共 21 页）