第 1 页 共 15 页 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(文科) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 7 i 3 4i (1) i是虚数单位,复数 ()17 31 17 25 A. 1i B. 1 i C. iD. i25 25 77x y 2 0, (2)设变量 x, y 满足约束条件 x y 2 0,则目标函数 z x 2y 的最小值为( )y 1. A.2 B. 3 C. 4 D. 5 3.已知命题 p :x 0,总有(x 1)ex 1,则p为 ()A. x0 0,使得(x0 1)ex0 1 B. x0 0,使得(x0 1)ex0 1 C. x0 0,总有(x0 1)ex0 1 D. x0 0,总有(x0 1)ex0 1 4.设 a log2 ,b log1 ,c 2 ,则( )2A. a b c an B. b a c D. c b a C. a c b 5.设 是首项为 a1 ,公差为 1的等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4,成等比数 列,则 a1 =( )1212A.2 B.-2 C. D . x2 y2 6.已知双曲线 1(a 0,b 0)的一条渐近线平行于直线 l : y 2x 10, 双曲线的 a2 b2 一个焦点在直线 l上,则双曲线的方程为( )x2 y2 x2 y2 3×2 3y2 3×2 3y2 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 520 20 525 100 100 25 7.如图, ABC 是圆的内接三角行, BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于 E,过点 B 的圆 的切线与 AD 的延长线交于点 F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分 CBF ;② FB2 FD FA ;③ AE CE BE DE ;④ AF BD AB BF .则所有正确结论的序号是 ()A.①② B.③④ C.①②③ D. ①②④ 第 1 页 共 15 页 第 2 页 共 15 页 8.已知函数 f (x) 3sinx cosx( 0), x R. 在曲线 y f (x) 与直线 y 1的交点 3中,若相邻交点距离的最小值为 ,则f (x)的最小正周期为( )22 3A. B. C. D. 2 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该 校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三 年级、四年级的本科生人数之比为 4 : 5: 5: 6,则应从一年级本科生中抽取 10.一个几何体的三视图如图所示(单位: ),则该几何体的体积为. m3 名学生. m11.阅读右边的框图,运行相应的程序,输出 S 的值为________. 12.函数 f x lg x3 的单调递减区间是________. 13.已知菱形 ABCD 的边长为 2,BAD 120 ,点 E,F分别在边 BC 、 DC 上, BC 3BE ,DC DF .若 AE AE 1,则 的值为________. 2x 5x 4, x 0 (14)已知函数 fx若函数 y f (x) a x 恰有 4 个零点,则实数 a 2 x 2 , x 0 第 2 页 共 15 页 第 3 页 共 15 页 的取值范围为_______ 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (15)(本小题满分 13 分) 某 校 夏 令 营 有3 名 男 同 学A, B,C 和 3 名 女 同 学X ,Y, Z , 其 年 级 情 况 如 下 表 : 现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同) (1)用表中字母列举出所有可能的结果 (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件 M 发生的概率. (16)(本小题满分 13 分) 6在ABC 中 , 内 角A, B,C 所 对 的 边 分 别 为a,b,c , 已 知a c b , 6sin B 6 sinC (1)求 cos A的值; (2)求 cos(2A )的值. 617、(本小题满分 13分) 如 图 , 四 棱 锥 的 底 面 分别是棱 是 平 行 四 边 形 , 的中点. ,,(1) 证明 (2) 若二面角P-AD-B为 ① 证明:平面PBC⊥平面 ABCD ② 求直线EF与平面 PBC所成角的正弦值. 平面 ;,18、(本小题满分 13分) 第 3 页 共 15 页 第 4 页 共 15 页 设椭圆 的左、右焦点分别为 ,,右顶点为 A,上顶点为 B.已 知=.(1) 求椭圆的离心率; (2) 设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB为直径的圆经过点 ,经过点 的直线 与该圆相切与点 M, = .求椭圆的方程. 19 (本小题满分 14分) 2已知函数 f (x) x2 ax3 (a 0), x R 3(1) 求f (x) 的单调区间和极值; (2)若对于任意的 x1 (2,),都存在 x2 (1,),使得 f (x1) f (x2 ) 1,求 a的取值范围 20(本小题满分14分) 已 知 q和n均 为 给 定 的 大 于 1的 自 然 数 , 设 集 合M 0,1,2q 1 , 集 合 A x x x1 x2q xnqn1, xi M ,i 1,2,n ,(1)当 q 2,n 3时,用列举法表示集合 A; 设s,t A, s a1 a2q anqn1,t b b2q bnqn1, 其 中ai ,b M ,i 1,2,n, 1i证明:若 an bn , 则 s t . 第 4 页 共 15 页 第 5 页 共 15 页 2014年天津高考文科数学试题逐题详解 (纯word解析版) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 7 i 【2014年天津卷(文 01)】 i是虚数单位,复数 3 4i 17 31 17 25 A.1i B.1 i C. iD. i25 25 77【答案】A 7 + i 3- 4i ( )( ))7 + i 25- 25i 【解析】 === 1- i 3+ 4i 3+ 4i 3- 4i 25 ()( x y 2 0 【2014年天津卷(文 02)】设变量 z x 2y 的最小值为 x、y满足约束条件 x y 2 0 ,则目标函数 y 1 A. 【答案】B 【解析】画出可行域,如图所示.解方程组 2B. 3C. 4D.5 x+y-2=0, y=1, x=1, y=1, 得即点 A(1,1). {{当目标函数线过可行域内 A 点时,目标函数有最小值,即 zmin=1×1+2×1=3. 【2014年天津卷(文 03)】已知命题 p:∀x>0,总有(x+1)ex>1,则¬p为( ) A.∃x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1 B.∃x0>0,使得(x0+1)ex0≤1 D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤1 【答案】B 【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知,¬p为∃x0>0,使得(x0+1)e ≤1, 第 5 页 共 15 页 第 6 页 共 15 页 【2014年天津卷(文 04)】设 a=log2π,b=log π,c=π﹣2,则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 【答案】C 【解析】log2π>1,log π<0,0<π﹣2<1,即 a>1,b<0,0<c<1,∴a>c>b 【2014年天津卷(文 05)】设{an}的首项为 a1,公差为﹣1的等差数列,Sn为其前 n项和, 若 S1,S2,S4成等比数列,则 a1=( ) A.2 B.﹣2 C. D. ﹣【答案】D 【解析】∵{an}是首项为 a1,公差为﹣1的等差数列,Sn为其前 n项和,∴S1=a1,S2=2a1﹣1 ,S4=4a1﹣6, 由 S1,S2,S4成等比数列,得: ,即 ,解得: 【2014年天津卷(文 06)】已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l上,则双曲线的方程为( ) A. B. ﹣ =1 ﹣ =1 C. D. ﹣=1 ﹣=1 【答案】A 【解析】令 y=0,可得 x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0),∴c=5, ∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10, ∴ =2,∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20,∴双曲线的方程为 ﹣ =1 第 6 页 共 15 页 第 7 页 共 15 页 【2014年天津卷(文 07)】如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点 D, 交 BC于 E,过点 B的圆的切线与 AD的延长线交于点 F,在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF. 所有正确结论的序号是( ) A.①② 【答案】D B.③④ C.①②③ D.①②④ 【解析】∵圆周角∠DBC对应劣弧 CD,圆周角∠DAC对应劣弧 CD,∴∠DBC=∠DAC. ∵弦切角∠FBD对应劣弧 BD,圆周角∠BAD对应劣弧 BD,∴∠FBD=∠BAF. ∵BD是∠BAC的平分线,∴∠BAF=∠DAC.∴∠DBC=∠FBD.即 BD平分∠CBF.即结 论①正确. 又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB. 由,FB2=FD•FA.即结论②成立.由 ,得 AF•BD=AB•BF.即结论④成 立【2014年天津卷(文 08)】已知函数 f(x)= sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,在曲线 y=f (x)与直线 y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为 ,则f(x)的最小正周期为( ) A. B. C.π D.2π 【答案】C 【解析】 ∵已知函数f(x)= sinωx+cosωx=2sin(ωx+ )(ω>0),x∈R, 在曲线 y=f(x)与直线 y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为 ,正好等于f (x)的周期的 倍, 设函数 f(x)的最小正周期为 T,则 =,∴T=π 第 7 页 共 15 页 第 8 页 共 15 页 二、填空题:本大题共 6小题,每小题 5分,共 30分. 【2014年天津卷(文 09)】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采 用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300的样本进行调查.已知 该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4 : 5: 5: 6,则应从一年级本科 生中抽取____名学生. 【答案】60 4【解析】由分层抽样的方法可得,从一年级本科生中抽取学生人数为 300× =60 4+5+5+6 【2014年天津卷(文 10)】一个几何体的三视图如图所示(单位: 为_________m3 m),则该几何体的体积 .20π 【答案】 31【解析】 由三视图可得,该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积V=π×12×4+ π× 320π 22×2= .3【2014年天津卷(文 11)】阅读如图的框图,运行相应的程序,输出 S的值为 . 第 8 页 共 15 页 第 9 页 共 15 页 【答案】-4 【解析】依题由框图知,第一次循环得到:S=﹣8,n=2;第二次循环得到:S=﹣4,n=1;退 出循环,输出﹣4 【2014年天津卷(文 12)】函数 f(x)=lgx2的单调递减区间是 【答案】(﹣∞,0) . 【解析】 方法一:y=lgx2=2lg|x|,∴当 x>0时,f(x)=2lgx在(0,+∞)上是增函数; 当 x<0时,f(x)=2lg(﹣x)在(﹣∞,0)上是减函数. ∴函数 f(x)=lgx2的单调递减区间是(﹣∞,0). 方法二:原函数是由 复合而成,∵t=x2在(﹣∞,0)上是减函数,在(0 ,+∞)为增函数; 又 y=lgt在其定义域上为增函数,∴f(x)=lgx2在(﹣∞,0)上是减函 数,在(0,+∞)为增 ,0) 函数,∴函数 f(x)=lgx2的单调递减区间是(﹣∞ 【2014年天津卷(文 13)】已知菱形 ABCD的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F分别在边 BC, DC上,BC=3BE,DC=λDF、若 • =1,则λ的值为 . 【答案】2 【解析】∵BC=3BE,DC=λDF,∴ = , = ,第 9 页 共 15 页 第 10 页 共 15 页 = + = + = + , = + = + = + ,∵菱形 ABCD的边长为 2,∠BAD=120°,∴| |=| |=2, • =2×2×cos120° =﹣2, ∵ • =1,∴( + )•( + )= ++(1+ ) • =1 ,即 ×4+ ×4﹣2(1+ )=1,整理得 ,解得λ=2 【2014年天津卷(文 14)】已知函数 f(x)= 恰有 4个零点,则实数 a的取值范围为 . ,若函数 y=f(x)﹣a|x| 【答案】(1,2) 【解析】由 y=f(x)﹣a|x|=0得 f(x)=a|x|,作出函数 y=f(x),y=a|x|的图象, 当 a≤0,不满足条件,∴a>0, 当 a=2时,此时 y=a|x|与 f(x)有三个 交点, 当 a=1时,此时 y=a|x|与 f(x)有五个 交点, ∴要使函数 y=f(x)﹣a|x|恰有 4个零点,则 1<a<2 三、解答题:本大题共 6小题,共 80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 【2014年天津卷(文 15)】(本小题满分 13分) 某校夏令营有 3名男同学,A、B、C和 3名女同学 X,Y,Z,其年级情况如表: 一年级 二年级 三年级 男同学 女同学 AXBYCZ现从这 6名同学中随机选出 2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同) (Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果; 第 10 页 共 15 页 第 11 页 共 15 页 (Ⅱ)设 M为事件“选出的 2人来自不同年级且恰有 1名男同学和 1名女同学”,求事件 M 发生的概率. 解:(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果有:(A,B)、(A,C)、(A,X)、(A,Y )、(A,Z)、 (B,C)、(B,X)、(B,Y)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y)、(C,Z)、( X,Y)、(X,Z )、(Y,Z) 共计 15个结果. (Ⅱ)设 M为事件“选出的 2人来自不同年级且恰有 1名男同学和 1名女同学”, 则事件 M包含的结果有:(A,Y)、(A,Z)、(B,X)、(B,Z)、(C,X)、 (C,Y),共计 6个结果, 故事件 M发生的概率为 = 【2014年天津卷(文 16)】(本小题满分 13分) 在△ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知 a﹣c= b,sinB= sinC, (Ⅰ)求 cosA的值; (Ⅱ)求 cos(2A﹣ )的值. 解:(Ⅰ)将 sinB= sinC,利用正弦定理化简得:b= c,代入 a﹣c= b,得:a﹣c=c ,即 a=2c, ∴cosA= ==;(Ⅱ)∵cosA= ,A为三角形内角,∴sinA= ∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣ ,sin2A=2sinAcosA= 则 cos(2A﹣ )=cos2Acos +sin2Asin =﹣ × + =,,× = 【2014年天津卷(文 17)】(本小题满分 13分) 如图,四棱锥 P﹣ABCD的底面 ABCD是平行四边形,BA=BD= ,AD=2,PA=PD= ,E,F分 别是棱 AD,PC的中点. (Ⅰ)证明 EF∥平面 PAB; (Ⅱ)若二面角 P﹣AD﹣B为 60°, (i)证明平面 PBC⊥平面 ABCD; (ii)求直线 EF与平面 PBC所成角的正弦值. 第 11 页 共 15 页 第 12 页 共 15 页 解:(Ⅰ)证明:连结 AC,AC∩BD=H,∵底面 ABCD是平行四边形,∴H为 BD中点, ∵E是棱 AD的中点.∴在△ABD中,EH∥AB, 又∵AB⊂平面 PAB,EH⊄平面 PAD,∴EH∥平面 PAB.同理可证,FH∥平面 PAB. 又∵EH∩FH=H,∴平面 EFH∥平面 PAB,∵EF⊂平面 EFH,∴EF∥平面 PAB; (Ⅱ)(i)如图,连结 PE,BE.∵BA=BD= ,AD=2,PA=PD= ,∴BE=1,PE=2. 又∵E为 AD的中点,∴BE⊥AD,PE⊥AD, ∴∠PEB即为二面角 P﹣AD﹣B的平面角,即∠PEB=60°,∴PB= .∵△PBD中,BD2+PB2=PD2,∴PB⊥BD,同理 PB⊥BA,∴PB⊥平面 ABD, ∵PB⊂平面 PBC,∴平面 PAB⊥平面 ABCD; (ii)由(i)知,PB⊥BD,PB⊥BA,∵BA=BD= ,AD=2,∴BD⊥BA, ∴BD,BA,BP两两垂直, 以 B为坐标原点,分别以 BD,BA,BP为 X,Y,Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系 B ﹣DAP, 则有 A(0, ,0),B(0,0,0),C( ,﹣ ,0),D( ,0,0),P(0, 0, ), ∴ =( ,﹣ ,0), =(0,0, ), 设平面 PBC的法向量为 ,∵ ,∴ ,令 x=1, 则 y=1,z=0, 第 12 页 共 15 页 第 13 页 共 15 页 故 =(1,1,0),∵E,F分别是棱 AD,PC的中点,∴E( ,,0),F( ,﹣ ,), ∴ =(0, ,),∴ ===﹣ ,即直线 EF与平面 PBC所成角的正弦值为 【2014年天津卷(文 18)】(本小题满分 13分) 设椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,右顶点为 A,上顶点为 B,已知|AB|= |F1F2|. (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB为直径的圆经过点 F1,经过点 F2的直线 l与该圆相切于点 M,|MF2|=2 ,求椭圆的方程. 解:(Ⅰ)依题意可知 e= = = •2c,∵b2=a2﹣c2,∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2,∴a2=2c2,∴ .(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a2=2c2,∴b2=a2﹣c2=c2,∴椭圆方程为 + =1,B(0,c),F1(﹣ c,0) 设 P点坐标( csinθ,ccosθ),圆心为 O∵PB为直径,∴BF1⊥PF1, 第 13 页 共 15 页 第 14 页 共 15 页 ∴k•BF1kPF1= • =﹣1,求得 sinθ=﹣ 或 0(舍去), 由椭圆对称性可知,P在 x轴下方和上方结果相同,只看在 x轴上方时, cosθ= = ∴P坐标为(﹣ c, c),∴圆心坐标为(﹣ c, c), ∴r=|OB|= = c,|OF2|= =c, ∵r2+|MF2|2=|OF2|2,∴ +8= c2,∴c2=3,∴a2=6,b2=3,∴椭圆的方程为 + =1 【2014年天津卷(文19)】(本小题满分14分) 已知函数 f(x)=x2﹣ ax3(a>0),x∈R. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对于任意的 x1∈(2,+∞),都存在 x2∈(1,+∞),使得 f(x1)•f(x2)=1, 求 a的取值范围. 解:(Ⅰ)f′(x)=2x﹣2ax2=2x(1﹣ax), ∵a>0,∴当 x<0或 x 时,f′(x)<0,当 时,f′(x)>0, ,单调递增区间为 f(x)单调递减区间为:(﹣∞,0)和 ,当 x=0时,有极小值 f(0)=0,当 x= 时,有极大值 f( )= ;(Ⅱ)由 f(0)=f( )=0及(Ⅰ)知,当 x∈(0, )时,f(x)>0;当 x∈( +∞)时,f(x)<0. ,设集合 A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合 B={ |x∈(1,+∞),f(x)≠0}, 则对于任意的 x1∈(2,+ ∞),都存在 x2∈(1,+∞),使得 f(x1)•f(x2)=1,等价 于 A⊆B,显然 A≠∅ 第 14 页 共 15 页 第 15 页 共 15 页 下面分三种情况讨论: (1)当 >2,即 0<a< 时,由f( )=0可知,0∈A,而 0∈B,∴A不是 B的子集; (2)当 1≤ ≤2,即 (﹣∞,f(2)),∴A 时,f(2)≤0,且 f(x)在(2,+∞)上单调递减,故 A= ⊆(﹣∞,0);由 f(1)≥0,有 f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(﹣∞,0),即 (﹣∞,0)⊆B,∴A⊆B; (3)当 <1,即 a> 时,有f(1)<0,且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,故 B=( ,0),A=(﹣∞, f(2)),∴A不是 B的子集.综上,a的取值范围是[ ]【2014年天津卷(文 20)】(本小题满分 14分) 已知 q和 n均为给定的大于 1的自然数,设集合 M={0,1,2,…,q﹣1},集合 A={x|x=x1+x2q+ …+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}. (Ⅰ)当 q=2,n=3时,用列举法表示集合 A; (Ⅱ)设 s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中 ai,bi∈M,i=1,2,… ,n.证明:若 an<bn,则 s<t. (Ⅰ)解:当 q=2,n=3时,M={0,1},A={x| 可得 A={0,1,2,3,4,5,6,7}. ,xi∈M,i=1,2,3}. (Ⅱ)证明:由设 s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中 ai,bi∈M,i=1 ,2,…,n.an<bn, ∴an﹣bn≤﹣1.可得 s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+… ++≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1] =<0. ∴s<t 第 15 页 共 15 页
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