甘肃省武威市、定西市、平凉市、酒泉市、庆阳市2021年中考数学试卷（解析版）

甘肃省武威市 2021 年中考数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个正确选项． 1. 3 的倒数是（）1313A. B. C. D. 33 C【答案】【解析】【详解】根据倒数的定义可知． 3解：的倒数是主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，没有倒数．．01倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数． 2. 2021 年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛，创新发展拓荒牛，艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（）A. B. C. D. B【答案】【解析】【分析】结合轴对称图形的定义即可求解．【详解】解：A：不符合轴对称图形的定义，不合题意； B：符合轴对称图形的定义，符合题意； C：不符合轴对称图形的定义，不合题意； D：不符合轴对称图形的定义，不合题意；故答案是：B．【点睛】本题考察轴对称图形的定义，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握轴对称图形的定义，即当一个平面图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形． 3. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 4 5 5  4 3  2  6 32  8  4 3  3  3 C【答案】【解析】【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案．【详解】，故A 错； 3  3  2 3 ，故 B 错； 4 5 5  3 5 ，C 正确； 3  2  6 ，故 D 错． 32  8  2 故选：C．【点睛】此题考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键． 4. 中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止 2021 年 3 月底，我国已无偿向 80 个国家和 3 个国际组织提供疫苗援助．预计 2022 年中国新冠疫苗产能有望达到 50 亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50 亿”用科学记数法表示为（）5108 5109 50108 51010 A. B. C. D. B【答案】【解析】【分析】结合科学计数法的表示方法即可求解． 9【详解】解：50 亿即 5000000000，故用科学计数法表示为故答案是：B．，510 【点睛】本题考察科学计数法的表示方法，难度不大，属于基础题。解题关键即掌握科学计数法的表示方 n1 a 10 ，n 为整数．此外熟记常用的数量单位，如万即是法，科学计数法的表示形式为 4 ，亿即是 8 等．，其中 a  10 10 5. 10 y  5x 将直线向下平移 2 个单位长度，所得直线的表达式为（）y  5x  2 y  5x  2 y  5 x  2 y  5 x  2 A. B. C. D. A【答案】【解析】【分析】只向下平移，让比例系数不变，常数项减去平移的单位即可． y  5x-2 y  5x 【详解】解：直线向下平移 2 个单位后所得直线的解析式为故选:A 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数上下平移的规则“上加下减”在常数项．函数左右平移的规则“左加右减”在自变量，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键． DE//BF, RtABC 6. 如图，直线的顶点 B在上，若，则 ADE  （）CBF  20 BF A. B. C. D. 70 60 75 80 A【答案】【解析】【分析】先求出 CBF 的余角∠ABF，利用平行线性质可求∠ADE．【详解】解：∵ ，RtABC CBF  20 ∴∠ABC=90°，∠ABF=90°-∠CBF=90°-20°=70°， ∵DE//BF ，∴∠ADE=∠ABF=70°．故选择 A．【点睛】本题考查余角性质，平行线性质，掌握余角性质，平行线性质是解题关键． A, B,C, D, E AB  CD,AOB  42 7. O 如图，点在上，，则 CED  （）A. 48 B. C. D. 24 21 22 D【答案】【解析】 【分析】先证明再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案． AB  CD, A, B,C, D, E 在AB  CD,AOB  42 O 【详解】解：点上，， AB  CD, 11CED  AOB  42  21, 22故选： D. 【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键． 8. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每 3 人坐一辆车，那么有 2 辆空车；如果每 2 人坐一 yx辆车，那么有 9 人需要步行，问人与车各多少?设共有人，辆车，则可列方程组为（）3(y  2)  x 2y 9  x 3(y  2)  x 2y  9  x 3(y  2)  x 2y  9  x 3(y  2)  x 2y  x  9 A. B. C. D. C【答案】【解析】 yx3 y  2  x, 【分析】设共有人，辆车，由每3 人坐一辆车，有 2 辆空车，可得 由每 2 人坐一辆车， 2y  9  x, 有 9 人需要步行，可得：从而可得答案． y【详解】解：设共有人，辆车，则 x3(y  2)  x 2y  9  x C. 故选：【点睛】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键． aba  b 2  3 a,b a,b 为“相随数对”，记为 9. 对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数 23a,b m,n 3m  2[3m  2n 1 ]  ．若 是“相随数对”，则 （）A. B. C. 2 D. 3 2 1 A【答案】【解析】 3m  2[3m  2n 1 ] 【分析】先根据新定义，可得 9m+4n=0，将整式 去括号合并同类项化简得9m  4n  2 ，然后整体代入计算即可． m,n 是“相随数对”，【详解】解：∵ mnm  n 2  3 ∴，23整理得 9m+4n=0， 3m  2[3m  2n 1 ]  3m  6m  4n  2  9m  4n  2  2 ．故选择 A．【点睛】本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键． AB  BC, BD  AC D AD BD 10. 如图 1，在ABC 中，于点 ．动点 A从点出发，沿折线 My, y x与的函数图象如图 x,AMD 方向运动，运动到点停止．设点 C的运动路程为的面积为 AB  BC M2，则的长为（）AC A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 B【答案】【解析】 MB，点运动到点位置时， y=3 ，结【分析】从图象可知，的面积达到最大值的长． AMD AB  BC  13 AC 合等腰三角形的“三线合一”的性质、三角形的面积公式和勾股定理可求得 M【详解】解：根据函数图象可知，点的运动路程 M B 运动到点的位置时，，点 x  AB  BC  2 13 y3的面积达到最大值，即 3的面积为． AMD ABD ∵AB  BC，BD  AC， 1∴∴∴AB  BC  13，AC  2AD， AD·BD  3． 22222．AD  BD  AB  13 13，2AD·BD 12 222，即： AD  BD  25 ，AD  2AD·BD  BD 1312  25 222，即： AD  BD 1 ．AD  2AD·BD  BD 1312 1 ∵∴，AD  BD ．AD  BD  5，AD  BD 1 2=6 两式相加，得， AD ．∴=2 =AC AD6．选故：B 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等式的性质与恒等变形、函数图象等知识点，从函数图象中获取相应的信息，利用勾股定理和三角形的面积公式，进行等式的恒等变形是解题的关键．二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分． 211. ___________ 因式分解：．4m  2m  2m 2  m 【答案】【解析】 【分析】先确定 2 的公因式为，再利用提公因式分解因式即可得到答案． 2m 4m  2m 4m  2m2  2m 2  m . 【详解】解： 2m 2  m 故答案为： 【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的确定是解题的关键． 1312x关于的不等式 12. x 1 的解集是___________． 9x  【答案】【解析】 2【分析】先去分母，再移项，最后把未知数的系数化“ ”，即可得到不等式的解集． 11312x 1 【详解】解： 3, ＞去分母得： 2x  6 2x  9, 移项得： 9x  29x  故答案为： 2【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解不等式的方法是解题的关键． 2x已知关于的方程 m13. 有两个相等的实数根，则的值是_____.． x  2x  m  0 【答案】1 【解析】 2﹣∴△=0 ∴4 4m=0 有两个相等的实数根，，， ∵x【详解】试题分析：关于的一元二次方程 x  2x  m  0 ∴m=1 1 ，故答案为．考点：根的判别式． 14. 开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续 14 天进行了体温测量，结果统计如下表：体温（）36.3 236.4 36.5 336.6 436.7 136.8 1℃天数（天） 3____________ 这 14 天中，小芸体温的众数是【答案】36.6 ．℃【解析】【分析】根据众数的定义就可解决问题．【详解】根据表格数据可知众数是 36.6℃，故答案为：36.6．【点睛】本题主要考查了众数的求解，正确理解众数的意义是解决本题的关键． AED  90,EAD  30, F 15. 如图，在矩形，则中，是BC 边上一点，是边的中点， ABCD EAD cm ________ ．EF  4cm BE  【答案】6 【解析】 AD, AE, BE 【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解再利用锐角三角函数依次求解即可得到答案． AED  90, 【详解】解：是边的中点，，EF  4cm FAD  AD  2EF  8, DAE  30, 3 AE  cos30 AD  8  4 3, 2矩形，ABCD  AD//BC,ABE  90, AEB  DAE  30, 3BE  AEcos30  4 3  6. 2故答案为： 6. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键． a2 1 A 3, y , B 4, y y y 的图象上，则 ____ 2 （填“>”或“<”或“=”） 116. 若点 1  2  在反比例函数 y  x【答案】【解析】 a2 1 yx随的增大而减小，再利用反比例函【分析】先确定的图像在一，三象限，且在每一象限内， y  x数的性质可得答案． 20, ＞【详解】解： a 1 a2 1 yx随的增大而减小， 的图像在一，三象限，且在每一象限内， y  x4, ＞3 ∴ y1 y , ＜2故答案为：【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握利用反比例函数的图像与性质比较函数值的大小是解题的关键． 17. 如图，从一块直径为 4dm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为 90 2_____ ．dm 【答案】【解析】 2 AB, AC, 再利用扇形面积公式计算即可【分析】如图，连接得到答案．证明为圆的直径，再利用勾股定理求解 AB AB, 【详解】解：如图，连接 ACB  90，为圆的直径， AB  4，  AB  AC2  BC2  AB2 , AC  BC,  AC  BC  2 2, 290  2 2 S= =2. 360 故答案为： 2. 【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．一组按规律排列的代数式： a  2b,a2  2b3,a3  2b5 ,a4  2b7 ，…，则第个式子是___________． n18. n1 na  1 2b2n1 【答案】【解析】 b【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中 a 的次数是式子的序号；第二项中的次数是序 21号的倍减，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．【详解】解：当为奇数时， 1 n1 1 ；∵n当 n 为偶数时， 1 n1  1 ，n1 第 n 个式子是： an  1 ·2b2n1 ．∴n1 故答案为： an  1 ·2b2n1 【点睛】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．三、解答题：本大题共 5 小题，共 26 分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 119. (2021 )0  ( )1  2cos45 计算：．2【答案】【解析】 3 2 【分析】先进行零指数幂和负整数指数幂，余弦函数值计算，再计算二次根式的乘法，合并同类项即可． 1(2021 )0  ( )1  2cos45 【详解】解：，22，1 2  2 2． 3 2 【点睛】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，特殊角三角函数值，掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则，特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 2x x2  4 x  2 x2  4x  4 x  4 ．20. 先化简，再求值：，其中 (2  )  423, 【答案】【解析】 x  2 【分析】小括号内先通分计算，将除法变成乘法并因式分解，根据乘法法则即可化简，再代值计算即可． 2x  4 2x (x  2)2 x  2 x  2 (x  2)(x  2)  ( ) 【详解】解：原式 4 x  2 x  2 x  2 4  x  2 423x  4     当时，原式．4  2 【点睛】本题考察分式的化简求值，难度不大，属于基础题型．解题的关键在于熟悉运算法则和因式分解． 21. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图， 已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． AB AB,C （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： D, AC AD,CD ；①作线段的垂直平分线，分别交于点于点于点，连接 EAC DE AB F, A DF, BD, BF ．②以点为圆心， D长为半径作弧，交（两点不重合），连接 DA FAB BC, BF （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） BC  BF 【解析】 1A,C AC 【分析】（1）①分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即DE 2可得到答案，②按照语句依次作图即可； DA  DC  DF, DBC  DBF, DFB  DCB, DCB≌DFB, （2）由作图可得：再证明再证明从而可得结论． AD,CD ；【详解】解：（1）作出线段的垂直平分线，连接 AC DE DF, BD, BF ，如图示：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接 FDDA AB （2）结论： BC  BF ．理由如下： DA  DF, 由作图可得：是的垂直平分线， AC DE DA  DC  DF, DAC  DCA, AD  FD, DBC  DBF, 四边形是圆的内接四边形， ABFD DAB  DFB 180, DCA DCB 180, DFB  DCB, DB  DB, DCB≌DFB, BC  BF. 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键． 22. 如图 1 是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535 年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： A, B A, D, B 的度数（ CAD 方案设计：如图 2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和CD CBD 在同一条直线上）． A, B 58m,CAD  42,CBD  58 数据收集：通过实地测量：地面上问题解决：求宝塔两点的距离为．的高度（结果保留一位小数）． CD sin 42  0.67,cos42  0.74, tan 42  0.90 参考数据：，sin58  0.85,cos58  0.53, tan58 1.60 ．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．【答案】33.4m 【解析】 x，再利用锐角三角函数用含的代数式表示 AD, BD, 再列方程，解方程可得答案．【分析】设 CD  xm QCD  AB, 【详解】解：设，CD  xm CD xxAD  在在中，，，Rt△ACD Rt△CBD tan CAD tan 42 0.9 CD tan CBD tan58 1.6 xxBD  中，  AD  BD  AB, xx 58 ，0.9 1.6 125x  4176, 解得， x  33.4 ．答：宝塔的高度约为33.4m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关系是解题的关键． 23. 一个不透明的箱子里装有 3 个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于 0.75 左右．（1）请你估计箱子里白色小球的个数；（2）现从该箱子里摸出 1 个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出 1 个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）． 3【答案】（1）1 个；（2） 8【解析】【分析】（1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为 0.75，再利用概率公式列方程，解方程可得答案；（2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．【详解】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.75 左右， ∴估计摸到红球的概率为 0.75， 3x设白球有个，依题意得  0.75 3 x 解得，．x 1 经检验：是原方程的解，且符合题意， x 1 所以箱子里可能有 1 个白球；（2）列表如下：红1 红 2 红 3 白红1 红 2 红 3 （红1 ，红1 ）（红 2 ，红1 ）（红 3 ，红1 ）（白，红1 ）（红1 ，红 2 ）（红 2 ，红 2 ）（红 3 ，红 2 ）（白，红 2 ）（红1 ，红）（红 2 ，红）（红 3 ，红 3 ）（白，红）（红1 ，白）（红 2 ，白）（红 3 ，白）（白，白）白或画树状图如下： ∵一共有 16 种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：（红1 ，白）、（红 2 ，白）、（红 3 ，白）、（白，红1 ）、（白，红 2 ）、（白，红 3 ）共 6 种． 638∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率．16 【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握实验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌握列表与画树状图的方法是解题的关键．四、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 24. 为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛， A, B,C, D, E 竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成的统计图．请结合统计图，解答下列问题：五个等级，并绘制了如下不完整等级 A成绩 50  x  60 60  x  70 70  x  80 80  x  90 90  x 100 BCDEm  （1）本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中（2）补全学生成绩频数分布直方图； __________；（3）所抽取学生成绩的中位数落在________等级；（4）若成绩在 80 分及以上为优秀，全校共有 2000 名学生，估计成绩优秀的学生有多少人? 【答案】（1）200，16；（2）见解析；（3）；（4）940 人 C【解析】【分析】（1）B 等级人数 40 人÷B 等级的百分比为 20%，利用抽查人数-其它各组人数即可；（2） C 等级 200×25%=50 人，m=16 即可补全频率分布直方图：（3）根据中位数定义即可求即；（4）成绩 80 分以上的在 D、E 两等级中人数占抽样的百分比 47%乘以学生总数即可．【详解】解：（1）B 等级人数 40 人，由扇形图可知 B 等级的百分比为 20%， ∴本次调查一共随机抽取了 40÷20%=200 名学生的成绩，C 等级 200×25%=50 人 ∴m=200-40-50-70-24=16 故答案为：200，16；（2） C 等级 200×25%=50 人，m=16, 补全频率分布直方图如图所示：（3）频率分布直方图已将数据从小到大排序，一共抽查 200 个数据，根据中位数定义中位数位于第 100，101 两位置上成绩的平均数，16+40=56 100，16+40+50=106 101, ∴中位数在等级内； C故答案为：C （4）成绩 80 分以上的在 D、E 两等级中人数为：70+24=94 人，占抽样的百分比为 94÷200×100%=47%，的全校共有 2000 名学生，成绩优秀学生有200047%  940 （人）．答：全校 2000 名学生中，估计成绩优秀的学生有 940 人．【点睛】本题考查频率分布直方图和扇形图获取信息，样本容量，补画频率分布直方图，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数目等知识，熟练掌握上述知识是关键． 25. 如图 1，小刚家，学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完 y m 书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离  与他所用的时间 x min 的函数关系如图 2 所示． m（1）小刚家与学校的距离为___________ ，小刚骑自行车的速度为________ ；m/min yx与的函数表达式；（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，（3）小刚出发 35 分钟时，他离家有多远? y  200x  9000 20 x  45 ；（3） 2000m 【答案】（1）3000，200；（2） 【解析】【分析】（1）从起点处为学校出发去处为图书馆，可求小刚家与学校的距离为 3000m，小刚骑自行车匀速行驶 10 分钟，从 3000m 走到 5000m 可求骑自行车的速度即可；（2）求出从图书馆出发时的时间与路程和回到家是的时间与路程，利用待定系数法求解析式即可；（3）小刚出发 35 分钟，在返回家的时间内，利用函数解析式求出当时，函数值即可． x  35 【详解】解：（1）小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，从起点 3000m 处为学校出发去 5000m 处为图书馆， ∴小刚家与学校的距离为 3000m，小刚骑自行车匀速行驶 10 分钟，从 3000m 走到 5000m，行驶的路程为 5000-3000=2000m，骑自行车的速度为 2000÷10=200m/min，故答案为：3000，200； 5000  200  25 min （2）小刚从图书馆返回家的时间： 25 20  45 min ．总时间：设返回时 ．yxy  kx  b ，与的函数表达式为 20k  b  5000 45k  b  0 20,5000 , 45,0   把代入得：，k  200 b  9000 解得，， y  200x  9000 20 x  45 ．（3）小刚出发 35 分钟，即当 y  20035 9000  2000 时， x  35 ，答：此时他离家．2000m 【点睛】本题考查从函数图像中获取信息，求距离，自行车行驶速度，利用待定系数法求返回时解析式，用行驶的具体时间确定函数值解决问题，掌握从函数图像中获取信息，求距离，自行车行驶速度，利用待定系数法求返回时解析式，用行驶的具体时间确定函数值解决问题是解题关键． O, D 26. O 如图，ABC 内接于是的直径的延长线上一点， DCB  OAC ．过圆心 O作BC AB 的平行线交的延长线于点．DC EO （1）求证：是的切线； CD CD  4,CE  6 O （2）若，求的半径及的值； tan OCB 【答案】（1）见解析；（2）半径为 3， tanOCB  2 【解析】 O OCD  90 ，结合直径所对圆周角是【分析】（1）证明是的半径，即证明、等腰△OAC 和 OC 90 已知 OAC  OCA即可求解； EC OC tan OCB  tan EOC= （2）由（1）中结论和 BC∥OE 可知，，再由 CD、CE 和平行线分线段成比例，即可找到 BD、OB、BC、OE 的关系，最后利用 Rt△OCD 三边的勾股定理即可求解． OA  OC, 【详解】（1）证明：如图，，OAC  OCA DCB  OAC OCA  DCB ，，Q AB O 是的直径， ACB  90 ，，OCA OCB  90 OCD  90 DCB  OCB  90，即，，OC  DC O O 又是的半径，的切线． OC CD 是BC∥OE, （2） BD CD BD 462，即，则，OB CE OB 3OB  OC  3x,OD  OB  BD  5x BD  2x ∴设，OC  DC, OC2  CD2  OD2 (3x)2  42  (5x)2 OC  3x  3．即 BC∥OE, x 1 ，解得，，O 的半径为 3，，OCB  EOC EC 6tan EOC   2 在RtOCE 中，，OC 3tan OCB  tan EOC  2 ．【点睛】本题考查圆切线的证明、平行线分线段成比例、勾股定理和锐角三角函数，属于中档几何综合题，解题的关键在于直径所对圆周角是直角和方程思想． E, F AB, BC DE  AF, DE  AF 27. 问题解决：如图 1，在矩形中，点分别在边上， G于点． ABCD （1）求证：四边形是正方形； ABCD （2）延长到点 H，使得，判断的形状，并说明理由． CB BH  AE △AHF E, F AB, BC 边上，类比迁移：如图 2，在菱形中，点分别在与DE AF 相交于点 G，ABCD DE  AF,AED  60, AE  6, BF  2 ，求的长． DE 【答案】问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8 【解析】【分析】问题解决：（1）证明矩形 ABCD 是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和DE  AF DAE  90可知 BAF  ADG ，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即 ABF≌DAE AB  AD 可求解；（2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得 AE  BF BH  AE △ABH≌△DAE 是等腰三角形；类比迁移：由前面问题的结论想到延长 △AHF 到点 H，使得 BH  AE  6 ，结合菱形的性质，可以得到 CB AED  60 ，再结合已知可得等边，最后利用线段BF 长度即可求解． ABH≌DAE AHF 【详解】解：问题解决：（1）证明：如图 1，∵四边形是矩形， ABCD ABC  DAB  90 BAF  GAD  90 ．．DE  AF,ADG  GAD  90 ． BAF  ADG ． AF  DE,ABF≌DAE, AB  AD 又．∴矩形是正方形． ABCD （2）是等腰三角形．理由如下： △AHF  AB  AD,ABH  DAE  90, BH  AE ，ABH≌DAE, AH  DE ．DE  AF, AH  AF 又，即是等腰三角形． △AHF 类比迁移：如图 2，延长到点 H，使得 BH  AE  6 ，连接．CB AH ∵四边形是菱形， ABCD  AD∥BC, AB  AD,ABH  BAD ．BH  AE,ABH≌DAE ． AH  DE,AHB  DEA  60 ．DE  AF, AH  AF 又．AHB  60,AHF 是等边三角形，， AH  HF DE  AH  HF  HB  BF  6  2  8 ．【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 128. y  x2  bx  c A 0,2 ,B 4,0 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于 两点，直线 2yxBC : y  2x 8 G, DG 交轴于点．点为直线 C下方抛物线上一动点，过点作D轴的垂线，垂足为 DAB BC, AB E, F ．分别交直线于点 1y  x2  bx  c （1）求抛物线的表达式； 212GF  （2）当（3）① ，连接，求的面积； BDF BD yH是轴上一点，当四边形 H是矩形时，求点的坐标； BEHF ②在①的条件下，第一象限有一动点 P，满足 PH  PC  2 ，求周长的最小值． △PHB 133y  x2  x  2 H 0,3 ；② 【答案】（1）；（2）；（3）① 4 5 7 422【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出答案．（2）由题意可求出，OA  2 ．利用三角函数可知在和RtBOA RtBGF 中， OB  4 OA GF tan ABO  ，由此即可求出GB 1，从而可求出．即可求出 D 点坐标，继而求出 OG  3 OB GB 1GF  GD  2 ．再根据，即可求出 FD 的长，最后利用三角形面积公式即可求出最后答案． 211HF  BC 的于点．根据矩形性质可知 BN  NH  BH  EF （3）①连接，交，．由 NBH EF 22BG BE BF CH BF HF  BC 1 1 可推出 EF ∥ AC，．由，可推出．再根据直线 BC 的解析 OG CE AF AH AF 式可求出 C 点坐标，即可得出 OC 的长，由此可求出 AC 的长，即可求出 CH 的长，最后即得出 OH 的长，即可得出 H 点坐标． C PH  PB  HB ②在中，利用勾股定理可求出的长，再根据结合 PH  PC  2 可推，即要使 PHB 最小，就要 PC  PB 最小，由题意可知当点 BC 上时，的长，即得出 RtOBH HB PHB C PC  PB  7 C出P在PHB BC 长即可．在中，利用勾股定理求出 BC PC  PB  BC 为最小．即求出周长的最小值为 RtOBC △PHB ．BC  7 1y  x2  bx  c A 0， 2 ，B 4，0 【详解】解：（1）∵抛物线过两点， 2c  2 ，8 4b  c  0 32b   解得，，c  2 13 y  x2  x  2 ．22B 4，0 ，（2） ．OB  4 同理，OA  2 ．又GF  x 轴，轴， OA  x 1OA GF 24tan ABO  ∴在和RtBOA RtBGF 中，，即，2GB OB GB GB 1，．OG  OB GB  4 1 3 13y  32  3 2  2 当x  3时，，D22D 3， 2 ，即GD  2 ．132FD  GD GF  2   ，211 3 34SBDF  FD BG   1 ．22 2 （3）①如图，连接，交于点．NBH EF ∵四边形是矩形， BEHF 1EF  BH，BN  NH  BH ．2又，EF ∥ AC， BN BF 1 ∴，NH AF BG BE BF 1 ．OG CE AF ∵四边形是矩形， BEHF ．HF ∥BC CH BF 1 ，AH AF y  8 ∵当 x=0 时，，C∴OC  8  AC  OC  AO  8 2 10 CH  5 ，，，OH  OC CH  85  3 H 0，3 ，．2222②在中，．，RtOBH HB  OH  OB  3  4  5 PH  PC  2 CPHB  PH  PB  HB  PC  2  PB  5  PC  PB  7 C∴要使 PHB 最小，就要 PC  PB 最小． PC  PB  BC ，∴当点 P在BC 上时， PC  PB  BC 为最小． 2222在中，．RtOBC BC  OC  OB  8  4  4 5 周长的最小值是．PHB 4 5 7 【点睛】本题为二次函数综合题．考查二次函数的图象和性质，解直角三角形，一次函数的图象和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，三角形三边关系以及勾股定理等知识，综合性强，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．