江苏省连云港市2021年中考数学真题（解析版）

2021 年江苏省连云港市中考数学试卷一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. A. 相反数是（）3 1313B. C. D. 33 D【答案】【解析】【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数称为相反数．【详解】解：的相反数是 3． 3 故选：D．【点睛】本题考查了相反数的意义．只有符号不同的两个数为相反数，0 的相反数是 0． 2. 下列运算正确的是（）5a2  2b2  3 A. B. D. 3a  2b  5ab 2x 1  x2 1 2x 7a  a  7a2 C. D【答案】【解析】【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案． 2b 【详解】解：A，与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； 3a B， 2 与 2 不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意； 2b 5a C，合并同类项后 2 ，故选项错误，不符合题意； 7a  a  8a  7a 222D，完全平方公式：故选：D．，故选项正确，符合题意； x 1  x  2x 1 x 1 2x 【点睛】本题考查了代数式的运算，同类项合并及完全平方差公式，解题的关键是：掌握相关的运算法则． 3. 2021 年 5 月 18 日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口数据，其中连云港市的常住人口约为 4600000 人．把“4600000”用科学记数法表示为（）0.46107 4.6106 46105 4.6 107 A. B. C. D. C【答案】【解析】 n【分析】根据公式（n 为正整数）表示出来即可． 1 a 10， a  10 6【详解】解：4600000= 故选：C． 4.610 n【点睛】本题主要考查了科学记数法，关键是根据公式出来．（n 为正整数）将所给数据表示 1 a 10， a  10 4. 正五边形的内角和是（）A. B. C. D. 360 540 720 900 B【答案】【解析】 n  2 180 【分析】n 边形的内角和是 ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．【详解】（5﹣2）×180°=540°．故选 B．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容． DCED 1 的位置，的延长线交BC 15. 如图，将矩形纸片沿折叠后，点 D、C 分别落在点、于ABCD EF 1点 G，若，则等于（）EFG  64 EGB A. 128 【答案】【解析】 B. 130 C. D. 132 136 A【分析】由矩形得到 AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由与折叠的性质得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形的外角性质求出答案即可．【详解】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD//BC， ∵矩形纸片沿折叠， ABCD EF ∴∠DEF=∠GEF，又∵AD//BC， ∴∠DEF=∠EFG， ∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64︒， ∵∴是△EFG 的外角， EGB EGB =∠GEF+∠EFG=128︒ 故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相等，由三角形外角的性质求解． 6. 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征． (1,1) 甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y 随 x 的增大而增大． x  0 则这个函数表达式可能是（）11C. y = x2 D. y  x y  y   A. B. xxD【答案】【解析】【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】解：A.对于 y  x，当 x=-1 时，y=1，故函数图像经过点 (1,1) ；函数图象经过二、四象限；当 x  0 时，y 时，y 时，y 随 x 的增大而减小．故选项 A 不符合题意； 1y  (1,1) B.对于，当 x=-1 时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当 x  0 x  0 x随 x 的增大而减小．故选项 B 不符合题意； 2(1,1) C.对于，当 x=-1 时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当 y = x 随 x 的增大而增大．故选项 C 不符合题意； 1(1,1) y   D.对于，当 x=-1 时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y x  0 x随 x 的增大而增大．故选项 D 符合题意；故选：D 【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键． 47. AD  AC 如图，ABC 中，，BD  AB BD 、AC 相交于点 D，，，ABC 150 ，则 AB  2 7的面积是（）△DBC 3 3 9 3 3 3 6 3 7A. B. C. D. 14 14 7A【答案】【解析】 SDBC : SABC  3:7 【分析】过点 C 作CE  AB 的延长线于点，由等高三角形的面积性质得到，再证明 EAB AE 47，解得，分别求得 AE、CE 长，最后根据ACE 的面积公式解题． VADB : VACE 【详解】解：过点 C 作CE  AB 的延长线于点，E与△ADB 是等高三角形， DBC 43SADB : SDBC  AD : DC  AC : AC  4:3 77SDBC : SABC  3:7 BD  AB VADB : VACE 47AC 2 2AC SADB SACE AD AC 16 49 AB AE 47 AB  2 7 AE  2732BE  2  2QABC 150, CBE 180150  30 3CE  tan30 BE  2S 4x, SDBC  3x 设ADB 49 SACE x449 1 7 3x    42 2 23x  14 3 3 14 ，3x  故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 8. O ）O 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为 2π ，，则 ABCD MN MN 1 BD 周长的最小值是（ AMN A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B【答案】【解析】【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．【详解】如图所示，（1）为上一动点， A点关于线段 NCA的对称点为点，连接CN ，则CN=AN ，过点作CN 的 BD BD CG 平行线 AG ，过点作的平行线，两平行线相交于点 G，AG 与相交于点 M． BD CBD CN//MG, NM //CG, 四边形是平行四边形 CNMG MG  CN MG  AN CAMN =AN  AM  NM  MG  AM 1 则（2）找一点，连接，则CN ‘=AN ‘，过 G点作的平行线 MG ，连接 CN ‘ 则N ‘ CN ‘ AM ‘ CAM ‘N ‘ =AN ‘ AM ‘ N ‘M ‘  AN ‘ AM ‘ CG  AN ‘ AM ‘ NM  AN ‘ AM ‘1 此时 AN  AM 1 AN ‘ AM ‘1 ．C CAM ‘N’ AMN 又（1）中周长取到最小值是平行四边形 AMN CNMG 四边形 CNM  NMA 四边形是正方形 ABCD CO  OA AC  BD ，CO  OA ，，CNM  NMA NOC  MOA CNO AOM AAS ON  OM  AC ^ BD AN  AM 又是等腰三角形 ANM 2，则圆的半径，S  r  2 r  2 1112OM  MN  1 222219  AM 2  r2 +OM 2  2    2  432 AM  3CAMN = 2+1=4 2故选：B．的【点睛】本题难度较大，需要具备一定几何分析方法．关键是要找到周长取最小值时的AMN M、N 位置．二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一组数据 2，1，3，1，2，4 的中位数是______．【答案】2 【解析】【分析】先排序，再进行计算；【详解】解：从小到大排序为：1，1，2，2，3，4， ∵数字有 6个， 2  2 2 2 ∴中位数为：故答案是 2．，【点睛】本题主要考查了中位数求解，准确计算是解题的关键． 210. 计算 __________． 5 【答案】5 【解析】【分析】直接运用二次根式的性质解答即可． 2【详解】解： 5． 5 故填 5． a a＜0 成为解答本题的关键． a2  【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，掌握 a a 0 211. 分解因式： ____． 9x  6x 1 【答案】（3x＋1）2 【解析】【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式＝（3x＋1）2，故答案为：（3x＋1）2 【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 212. 已知方程有两个相等的实数根，则 =____． kx 3x  k  0 9【答案】 4【解析】【分析】 2∵【详解】试题分析：有两个相等的实数根， x 3x  k  0 ∴△=0 ，∴9-4k=0 ，9∴k= ．494故答案为．考点：根的判别式． 13. OA O O AOB  30 如图，、是的半径，点 C 在上，，，则 OB OBC  40 ______ ． OAC  【答案】25 【解析】【分析】连接 OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC=100°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．【详解】解：连接 OC， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC=40°， ∴∠BOC=180°-40°×2=100°， ∴∠AOC=100°+30°=130°， ∵OC=OA， ∴∠OAC=∠OCA=25°，故答案为：25．【点睛】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于 180°是解题的关键． OE  AD 14. 如图，菱形的对角线、相交于点 O，，垂足为 E，，BD  6，则 OE ABCD AC AC  8 BD 的长为______． 12 【答案】 5【解析】【分析】直接利用菱形的性质得出 AO，DO 的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案．【详解】解：∵菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC=8，DB=6， ∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°， ∴AD=5， 121RtADO AOgDO = ADgOE 在∴中，由等面积法得： ,2AOgDO 3´ 4 12 OE = ==AD 5512 故答案为：．5【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的高的求法（等面积法），熟记性质与定理是解题关键． 15. 某快餐店销售 A、B 两种快餐，每份利润分别为 12 元、8 元，每天卖出份数分别为 40 份、80 份．该店为了增加利润，准备降低每份 A 种快餐的利润，同时提高每份 B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份 A 种快餐利润每降 1 元可多卖 2 份，每份 B 种快餐利润每提高 1 元就少卖 2 份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．【答案】1264 【解析】【分析】根据题意，总利润= AB快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可． WW，两种快餐的总利润为，设 2【详解】解：设 A种快餐的总利润为，B种快餐的总利润为份． A快餐的 W1x120  x 份数为份，则B 种快餐的份数为 x  40 x1W  12   x  12  20  x  x2  32x 据题意： 122280  120  x  1W = 8 120  x  x2  72x  2400 2222∴W W W  x2 104x  2400=  x 52 1264 12∵1 0 ∴当的时候，W 取到最大值 1264，故最大利润为 1264 元 x  52 故答案为：1264 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点． 16. 如图， BE 是ABC 的中线，点 F 在 BE 上，延长交BC 于点 D．若，则 BF  3FE AF BD DC ______． 3【答案】【解析】 2S S△BCE S SEDC ，由 AED 【分析】连接 ED，由 BE 是ABC 的中线，得到，，得到 BF  3FE △ABE SABF SAFE SBFD SFED 5 3,  3 ，设 SAEF =x,SEFD  y ，由面积的等量关系解得 x  y，最后根据等高三角形的性质 3SABD BD 解得，据此解题即可． SADC DC 【详解】解：连接 ED BE 是ABC 的中线， SABE  SBCE S SEDC AED ，BF  3FE SABF SAFE SBFD SFED  3,  3 SAEF =x,SEFD  y ，设SABF  3x，SBFD  3y SABE  4x,SBEC  4x,SBED  4y SEDC  SBEC  SBED  4x  4y SADE  SEDC x  y  4x  4y 5x  y3与ADC 是等高三角形， ABD 53 y+3y SABD BD SADC DC x y  4x  4y 5x 3y 3x  3y 3x  3y 8y 323=，516 5 y 3y y333故答案为：．2【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 3 8  6  22 计算：．【答案】4．【解析】【分析】由 3 ，-6 =6 ，计算出结果． 8=2 【详解】解：原式  2  6  4  4 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，关键是开三次方与绝对值的计算． 3x 1 x 1 x  4  4x  2 18. 解不等式组：．【答案】x 2【解析】【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可．【详解】解：解不等式 3x﹣1 x+1，得：x 1， 解不等式 x+4 4x﹣2，得：x 2， ∴不等式组的解集为 x 2．查组【点睛】本题考了解一元一次不等式，熟悉“解一元一次不等式的方法和确定不等式组解集的方法” 是解答本题的关键. x 1 419. 1 解方程：．x 1 x2 1 【答案】无解【解析】【分析】将分式去分母，然后再解方程即可． x + 1 2 – 4 = x2 – 1 【详解】解：去分母得： ()整理得 2x  2 ，解得，x 1 经检验，是分式方程的增根， x 1 故此方程无解．【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键． 20. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的 A、B、C、D 四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）扇形统计图中，D 种粽子所在扇形的圆心角是______ ； （3）这个小区有 2500 人，请你估计爱吃 B 种粽子的人数为______．【答案】（1）见解析；（2）108；（3）500 【解析】【分析】（1）由 A 种粽子数量 240 除以占比 40%可得粽子总数为 600 个，继而解得 B 种粽子的数量即可解题；（2）将 D 种粽子数量除以总数再乘以 360°即可解题；（3）用 B 种粽子的人数除以总数再乘以 2500 即可解题．【详解】解：（1）由条形图知，A 种粽子有 240 个，由扇形图知 A 种粽子占总数的 40%， 240 =600 可知粽子总数有：（个） 40% 600  240  60 180 120 B 种粽子有（个）； 180 （2） 360=108 ，600 故答案为：108； 120 2500=500 （3）（人）， 600 故答案为：500．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、求扇形的圆心角、用样本估计总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21. 为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙 2 名女生和丙、丁 2 名男生中任选 2 人代表学校参加比赛．（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取 1 人，则女生乙被选中的概率是______；（2）求所选代表恰好为 1 名女生和 1 名男生的概率． 123【答案】（1）；（2） 3【解析】【分析】（1）由一共有 3 种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有 1 种，即可求得答案；（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：（1）∵已确定女生甲参加比赛，再从其余 3名同学中随机选取 1名有 3种结果，其中恰好选中女生乙的只有 1种， 1∴恰好选中乙的概率为；31故答案为：；3（2）分别用字母 A，B 表示女生，C，D 表示男生画树状如下： 4 人任选 2 人共有 12 种等可能结果，其中 1 名女生和 1 名男生有 8 种， 823∴P（1 女 1 男）．12 23答：所选代表恰好为 1 名女生和 1 名男生的概率是．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，点 C 是 BE 的中点，四边形是平行四边形． ABCD （1）求证：四边形是平行四边形； ACED （2）如果，求证：四边形是矩形． ACED AB  AE 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质以及点 C 是 BE 的中点，得到 AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形 ACED 是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得 DC=AE，从而证明平行四边形 ACED 是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，且 AD=BC． ∵点 C 是 BE 的中点， ∴BC=CE， ∴AD=CE， ∵AD∥CE， ∴四边形 ACED 是平行四边形；（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC， ∵AB=AE， ∴DC=AE， ∵四边形 ACED 是平行四边形， ∴四边形 ACED 【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 23. 是矩形．为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知 2 瓶 A 型消毒液和 3 瓶 B 型消毒液共需 41 元，5 瓶 A 型消毒液和 2 瓶 B 型消毒液共需 53 元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？ 1（2）学校准备购进这两种消毒液共 90 瓶，且 B 型消毒液的数量不少于 A 型消毒液数量的，请设计出最 3省钱的购买方案，并求出最少费用．【答案】（1） A A B B 种消毒液的单价是 7 元，型消毒液的单价是9 元；（2）购进种消毒液67 瓶，购进种 23 瓶，最少费用为 676 元【解析】【分析】（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案． yxAB种消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元．【详解】解：（1）设 2x  3y  41 5x  2y  53 x  7 y  9 由题意得：，解之得，，答： A种消毒液的单价是 7 元， B型消毒液的单价是 9 元． a种消毒液瓶，则购进 90  a （2）设购进 AB种瓶，购买费用为元． WW  7a  9 90 a  2a 810 则，aa随着的增大而减小，最大时，有最小值． ∴WW190  a  a 又，∴ a  67.5 ．3aa由于是整数，最大值为67，即当时，最省钱，最少费用为810  267  676 元． a  67 此时，90  67  23 ．最省钱的购买方案是购进 AB种消毒液 67 瓶，购进种23 瓶．【点睛】本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解． 24. C C 如图，中，，以点 C 为圆心， CB 为半径作，D 为上一点，连接 RtABC ABC  90 、，，平分 BAD ．CD AC AD AB  AD C （1）求证：是的切线； AD S 2SABC ，求 tanBAC 的值．（2）延长、BC 相交于点 E，若 AD EDC 2【答案】（1）见解析；（2） 2【解析】【分析】（1）利用 SAS 证明 BAC ≌ DAC ，可得，即可得证； ADC  ABC  90 （2）由已知条件可得 EDC∽EBA，可得出，进而得出即可求得 DC : BA 1: 2 CB : BA 1: 2 tanBAC ；【详解】（1）∵ 平分 BAD ，AC ∴∵∴∴∴∴BAC  DAC ．，AC  AC BAC ≌ DAC ADC  ABC  90 ，．AB  AD ．CD  AD ，C 是的切线． AD （2）由（1）可知， EDC  ABC  90 ，又，E  E ∴∵EDC∽EBA ．SS 2S ABC ，且 BAC ≌ DAC ，EDC EDC : SEBA 1: 2 ∴，∴∵∴∵．DC : BA 1: 2 DC  CB ，．CB : BA 1: 2 ABC  90 CB BA 2∴tan BAC  2【点睛】此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 25. 我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图 1 所 AB 示．已知 AB  4.8m ，鱼竿尾端 A 离岸边 0.4m ，即 AD  0.4m ．海面与地面平行且相距，即 1.2m AD DH 1.2m ．CO （1）如图 1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 BC 与海面 HC 的夹角 BCH  37 ，海面下方的鱼线与海面 HC 垂直，鱼竿与地面的夹角．求点 O 到岸边的距离； AB AD BAD  22 DH （2）如图 2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 BAD  53 ，此时鱼线被拉直，鱼线 BO  5.46m ，点 3545sin37  cos53  cos37  sin53  O 恰好位于海面．求点 O 到岸边的距离．（参考数据：，，DH 343815 16 25sin 22≈ cos22≈ tan 22≈ tan37  ，，，）【答案】（1）8.1m；（2）4.58m 【解析】【分析】（1）过点 B作，垂足为，延长 F交AD BF 于点，构建 E和Rt△ABE Rt△BFC ，在 BF  CH 中，根据三角函数的定义与三角函数值求出 BE,AE;再用求出 BF，在中，根 Rt△ABE Rt△BFC BE  EF 据三角函数的定义与三角函数值求出 FC，用CF + AE – AD = CH （2）过点 BN  OH ，垂足为，延长 BN 于点，构建 ;B作N交RtABM 和RtBNO ，在 RtABM AD M中，根据 53°和 AB 的长求出 BM 和 AM，利用 BM+MN 求出 BN，在 RtBNO 中利用勾股定理求出 ON，最后用 HN+ON 求出 OH．【详解】（1）过点 B作，垂足为，延长 F交AD BF 于点，BF  CH E则，垂足为．EAE  BF AE AE cosBAE  cos22  由，∴ ，AB 4.8 15 AE ∴∴由，即 AE  4.5 ，16 4.8 DE  AE  AD  4.5 0.4  4.1 ，BE AB BE sinBAE  sin 22  ，∴ ，4.8 38BE ∴∴又，即，BE 1.8 4.8 BF  BE  EF 1.81.2  3 ．BF 3tan BCF  tan37  ，∴ ，CF CF 343∴∴，即，CF  4 CF CH  CF  HF  CF  DE  4  4.1 8.1 ，即到岸边的距离为．C8.1m （2）过点 B作BN  OH ，垂足为，延长交BN 于点，NAD M则，垂足为．AM  BN MAM AM 3AM cosBAM  cos53  由即由，∴ ，∴ ，AB 4.8 54.8 AM  2.88 ，∴ DM  AM  AD  2.88 0.4  2.48 ．BM AB BM 45BM sin BAM  sin53  ，∴ ，∴ ，4.8 4.8 即∴∴BM  3.84 ，∴ BN  BM  MN  3.84 1.2  5.04 ．2222，ON  OB  BN  5.46 5.04  4.41  2.1 OH  ON  HN  ON  DM  4.58 ，的即点到岸边距离为．O4.58m 【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度． y  mx2  m2  3 x  (6m  9) B(3,0) ．26. 如图，抛物线与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，已知 （1）求 m 的值和直线 BC 对应的函数表达式； S S △ABC ，请直接写出点 P 的坐标；（2）P 为抛物线上一点，若（3）Q 为抛物线上一点，若 △PBC ACQ  45 ，求点 Q 的坐标． 3 17 7  17 3 17 7  17 y  x  3 P 2,1 P,P,m  1 【答案】（1），；（2） ，，；22227254Q, （3） 【解析】【分析】（1）求出 A，B 的坐标，用待定系数法计算即可； AP AP AP Py（2）做点 A 关于 BC 的平行线 1 ，联立直线 1 与抛物线的表达式可求出 1 的坐标，设出直线 1 与 P P 轴的交点为 G，将直线 BC 向下平移，平移的距离为 GC 的长度，可得到直线 2 ，联立方程组即可求出 P； 3QCQ ，过点 AD  CQ （3）取点，连接 A作于点，过点 D作轴于点，过点 F作CE  DF DF  x CD1y  x  3 于点，得直线 E对应的表达式为，即可求出结果； CD 2B 3,0 y  mx2  m2  3 x  6m  9 【详解】（1）将 代入 ，2m  1 化简得，则 m  0（舍）或，m  m  0 m  1 ∴，2，则C 0,3 得：．y  x  4x 3 y  kx  b 设直线 BC 对应的函数表达式为，0  3k  b 3  b B 3,0 、C 0,3 将代入可得，解得，k 1 y  x  3 则直线 BC 对应的函数表达式为．AP AP （2）如图，过点 A 作 1 ∥BC，设直线 1 与 y 轴的交点为 G，将直线 BC 向下平移 GC 个单位，得到直 P P 线，23y  x  3 A 1,0 ( )，由（1）得直线 BC 的解析式为，y  x 1 ∴直线 AG 的表达式为，y  x 1 y  x2  4x 3 联立，x 1 y  0 x  2 y 1 解得：（舍），或，P 2,1 1  ∴，G 1,0 由直线 AG 的表达式可得 ，∴，GC  2 CH  2 ，P P ∴直线 2 的表达式为 y  x 5 ，3y  x 5 y  x2  4x 3 联立，3 17 23 17 x1  y1  x2  y2  2解得：，，7  17 7  17 3 17 7  17 3 17 7  17 P,P,∴∴，，3  2  22223 17 7  17 3 17 7  17 P 2,1 P,P,，，．2222QCQ ，过点 AD  CQ （3）如图，取点，连接 A作于点，D过点作轴于点，过点 DF  x 作CE  DF 于点，CDFEACQ  45 ∵，∴AD=CD，又∵ ADC  90 ，∴，，ADF  CDE  90 CDE  DCE  90 ∵∴，DCE  ADF E  AFD  90 又∵ ，∴设∵∴由，则，CE  DF ．CDE≌DAF AF  DE DE  AF  a ，，OA 1 OF  CE ，CE  DF  a 1 ．a 1 ，则 DF  3 a ，即 a 1 3 a ，解之得，．OC  3 D 2,2 ，又C 0,3 所以 ，1y  x  3 ，可得直线对应的表达式为 CD 212Q m, m 3 设得又，代入，y  x  4x 3 21217m 3  m2  4m 3 m  m2  4m m2  m  0 ，，，2272547Q, m  ，则．所以．m  0 2【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键． 27. 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）ABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边，如图 1，求的长； AC 上的一点，且，小亮以 BE 为边作等边三角形 AE 1 CF BEF 的（2）ABC 是边长为 3 等边三角形，E 是边上的一个动点，小亮以 BE 为边作等边三角形，AC BEF 如图 2，在点 E 从点 C 到点 A 的运动过程中，求点 F 所经过的路径长；（3）ABC 是边长为 3 的等边三角形，M 是高 CD 上的一个动点，小亮以为边作等边三角形 BMN ，BM 如图 3，在点 M 从点 C 到点 D 的运动过程中，求点 N 所经过的路径长；（4）正方形的边长为 3，E 是边上的一个动点，在点 E 从点 C 到点 B 的运动过程中，小亮以 B CB ABCD 为顶点作正方形 BFGH ，其中点 F、G 都在直线上，如图 4，当点 E 到达点 B 时，点 F、G、H 与点 B AE 重合．则点 H 所经过的路径长为______，点 G 所经过的路径长为______． 34323 2 43【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）；【解析】【分析】（1）由、是等边三角形， BA  BC ，，，可证 ABC ABE  CBF BEF BE  BF 即可； ABE≌CBF （2）连接，CF ABC 、是等边三角形，可证，可得，又点 ABE≌CBF BCF  ABC BEF E在处时，，点在A 处时，点与重合．可得点运动的路径的长  AC  3 C；CCF  AC EFF（3）取 BC 中点 H，连接 HN ，由、ABC BMN 是等边三角形，可证 DBM ≌ HBN ，可得 3 3 NH  BC ．又点在C处时，，点在处时，点 N与H重合．可求点 N所经过 DMMHN  CD  232 CD  3；的路径的长 （4）连接 CG ,AC，OB，由∠CGA=90°，点 G 在以 AC 中点为圆心，AC 为直径的上运动，由四边形 ABCD BC 3 2 222为正方形，BC 为边长，设 OC=x，由勾股定理 2 即，可求，点 G 所经过的路径 CO  BO  BC x  33 2   长为长= ，点 H 所经过的路径长为的长．BC BN 44【详解】解:（1）∵ 、是等边三角形， ABC BEF ∴∴∴∴∴BA  BC ，，ABC  EBF  60 ．BE  BF ABE  CBE  CBF  CBE ，，ABE  CBF ，ABE≌CBF ；CF  AE 1 （2）连接，CF ∵∴∴∴、是等边三角形， ABC BEF BA  BC ，，ABC  EBF  60 ．BE  BF ABE  CBE  CBF  CBE ，，ABE  CBF ∴∴∵∴∴，ABE≌CBF CF  AE ，BCF  BAE  60 ，ABC  60 ，，BCF  ABC ，CF / /AB 又点在处时，，点在A 处时，点与重合． CCF  AC CEEF∴点运动的路径的长  AC  3 ；F（3）取 BC 中点 H，连接 HN ， 1BH  BC ∴，21BH  AB ∴，，2∵∴，CD  AB 1BD  AB 2∴∵∴∴∴∴∴∴，BH  BD 、ABC BMN 是等边三角形， BM  BN ，ABC  MBN  60 ，DBM  MBH  HBN  MBH ，DBM  HBN DBM ≌ HBN ，，HN  DM NH  BC ，，BHN  BDM  90 ，3 3 2又点在处时，的，点在处时，点 H与重合， CNDMMHN  CD  3 CD  3∴点所经过路径的长；N2（4）连接 CG ,AC，OB， ∵∠CGA=90°， ∴点 G 在以 AC 中点为圆心，AC 为直径的上运动， BC ∵四边形 ABCD 为正方形，BC 为边长， ∴∠COB=90°，设 OC=x， 22222由勾股定理 2 即，CO  BO  BC x  x  3 3 2 ∴，x  213 2 23 2 42 点 G 所经过的路径长为长= ，BC 4点 H 在以 BC 中点为圆心，BC 长为直径的弧上运动， BN 点 H 所经过的路径长为的长度， BN ∵点 G 运动圆周的四分之一， ∴点 H 也运动圆周的四分一， 14332    点 H 所经过的路径长为的长= ，BN 24343 2 4故答案为；．【点睛本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．