浙江省 2020 年初中学业水平考试（衢州卷） 数学试题卷 y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0) 参考公式：二次函数 的图象经过的顶点坐标是 b 4ac – b2 （-,）． 2a 4a 卷 I 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 比 0 小 1 的数是（ ） A. B. C. D. ±1 0﹣1 1B【答案】 【解析】 【分析】 根据题意列式计算即可得出结果． 【详解】解：0﹣1=﹣1， 即比 0 小 1 的数是﹣1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． 2. 下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（ ） A. C. B. D. A【答案】 【解析】 【分析】 分别找出从图形的上面看所得到的图形即可． 【详解】解：A、俯视图是圆，故此选项正确； B、俯视图是正方形，故此选项错误； C、俯视图是长方形，故此选项错误； D、俯视图是长方形，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的俯视图，掌握各立体图形的特点及俯视图的定义是解答此类题的关键． 3计算 a2 ，正确结果是（ ） 3. a5 a6 a8 a9 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 a2 试题解析： 3 =a6. 故选 B. 4. 如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（ ） 13141618A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以 360，进而得出答案． 120 1 =【详解】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是： ．360 3 故选：A． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键． 5. 要使二次根式 有意义，则 x 的取值可以是（ B. 1 ）x 3 A. 0 C. 2 D. 4 D【答案】 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件可得 x-3≥0，再解即可． 【详解】解：二次根式要有意义，则 x-3≥0， 即 x≥3， 故选：D． 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握二次根式定义． 3 x 2 x 4 6. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 3x 2x 1 A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解． 3(x 2)„ x 4① 【详解】 ，3x 2x 1 ②由①得 x≤1； 由②得 x＞﹣1； 故不等式组的解集为﹣1＜x≤1， 在数轴上表示出来为： ．故选：C． 【点睛】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成 若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解 集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表 示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则． 7. 某厂家 2020 年 1～5 月份的口罩产量统计如图所示．设从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的平均月增长 率为 x，根据题意可得方程（ ） A. 180（1﹣x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 B. 180（1+x）2=461 D. 368（1+x）2=442 B【答案】 【解析】 【分析】 本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为 x，根据“2 月份 的 180 万只，4 月份的利润将达到 461 万只”，即可得出方程． 【详解】解：从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为 x，根据题意可得方程：180（1+x） 2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 8. 过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ） A. C. B. D. D【答案】 【解析】 【分析】 根据平行线的判定方法一一判断即可． 【详解】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意． B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意． C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意， D、无法判断两直线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题 型． 2的 二次函数 y=x 图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ） 9. A. 向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位 B. 向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位 C. 向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位 D. 向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位 C【答案】 【解析】 【分析】 求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可． 【详解】解：A、平移后的解析式为 y=（x+2）2﹣2，当 x=2 时，y=14，本选项不符合题意． B、平移后的解析式为 y=（x+1）2+2，当 x=2 时，y=11，本选项不符合题意． C、平移后的解析式为 y=（x﹣1）2﹣1，当 x=2 时，y=0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意． D、平移后的解析式为 y=（x﹣2）2+1，当 x=2 时，y=1，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的平移问题，掌握二次函数的平移特征是解题的关键． 10. 如图，把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 BEF，若 BC=1，则 AB 的 长度为（ ） 432 1 25 1 2A. B. C. D. 2A【答案】 【解析】 【分析】 先判断出∠ADE=45°，进而判断出 AE=AD，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：由折叠补全图形如图所示， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADA’=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB， 1由第一次折叠得：∠DAE=∠A=90°，∠ADE= ∠ADC=45°， 2∴∠AED=∠ADE=45°， ∴AE=AD=1， 在 Rt△ADE 中，根据勾股定理得，DE= AD= ，22由第二次折叠可知， DC DE ∴AB 2 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解决此类题的关键． 卷 II 二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 一元一次方程 2x+1=3 的解是 x=_____． 【答案】1 【解析】 【分析】 将方程移项，然后再将系数化为 1 即可求得一元一次方程的解． 【详解】解：将方程移项得， 2x=2， 系数化为 1 得， x=1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查学生对解一元一次方程这一知识点的理解和掌握，此题比较简单，属于基础题 a b a(b 1) 23 2(31) 24 8 (x 1) x 12. 定义 ，例如 ，则 的结果是_______． 2【答案】 x 1 【解析】 【分析】 根据定义的运算，直接代入再根据平方差公式计算即可． 2(x 1) x 【详解】根据运算定义可知 = (x 1)(x 1) x 1， 2故答案为： ．x 1 【点睛】本题考查了新定义的运算以及平方差公式，解题的关键理解新定义的应用． 13. 某班五个兴趣小组的人数分别为 4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是 5，则这组数据的中位数是 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】 先根据平均数的定义计算出 x 的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数． 【详解】∵某班五个兴趣小组的人数分别为 4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是 5， ∴x=5×5﹣4﹣4﹣5﹣6=6， ∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6， ∴这组数据的中位数是 5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平均数和中位数，弄清题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．平均数为 一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；将一组数据按从小到大顺序排列，处于最中间位置的一 个位置的一个数据，或是最中间两个数据的平均数称为中位数． 14. 小慧用图 1 中的一副七巧板拼出如图 2 所示的“行礼图”，已知正方形 ABCD 的边长为 4dm，则图 2 中 h 的值为_____dm． 【答案】 4 2 【解析】 【分析】 根据七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解． 的【详解】解：∵正方形 ABCD 边长为 4dm， ∴②的斜边上的高是 2dm，④的高是 1dm，⑥的斜边上的高是 1dm，⑦的斜边上的高是 dm， 2∴图 2 中 h 的值为（4+ ）dm． 2故答案为：（4+ ）． 2的【点睛】本题主要考查正方形 性质，解题的关键是求出②④⑥⑦的高． 15. 如图，将一把矩形直尺 ABCD 和一块含 30°角的三角板 EFG 摆放在平面直角坐标系中，AB 在 x 轴上， k点 G 与点 A 重合，点 F 在 AD 上，三角板的直角边 EF 交 BC 于点 M，反比例函数 y= （x＞0）的图象恰 x好经过点 F，M．若直尺的宽 CD=3，三角板的斜边 FG= ，则 k=_____． 8 3 【答案】 40 3 【解析】 【分析】 通过作辅助线，构造直角三角形，求出 MN，FN，进而求出 AN、MB，表示出点 F、点 M 的坐标，利用反 比例函数 k 的意义，确定点 F 的坐标，进而确定 k 的值即可． 【详解】解：过点 M 作 MN⊥AD，垂足为 N，则 MN=AD=3， 在 Rt△FMN 中，∠MFN=30°， ∴FN= MN=3 ，33∴AN=MB=8 ﹣3 =5 3，33设 OA=x，则 OB=x+3， ∴F（x，8 ），M（x+3，5 ）， 33∴8 x=（x+3）×5 ，33解得，x=5， ∴F（5，8 ）， 3∴k=5×8 =40 ．33故答案为：40 ．3【点睛】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法． 16. 图 1 是由七根连杆链接而成的机械装置，图 2 是其示意图．已知 O，P 两点固定，连杆 PA=PC=140cm， AB=BC=CQ=QA=60cm，OQ=50cm，O，P 两点间距与 OQ 长度相等．当 OQ 绕点 O 转动时，点 A，B，C 的 位置随之改变，点 B 恰好在线段 MN 上来回运动．当点 B 运动至点 M 或 N 时，点 A，C 重合，点 P，Q， A，B 在同一直线上（如图 3）． （1）点 P 到 MN 的距离为_____cm． （2）当点 P，O，A 在同一直线上时，点 Q 到 MN 的距离为_____cm． 640 9(1). (2). 【答案】 160 【解析】 【分析】 （1）如图 3 中，延长 PO 交 MN 于 T，过点 O 作 OH⊥PQ 于 H．解直角三角形求出 PT 即可． （2）如图 4 中，当 O，P，A 共线时，过 Q 作 QH⊥PT 于 H．设 HA=xcm．解直角三角形求出 HT 即可． 【详解】解：（1）如图 3 中，延长 PO 交 MN 于 T，过点 O 作 OH⊥PQ 于 H． 由题意：OP=OQ=50cm，PQ=PA﹣AQ=14﹣=60=80（cm），PM=PA+BC=140+60=200（cm），PT⊥MN， ∵OH⊥PQ， ∴PH=HQ=40（cm）， PH PT ∵cos∠P= =，OP PM 40 PT ∵=，50 200 ∴PT=160（cm）， ∴点 P 到 MN 的距离为 160cm， 故答案为 160． （2）如图 4 中，当 O，P，A 共线时，过 Q 作 QH⊥PT 于 H．设 HA=xcm． 由题意 AT=PT﹣PA=160﹣140=20（cm），OA=PA﹣OP=140﹣50=90（cm），OQ=50cm，AQ=60cm， ∵QH⊥OA， ∴QH2=AQ2﹣AH2=OQ2﹣OH2， ∴602﹣x2=502﹣（90﹣x）2， 460 解得 x= ，9640 9∴HT=AH+AT= （cm）， 640 ∴点 Q 到 MN 的距离为 cm． 9640 故答案为 ．9【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意， 学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 三、解答题（本大题有 8 小题，第 17~19 小题每小题 6 分，第 20~21 题每小题 8 分，第 22~23 题每小题 10 分，第 24 题 12 分，共 66 分，请务必写出解答过程） 1计算：|﹣2|+（ ）0﹣ +2sin30°． 17. 93【答案】1 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案． 1【详解】解：原式=2+1﹣3+2× 2=2+1﹣3+1 =1． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，算术平方根，以及实数运算，正确化简各数是 解题关键． a118. 先化简，再求值： ，其中 a=3． a2 2a 1 a 1 a32【答案】 ，a 1 【解析】 【分析】 直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案． a【详解】解：原式= •（a﹣1） (a 1)2 a=，a 1 当 a=3 时， 33=原式= ．31 2 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键． 19. 如图，在 5×5 的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上． （1）在图 1 中画出一个以 AB 为边的▱ABDE，使顶点 D，E 在格点上． （2）在图 2 中画出一条恰好平分△ABC 周长的直线 l（至少经过两个格点）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一）； （2）利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】解：（1）如图平行四边形 ABDE 即为所求（点 D 的位置还有 6 种情形可取）， ；（2）如图，直线 l 即为所求． 【点睛】本题考查了几何作图，平行四边形的定义，理解题意，按照要求作图是解题关键． 20. 某市在九年级“线上教学”结束后，为了了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检查．根据检 查结果，制作下面不完整的统计图表． （1）求组别 C 的频数 m 的值． （2）求组别 A 的圆心角度数． （3）如果势视力值 4．8 及以上属于“视力良好”，请估计该市 25000 名九年级学生达到“视力良好”的人 数，根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？ 【答案】（1）500，308；（2）18°；（3）7000，建议详见解析 【解析】 【分析】 （1）先算出总数1150.23 500 ，在进行求解； （2）用5%360即可求得结果； （3）根据视力值 4．8 及以上属于“视力良好”可知 B、A满足，列式计算即可； 【详解】解：（1）样本容量为1150.23 500 ，组别 C 的频数 m 5000.616 308 ．（2）组别 A 的圆心角度数为 ．5%360 18 (0.23 0.05)25000 7000 （3）该市“视力良好”的学生人数约有 人． 建议只要围绕“视力保护”展开即可：注意用眼卫生，注意坐姿习惯． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图的知识点，准确分析数据是解题的关键． 21. 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，AB=10，AC=6，连结 OC，弦 AD 分别交 OC，BC 于点 E， F，其中点 E 是 AD 的中点． （1）求证：∠CAD=∠CBA． （2）求 OE 的长． 【答案】（1）见解析；（2）1.4 【解析】 【分析】 （1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可； CE AC （2）证明△AEC∽△BCA，推出 ，求出 EC 即可解决问题． AC AB 【详解】（1）证明：∵AE=DE，OC 是半径， ∴ ，AC CD ∴∠CAD=∠CBA； （2）解：如图： ∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°， ∵AE=DE， ∴OC⊥AD， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ACB， ∴△AEC∽△BCA， CE AC ∴∴，AC AB CE 6，610 ∴CE=3.6， 1∵OC= AB=5， 2∴OE=OC﹣EC=5﹣3.6=1.4． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，证明△AEC∽△BCA 是解题关 键． 22. 2020 年 5 月 16 日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图 1 所示．当游 轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为 20km/h，游轮行驶的时间记为 t（h），两艘轮船距离杭州的路程 s（km）关于 t（h）的图象如图 2 所示（游 轮在停靠前后的行驶速度不变）． （1）写出图 2 中 C 点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长． （2）若货轮比游轮早 36 分钟到达衢州．问： ①货轮出发后几小时追上游轮？ ②游轮与货轮何时相距 12km？ 【答案】（1）从杭州出发前往衢州共用了 23h．2h；（2）①货轮出发后 8 小时追上游轮；②21.6h 或 22.4h 时游轮与货轮何时相距 12km 【解析】 【分析】 （1）根据图中信息解答即可． （2）①求出 B，C，D，E 的坐标，利用待定系数法求解即可． （3）分两种情形分别构建方程求解即可． 【详解】解：（1）C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了 23h． ∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长=23﹣（420÷20）=23﹣21=2（h）． （2）①280÷20=14h， ∴点 A（14，280），点 B（16，280）， ∵36÷60=0.6（h），23﹣0.6=22.4， ∴点 E（22.4，420）， 设 BC 的解析式为 s=20t+b，把 B（16，280）代入 s=20t+b，可得 b=﹣40， ∴s=20t﹣40（16≤t≤23）， 同理由 D（14，0），E（22，4，420）可得 DE 的解析式为 s=50t﹣700（14≤t≤22.4）， 由题意：20t﹣40=50t﹣700， 解得 t=22， ∵22﹣14=8（h）， ∴货轮出发后 8 小时追上游轮． ②相遇之前相距 12km 时，20t﹣4﹣（50t﹣700）=12，解得 t=21.6． 相遇之后相距 12km 时，50t﹣700﹣（20t﹣40）=12，解得 t=22 4， ∴21.6h 或 22.4h 时游轮与货轮何时相距 12km． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，熟练运用待定系数法解决问题，属于中 考常考题型． 823. 如图 1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A，C 分別是直线 y=﹣ x+4 与坐标轴的交点，点 B 的坐 3标为（﹣2，0），点 D 是边 AC 上的一点，DE⊥BC 于点 E，点 F 在边 AB 上，且 D，F 两点关于 y 轴上的某 点成中心对称，连结 DF，EF．设点 D 的横坐标为 m，EF2 为 l，请探究： ①线段 EF 长度是否有最小值． ②△BEF 能否成为直角三角形． 小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题． （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 l 随 m 变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以 各对应值为坐标描点（如图 2）．请你在图 2 中连线，观察图象特征并猜想 l 与 m 可能满足的函数类别． （2）小明结合图 1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 l 关于 m 的函数表达式及 自变量的取值范围，并求出线段 EF 长度的最小值． （3）小明通过观察，推理，发现△BEF 能成为直角三角形，请你求出当△BEF 为直角三角形时 m 的值． 43【答案】（1）连线见解析，二次函数；（2） ；（3）m=0 或 m= 2 2 【解析】 【分析】 （1）根据描点法画图即可； （2）过点 F，D 分别作 FG，DH 垂直于 y 轴，垂足分别为 G，H，证明 Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），由全 等三角形的性质得出 FG=DH，可求出 F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出 l=EF2=8m2﹣16m+16=8 （m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案； （3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出 m 的方程，解方程求出 m 的值，则可求出答案． 【详解】解：（1）用描点法画出图形如图 1，由图象可知函数类别为二次函数． （2）如图 2，过点 F，D 分别作 FG，DH 垂直于 y 轴，垂足分别为 G，H， 则∠FGK=∠DHK=90°， 记 FD 交 y 轴于点 K， ∵D 点与 F 点关于 y 轴上的 K 点成中心对称， ∴KF=KD， ∵∠FKG=∠DKH， ∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS）， ∴FG=DH， 8∵直线 AC 的解析式为 y=﹣ x+4， 3∴x=0 时，y=4， ∴A（0，4）， 又∵B（﹣2，0）， 的设直线 AB 解析式为 y=kx+b， 2k b 0 b 4 ∴，ìk = 2 b = 4 ïï解得 ，íïïî∴直线 AB 的解析式为 y=2x+4， 过点 F 作 FR⊥x 轴于点 R， ∵D 点的橫坐标为 m， ∴F（﹣m，﹣2m+4）， ∴ER=2m，FR=﹣2m+4， ∵EF2=FR2+ER2， ∴l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8， 8x 32令﹣ +4=0，得 x= ，33∴0≤m≤ ．2∴当 m=1 时，l 的最小值为 8， ∴EF 的最小值为 2 ．2（3）①∠FBE 为定角，不可能为直角． ②∠BEF=90°时，E 点与 O 点重合，D 点与 A 点，F 点重合，此时 m=0． ③如图 3，∠BFE=90°时，有 BF2+EF2=BE2． 由（2）得 EF2=8m2﹣16m+16， 又∵BR=﹣m+2，FR=﹣2m+4， ∴BF2=BR2+FR2=（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2=5m2﹣20m+20， 又∵BE2=（m+2）2， ∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2=（m+2）2， 化简得，3m2﹣10m+8=0， 4解得 m1= ，m2=2（不合题意，舍去）， 34∴m= ．343综合以上可得，当△BEF 为直角三角形时，m=0 或 m= ．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判定与 性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．准 确分析给出的条件，结合一次函数的图象进行求解，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键．． 24. 【性质探究】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 平分∠BAC，交 BC 于点 E．作 DF⊥AE 于点 H， 分别交 AB，AC 于点 F，G． （1）判断△AFG 的形状并说明理由． （2）求证：BF=2OG． 【迁移应用】 S1 S2 13AD AB （3）记△DGO 的面积为 S1，△DBF 的面积为 S2，当 时，求 的值． 【拓展延伸】 （4）若 DF 交射线 AB 于点 F，【性质探究】中的其余条件不变，连结 EF，当△BEF 的面积为矩形 ABCD 1面积的 时，请直接写出 tan∠BAE 的值． 10 55105 15 【答案】（1）等腰三角形，理由见解析；（2）见解析；（3） ；（4） 或25【解析】 【分析】 （1）如图 1 中，△AFG 是等腰三角形，利用全等三角形的性质证明即可． （2）如图 2 中，过点 O 作 OL∥AB 交 DF 于 L，则∠AFG=∠OLG．首先证明 OG=OL，再证明 BF=2OL 即 可解决问题． （3）如图 3 中，过点 D 作 DK⊥AC 于 K，则∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性质解决问题即可． （4）设 OG=a，AG=k．分两种情形：①如图 4 中，连接 EF，当点 F 在线段 AB 上时，点 G 在 OA 上．② 如图 5 中，当点 F 在 AB 的延长线上时，点 G 在线段 OC 上，连接 EF．分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：如图 1 中，△AFG 是等腰三角形． 理由：∵AE 平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∵DF⊥AE， ∴∠AHF=∠AHG=90°， ∵AH=AH， ∴△AHF≌△AHG（ASA）， ∴AF=AG， ∴△AFG 是等腰三角形． （2）证明：如图 2 中，过点 O 作 OL∥AB 交 DF 于 L，则∠AFG=∠OLG． ∵AF=AG， ∴∠AFG=∠AGF， ∵∠AGF=∠OGL， ∴∠OGL=∠OLG， ∴OG=OL， ∵OL∥AB， ∴△DLO∽△DFB， OL DO =∴，BF BD ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴BD=2OD， ∴BF=2OL， ∴BF=2OG． （3）解：如图 3 中，过点 D 作 DK⊥AC 于 K，则∠DKA=∠CDA=90°， ∵∠DAK=∠CAD， ∴△ADK∽△ACD， DK CD =∴，AD AC 11∵S1= •OG•DK，S2= •BF•AD， 22S1 S2 13=又∵BF=2OG， ，DK 2 CD = = ∴∴，设 CD=2x，AC=3x，则 AD= ，2 5x AD 3AC AD AD 5．==AB CD 2（4）解：设 OG=a，AG=k． ①如图 4 中，连接 EF，当点 F 在线段 AB 上时，点 G 在 OA 上． ∵AF=AG，BF=2OG， ∴AF=AG=k，BF=2a， ∴AB=k+2a，AC=2（k+a）， ∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka， ∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF， ∴△ABE∽△DAF， BE AE =∴∴，AB AD BE k=，k 2a AD k k 2a ，∴BE= AD k k 2a =AD•（k+2a）， 1由题意： 10 2a 2AD ∴AD2=10ka， 即 10ka=3k2+4ka， ∴k=2a， ∴AD= ∴BE= ，2 5a k k 2a 4 5a =，AB=4a， AD 5BE AB 5∴tan∠BAE= ．5②如图 5 中，当点 F 在 AB 的延长线上时，点 G 在线段 OC 上，连接 EF． ∵AF=AG，BF=2OG， ∴AF=AG=k，BF=2a， ∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a）， ∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka， ∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF， ∴△ABE∽△DAF， BE AE ∴∴，AB AD BE k，k 2a AD k k 2a ，∴BE AD k k 2a 1由题意： =AD•（k﹣2a）， 10 2a 2AD ∴AD2=10ka， 即 10ka=3k2﹣4ka， 14 a∴k= ，32 105 3∴AD= ，a8k k 2a 8 105 45 a∴，AB= ，BE a3AD BE 105 ∴tan∠BAE= ，AB 15 5105 综上所述，tan∠BAE 的值为 或．515 【点睛】本题是一道综合题，主要涉及到等腰三角形的判定及其性质、全等三角形的判定和性质、三角形 中位线定理、相似三角形的判定及其性质、勾股定理的应用等知识点，解题的关键是综合运用所学到的相 关知识． 本试卷的题干 0635
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