精品解析：内蒙古包头市2020年中考数学试题（解析版）下载

2020 年初中升学考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共 6 页，满分为 120 分，考试时间为 120 分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位 置，请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 3．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干 净，再选涂其他答案． 4．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔书写，作图题可先用铅笔绘出，确认 后再用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔描清楚．要求字体工整，笔迹清晰．严格按题号所示的答题 区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷、草稿纸上答题无效． 5．保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、损坏．严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、 胶带纸、修正带．考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．每小题只有一个正确选项．请将 答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. A. 的计算结果是（ ）8  2 B. C. D. 510 4  2 3 2 C【答案】 【解析】 【分析】 根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】 =,8  2 8  2  2 2 2  3 2 故选 C． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 2. 2020 年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至 2019 年末，全国农村贫困人口减 少至 551 万人，累计减少 9348 万人．将 9348 万用科学记数法表示为（ ）0.9348108 9.348107 9.348108 93.48106 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a× n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 10 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 7【详解】解：9348 万=93480000 用科学记数法表示为 9.348× 故选：B． ，10 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a× n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 10 为整数，解题的关键是要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3. 点 A 在数轴上，点 A 所对应的数用 表示，且点 A 到原点的距离等于 3，则 a 的值为（ ）2a 1 A. 2 或 1 B. 2 或 2 C. 2 D. 1 A【答案】 【解析】 【分析】 根据绝对值的几何意义列绝对值方程解答即可． 【详解】解：由题意得：|2a+1|=3 当 2a+1＞0 时，有 2a+1=3，解得 a=1 当 2a+1＜0 时，有 2a+1=-3，解得 a=-2 所以 a 的值为 1 或-2． 故答案为 A． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关 键． 4. 下列计算结果正确的是（ ）212A. a3  a5 B. (bc)4 (bc)2  b2c2 C. D. 1 aa1ab2 a  b  bD【答案】 【解析】 【分析】 根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可． 2【详解】解：A. a3  a6 ，故 A 选项错误； (bc)4 (bc)2  b4c4 b2c2  b2c2 ，故 B 选项错误； B. C. D. 1aa11a 1 aa1 ，故 C 选项错误； aaa 1 b bb2 a b    ，故 D 选项正确． b故答案为 D． 【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握 相关运算法则是解答本题的关键． 5. 如图， ACD 是ABC 的外角， ．若 ，ACB  75 ECD  50 ，则 的度数为（ ）CE / /AB A A. 50 B. 55 C. D. 70 75 B【答案】 【解析】 【分析】 根据平行线的性质及三角形的内角和定理即可求解． 【详解】∵ ，CE / /AB ∴∠B= ECD  50 ∴∠A=180°-∠B-ACB  55 故选 B． 【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和等于 180°． 6. 如图，将小立方块①从 6 个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体（ ）A. 主视图改变，左视图改变 C. 俯视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图改变 D. 主视图不变，左视图不变 C【答案】 【解析】 【分析】 主视图是从立体图形的正面看，俯视图是从立体图形的上面看，左视图是从立体图形的左面看，根据题意， 只需要考虑小立方块移走前后三视图的变化，即可做出选择． 【详解】主视图是从立体图形的正面看，俯视图是从立体图形的上面看，左视图是从立体图形的左面看， 故将小立方块移走后，主视图不变，左视图和俯视图均发生改变． 故选择 C． 【点睛】本题主要考查三视图，判断小立方块移走前后的变化是解决本题的关键． 7. 两组数据：3，a，b，5 与 a，4， 2b 的平均数都是 3．若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据 的众数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B【答案】 【解析】 【分析】 的首先根据平均数 定义列出关于a、b 的二元一次方程组，再解方程组求得 a、b 的值，然后求众数即可． 【详解】∵两组数据：3，a，b，5 与 a，4， 2b 的平均数都是 3， a  b 12 35 a  2b  9  4 ∴，解得 a＝3，b＝1， 则新数据 3，3，1，5，3，4，2， 众数为 3， 故选 B． 【点睛】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数． 8. 如图，在 中， ，D 是 的中点， BE  CD，交 的延长线于点 E．若 CD RtABC ACB  90 AB AC  2 ，，则 BE 的长为（ ） BC  2 2 2 6 36A. B. C. D. 322A【答案】 【解析】 【分析】 根据题意将 BD,BC 算出来,再利用勾股定理列出方程组解出即可． 【详解】∵AC=2,BC= ,2 2 22∴,AB  2  2 2 2 3 ∵D 是 AB 的中点, ∴AD=CD=BD= 由题意可得: ．322BE  DE =3 2BE2  DE  3  8 22两式相减得: ,DE  3  DE  83 2 6 3解得 DE= 故选 A． ,BE= ,33【点睛】本题考查直角三角形中点性质和勾股定理,关键在于找出等式列出方程组． C, D 9. 如图， O 是的直径， 是弦，点 在直径 的两侧．若 CD AB AB ，则  的长为（ ，AOC : AOD : DOB  2 : 7 :11CD  4 ）CD 2 24 A. B. C. D. 2 2 D【答案】 【解析】 【分析】 根据 COD 求出 的度数，根据 得到半径，运用弧长公式计算 AOC : AOD : DOB  2 : 7 :11 CD  4 即可． 【详解】∵ AOD :DOB  7 :11 ，AOD+DOB 180 ，7∴，AOD  180   70 18 又∵ AOC :AOD  2:7 ，∴∴，AOC  20 COD  90 ，又∵ ，CD  4 16 ∴，OD   2 2 2n    OD 90    2 2 ∴  = CD ．2 180 180 故答案选 D． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算，通过已知条件计算出圆心角和半径是解题的关键． 10. 下列命题正确的是（ ）x2  4 x  2 A. 若分式 的值为 0，则 x 的值为±2． B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小． aba 1 b 1 ＞C. 若 D. 若 ，则 ．b  a  0 2，则一元二次方程 有实数根． c  2 x  2x  3  c D【答案】 【解析】 【分析】 A 选项：当 x=2 时，分式无意义； B 选项：1 的算数平方根还是 1； C 选项：可以让 b=2，a=1，代入式子中即可做出判断； 根据根的判别式可得到结论． 【详解】A 选项：当 x=2 时，分式无意义，故 A 选项错误； B 选项：1 的算数平方根还是 1，不符合“一个正数的算术平方根一定比这个数小”，故 B 选项错误； C 选项：可以假设 b=2，a=1，满足 ，代入式子中，通过计算发现与结论不符，故 C 选项错误； b  a  0 22D 选项： ，当 时， ，一元二次方程有实数根，故 D 选项 =b  4ac  4c 8  0 c  2 x  2x  3 c  0 正确． 故本题选择 D． 【点睛】本题主要考查分式值为 0时的条件、算数平方根、不等式的性质及一元二次方程根的判别式问题， 掌握分式的意义、算数平方根、不等式的性质及一元二次方程根的判别式的知识是解答本题的关键． 3B,C 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y  x  3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 是线段 上一点， AB 2kCE  y SBEC : SCDA  4:1 y  (x  0) ．若双曲线 经过 过点 C 作CD  x 轴，垂足为 D， 轴，垂足为 E， x点 C，则 k 的值为（ ）4A. 34255D. B. C. 32A【答案】 【解析】 【分析】 33y  x  3  x  3 )，证明 由直线 求出 OA，OB 的长，设出 C(x， ，得出 CE，CD 的长， BEC ~CDA 22进而得出结论． 3y  3 y  0 y  x  3 【详解】解：对于 ，当 x  0 时， ；当 时， x  2 ，2B(0,3) A(2，0) ，，OA  2 OB  3 3C x， x  3 设，2根据题意知，四边形 ODCE 是矩形， 3OE  CD  x  3 ，CE  OD  x 2 AD  2  x CE  y 轴，CD  x 轴， ，BEC  CDA  90 ，ACD  DAC  90 BCE  ACD  90 ，，BCE  DAC ，BEC ~CDA 2SBEC SCDA CE AD 41CE  2 AD x 2 2  x 4x  解得： 34x  经检验， 是原方程的根， 33 4 CD   3 1 2 3 4C ,1 3ky  (x＞0) ∵点 C 在反比例函数 的图象上， xk431 43k  ，即 ，故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质以及待定系数法求函数的 解析式等，难度适中，正确求得 C 的坐标是关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． A, B 为圆心，以大 12. 如图，在 中， ，ACB  90 BC  AC ，按以下步骤作图：（1）分别以点 RtABC 12M , N AB 于交的长为半径作弧，两弧相交于 两点（点 M 在 的上方）；（2）作直线 交于点 O， AB MN AB AD, AE, BE ，过点 O 作OF  AC ，垂足 OM OE =OD ．连接 BC 于点 D；（3）用圆规在射线 上截取 为 F，交 于点 G．下列结论： AD 222S 2SAOG AC  6,OF  OA  9 ①；② ；③ ；④若 ，则四边形 CD  2GF ADBE BD  CD  AC BOE 的周长为 25．其中正确的结论有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 D【答案】 【解析】 【分析】 证明四边形 ADBE 是菱形，推出 FG 是△ACD 的中位线，即可得到 ，由此判断①；根据菱形的 CD  2GF 22性质得到 AD=BD，再利用 Rt△ACD 得到 2 ，即可判断②；根据 FG 是△ACD 的中位线， AD CD  AC 222 ，求出 OA=5 得到 S 2SAOG ，即可判断③；设 OA=x，则 OF=9-x，根据 证得 OA  OF  AF AOD 25 22AB=10，BC=8，再根据 2 ，求出 BD= ，即可判断④. BD  CD  AC 4【详解】由题意知：MN 垂直平分 AB， ∴OA=OB，ED⊥AB， ∵OD=OE， ∴四边形 ADBE 菱形， 是∵OF  AC ，，ACB  90 ∴OF∥BC，AF=CF， ∴FG 是△ACD 的中位线， ∴，故①正确； CD  2GF ∵四边形 ADBE 是菱形， ∴AD=BD， 222在 Rt△ACD 中， ,AD CD  AC BD2  CD2  AC ∴2 ，故②正确； ∵FG 是△ACD 的中位线， ∴点 G 是 AD 的中点， SSS 2SAOG  SBOE ∴∵∴，AOD AOD BOE ， 2SAOG ，故③正确； ∵AC=6， ∴AF=3， 设 OA=x，则 OF=9-x， 222∵∴，OA  OF  AF x2  (9  x)2  32 ，解得 x=5， ∴AB=10， ∴BC=8， 222∵，BD  CD  AC ∴BD2  (8 BD)2  62 ，25 解得 BD= ，425 4  25 .∴四边形 的周长为 ADBE 4故选：D. 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，菱形的判定及性质定理，勾股定理，三角形的中位线的 判定及性质，三角形中线的性质，这是一道四边形的综合题. 二、填空题：本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．请把答案填在答题卡上对应的横线 上． xx13. 在函数 y  中，自变量 的取值范围是________________． x 3 【答案】 x  3 【解析】 【分析】 xy  在函数 中，分母不为 0，则 x-3≠0，求出 x 的取值范围即可. x 3 xy  【详解】在函数 中，分母不为 0， x 3 则，即 ，x 3  0 x  3 故答案为： .x  3 【点睛】本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分母不为 0 是解决本题的关键. 3 x x  2 2 x x14. 分式方程  1 的解是_____． 5【答案】x= 3【解析】 【分析】 根据分式方程的解题步骤解出即可． 3 x x  2 2 x x 1 【详解】 方程左右两边同乘 x－2,得 3－x－x=x－2． 5移项合并同类项,得 x= ．35经检验, x= 是方程的解． 35故答案为: x= ．3【点睛】本题考查分式方程的解法,关键在于熟练掌握解法步骤注意检验． 215. 计算： ______． ( 3 2)( 3 2)  【答案】 3  2 【解析】 【分析】 先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可． 2【详解】解： ( 3 2)( 3 2) =( 3 2)( 3 2)( 3 2) 22  3  2( 3 2) ==．3  2 故答案为 ．3  2 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法则和平 方差公式是解答本题的关键． 16. 如图，在正方形 ，E 是对角线 上一点， 的延长线交 于点 F，连接 ．若 ，ABCD CD CE BAE  56 BD AE 则CEF  ______ ．【答案】 【解析】 【分析】 先证明 22 ，得到 ，可得到 ，再根据平行线的性 BCE  56 ECF  90  56  34 △ABE  △CBE 质得到 ，可得 ，根据三角形内角和定理即可求解； AFD  56 EFC  124 【详解】∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=CB，AB∥CD， 又∵BD 是角平分线， ∴，ABE  CBE  45 又∵ ，BAE  56 ∴∴，AFD  56 ，EFC  124 在和中， △CBE △ABE AB  CB ABE  CBE  45 BE  BE ，，△ABE  △CBE SAS ∴∴∴，BAE  BCE  56 ，ECF  90  56  34 ∴．CEF 180 EFC  ECF 18012434  22 故答案是 ．22 【点睛】本题主要考查了利用正方形的性质求角度，准确利用三角形全等和三角形内角和定理求解是解题 的关键． 17. 一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字 1，2，3．随机抽取 1 张，放回后再随机 抽取 1 张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为_____． 1【答案】 3【解析】 【分析】 根据题意可得基本事件总 3×3=9，然后再确定抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的事件 数，最后由概率公式计算即可． 【详解】解：分别从标有数字 1、2、3 的 3 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，基本事件总 数 3×3=9，抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的情况有（1，2）、（1，3）和（2，3）3 种情况 3913则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为： ．1故答案为 ．3【点睛】本题考查了运用列举法求概率，运用列举法确定所有情况数和所需情况数是解答本题的关键． 18. AB  2,ABC 的平分线与 BCD 的平分线交于点 E，若点 E 恰好 如图，在平行四边形ABCD 中， 2在边 上，则 2 的值为______． AD BE  CE 【答案】16 【解析】 【分析】 根据平行线的性质和角平分线的性质，得到∠BEC=90°，然后利用勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：如图，在平行四边形ABCD 中， ∴AB  CD  2，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=180° ∵BE、CE 分别是∠ABC 和∠DCB 的角平分线， ∴∠ABE=∠CBE，∠DCE=∠BCE， ∴∠AEB=∠ABE，∠DEC =∠DCE，∠CBE+∠BCE=90° ∴AB=AE=2，DE=DC=2，∠BEC=90°， ∴AD=2+2=4， ∴BC=AD=4， 在 Rt△BCE 中，由勾股定理，得 2222；BE  CE  BC  4 16 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练 掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题． 和是抛物线 y  x2  bx 1上的两点，将抛物线 A 1,m B 5,m 19. 在平面直角坐标系中，已知 y  x2  bx 1的图象向上平移 n（n 是正整数）个单位，使平移后的图象与 x 轴没有交点，则 n 的最小值 为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】 通过 A、B 两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出 b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出 n 的最小值． 【详解】∵A、B 的纵坐标一样, ∴A、B 是对称的两点, 1+5 2bb 2x= =2 ==2 ,∴对称轴 ,即 2a ∴b=﹣4． 2y  x2  4x 1 x2  4x+4 3= x  2 3 ．∴抛物线顶点(2,﹣3)． 满足题意 n 得最小值为 4, 故答案为 4． 的【点睛】本题考查二次函数对称轴 性质及顶点式的变形,关键在于根据对称轴的性质从题意中判断出对称 轴． 20. 如图，在矩形 中， 是对角线， ，垂足为 E，连接 ．若 ADB  30 ，则如 CE ABCD BD AE  BD 的值为_____． tan DEC 3【答案】 2【解析】 【分析】 过 C 向 BD 作垂线，可以构造出一个 30°直角三角△CDF，进而求出 小边 DF=a,并用 a 的代数式表示出其他边，即可求出答案． 【详解】解：过 C 作 CF⊥BD，垂足为 F 点 ，设直角 最△AEB ≌△CFD CDF ∵矩形 ABCD, ADB  30 ABC  BCD  90,DBC  ADB  30, ∴AD∥BC， AB=CD  AE  BD,CF  BD, BAE  ABE  ABE  DBC  90, FBC  FCB  FCB  FCD  90, ∴∠DBC=∠DCF=∠BAE=30° 设 DF=a,则 CF= ，CD= ，BD= 4a ， 2a 3a ∵AE  BD ∴∠AEB=∠CFD=90° ∴，△AEB ≌△CFD ∴EB=DF=a ∴EF= 4a -a-a=2a CF 3∴tan DEC  EF 23故答案是 ．2【点睛】本题主要考察了矩形的性质和解直角三角形知识点，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是 解题关键． 三、解答题：本大题共有 6 小题，共 60 分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在 答题卡的对应位置． 21. 我国 技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款 产品，为了解用户对该产品的满意度，随 5G 5G 机调查了 30 个用户，得到用户对该产品的满意度评分如下（单位：分）： 83 92 68 55 77 71 73 62 73 95 92 94 72 64 59 66 71 75 69 86 87 79 81 77 68 82 62 77 61 88 整理上面的数据得到尚不完整的频数直方图（如图）．请根据所给信息，解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）参与调查的一个用户说：“我的满意度评分在这 30 个用户中是中位数”，该用户的满意度评分是_____ 分； （3）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 60 分 60 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计使用该公司这款 产品的 1500 个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数． 5G 【答案】（1）见详解；（2）74；（3）200 人 【解析】 【分析】 （1）由题意，求出满意度在 90~100 之间的频数，补全条形图即可； （2）把数据从小到大排列，找出第 15、16 和数，即可求出中位数； （3）求出非常满意的百分比，然后乘以 1500 即可得到答案； 【详解】解：（1）根据题意，满意度在 70~80 之间的有：77、71、73、73、72、71、75、79、77、77，共 10 个； 满意度在 90~100 之间的有：92、95、92、94，共 4 个； 补全条形图，如下： （2）把数据从小到大进行重新排列，则 第 15 个数为：73， 第 16 个数为：75， 73 75  74 ∴中位数为： ；2故答案为：74． （3）根据题意， 41500 200 ，30 ∴在 1500 个用户中满意度等级为“非常满意”的人数大约为 200 人． 【点睛】本题考查了直方图，频数分布直方表，用样本估计总体，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握 所学的知识，正确对题意进行分析解答． 22. 如图，一个人骑自行车由 A 地到 C 地途经 B 地当他由 A 地出发时，发现他的北偏东 方向有一电视塔 P， 45 他由 A 地向正北方向骑行了 到达 B 地，发现电视塔 P 在他北偏东 方向，然后他由 B 地向北偏东 75 3 2km C 地． 15方向骑行了 6km 到达 （1）求 A 地与电视塔 P 的距离； （2）求 C 地与电视塔 P 的距离． 【答案】（1）AP= ；（2）6 3 3 3 【解析】 【分析】 （1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，过点 B 作 BE⊥AP 于点 E，求出 AE=BE=3； （2）先利用三角函数求出 BP=6，继而根据方位角求得∠CBP=60°，结合 BC=6，即可证得△BCP 是等边三 角形，从而求得答案． 【详解】（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°， 过点 B 作 BE⊥AP 于点 E，如图， 在 Rt△ABE 中，∠ABE=90°-45°=45°， ∴AE=BE， ∵，AB  3 2 ∴AE=BE=3， 在 Rt△BEP 中，∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°， ∴PE= ，BE tan 60 3 3 ∴AP=AE+PE= ；3 3 3 （2）∵BE=3，∠BEP=90°，∠EBP=60°， BE cos60  6 ∴BP= ，又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6， ∴△BCP 是等边三角形， ∴CP=BP=6． 【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，方位角的运用，等边三角形的判定及性质，根据题意明确各 角度及线段，正确计算即可解决问题． A, B 的两种商品，A 种商品 销售单价比B 种商品的销售单价少 40 元，2 件 A 种商品和 3 件 B 23. 某商店销售 种商品的销售总额为 820 元． （1）求 A 种商品和 B 种商品的销售单价分别为多少元？ A, B A, B 两种商品的进价总额不超过 7800 元，已知 A 种商品 （2）该商店计划购进 两种商品共 60 件，且 和 B 种商品的每件进价分别为 110 元和 140 元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？ 【答案】（1）A 种商品和 B 种商品的销售单价分别为 140 元和 180 元．（2）A 进 20 件，B 进 40 件时获得利 润最大． 【解析】 【分析】 （1）设 A 和 B 的销售单价分别是 x 和 y，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设 A 进货 m 件，根据题意可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】（1）设 A 种商品和 B 种商品的销售单价分别为 x 元和 y 元， x  y  40 根据题意可得 ，2x  3y  820 x  140 解得 ，y  180 ∴A 种商品和 B 种商品的销售单价分别为 140 元和 180 元． 60- m （2）设购进 A 商品 m 件，则购进 B 商品 件， 110m  140 60 m  7800 根据题意可得： ，解得： m  20 ，w  140m  180 60 m  110m  140 60 m ，令总利润为 w，则 ， 10m  2400 ∴当 m  20 时，获得利润最大，此时 ，60- m  60  20  40 ∴A 进 20 件，B 进 40 件时获得利润最大． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式与二元一次方程组的实际应用，准确计算是解题的关键． 24. 如图， O O O 是的直径，半径 ，垂足为 O，直线 l 为 的切线，A 是切点，D 是 AC, AG ，已知 上一 OC  AB OA AB E, F O 点， 的延长线交直线 l 于点 是上一点， ．的延长线交 于点 G，连接 CD OB CF 的半径为 3， ，5BF  5AD  4 CE  34 （1）求 （2）求 的长； AE CG 的值及 的长． cosCAG 9 10 510 【答案】（1）AE=2；（2）CG= ，cos∠CAG= 10 【解析】 【分析】 (1)过点 E 作 EH⊥OC，交 OC 的延长线于点 H，证明四边形 AOHE 是矩形得到 EH=OA=3，求得 222，即可得到 AE； CH  CE  EH  ( 34)3  5 (2)先证明△ADE∽△OCD 求得 AD=1.2，OD=1.8，根据 求得 BF=2，CF= 5BF  5AD  4 AF CF 4 10 22，连接 BG，证明△AFC∽△GFB，得到 ，求得 ，即可得到 GF  OC  OF  10 GF BF 59 10 O CG=CF+GF= ，设 CO 延长线交 于点 N，连接 GN，则∠CNG=∠CAG，在 Rt△CGN 中，求得 NG= 5NG CN 10 3 10 5CN2 CG2  ，即可得到 cos∠CAG=cos∠CNG= .10 【详解】(1)过点 E 作 EH⊥OC，交 OC 的延长线于点 H， O ∵直线 l 为 的切线，A 是切点， ∴OA⊥AE， ∵OC⊥AB， ∴∠EHO=∠OAE=∠AOH=90°， ∴四边形 AOHE 是矩形， ∴EH=OA=3，AE=OH， ∵∴,CE  34 222,CH  CE  EH  ( 34)3  5 ∴AE=OH=CH-OC=2； (2)∵∠OAE=∠AOC=90°， ∴OC∥AE， ∴△ADE∽△OCD， AD AE 23∴，OD OC ∴AD=1.2，OD=1.8， ∵，5BF  5AD  4 ∴BF=2， ∴OF=1， 22∴AF=4，CF= 连接 BG， ，OC  OF  10 ∵∠ACF=∠B，∠AFC=∠GFB， ∴△AFC∽△GFB， AF CF ∴∴，GF BF 410 ，GF 24 10 5∴，GF  9 10 5∴CG=CF+GF= 设 CO 延长线交 ，O 于点 N，连接 GN，则∠CNG=∠CAG， 9 10 在 Rt△CGN 中，∠CGN=90°，CN=6，CG= ,53 10 CN2 CG2  ∴NG= ，5NG 3 101 10 10 ∴cos∠CAG=cos∠CNG= .  CN 56【点睛】此题考查矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，圆切线的性质定理，圆周角定理，相似三角形 的判定及性质，锐角三角函数解直角三角形，熟记各定理并熟练运用解题，正确连接辅助线是解此题的关 键. AC  4, BC  2 25. 如图，在 中， ，，绕点 C 按顺时针方向旋转得到 RtABC ACB  90 RtABC   Rt△A B C ，与交于点 D． A C AB   A B/ /AC BE  A C （1）如图，当 时，过点 B 作 ，垂足为 E，连接 ．AE ①求证： ；AD  BD SACE SABE ②求 的值； DN NM  ，交 于点 N，交 的延长线于点 M，求 AC （2）如图，当 时，过点 D 作 A C  AB B C DM / /A B 的值． 1【答案】（1）①见解析；② ；（2）3 3【解析】 【分析】 （1）①根据旋转性质可知∠A=∠A´，根据平行线的性质可知∠ACA´=∠A´，得到∠A=∠ACA´，推出 AD=CD，再由等角的余角相等可得∠BCD=∠CBD，推出 CD=BD，最后推出结论； ②在 Rt△BCE 中，BC=2，可根据相似三角形的判定和性质求出 BE、CE 的长，过点 E 作 EM⊥AC 于 M， 则可求出 EM，即可求得 S△BEC、S△ACE、S△ABC、S△ABE，进而求得答案； （2）根据勾股定理求出 AB 长，根据三角形面积相等求出 CD，由相似三角形的判定可知△CDB∽△ADC， CD CN 推出 CD2=BD·AD，求得 AD 的值，根据平行线分线段成比例定理可知 ，求出 CN，由 B´C∥A A CB C CN MN DN NM 得出 的值，进而求得 的值即可． AD MD   绕点 C 按顺时针方向旋转得到 Rt△A B C ， 【详解】（1）①∵ ∴∠A=∠A´，   RtABC ∵A B/ /AC ∴∠ACA´=∠A´， ∴∠ACA´=∠A， ∴AD=CD， ∵∠ACD+∠BCD=90°，∠A+∠ABC=90° ∴∠BCD=∠ABC ∴BD=CD ∴AD=BD， ②∵∠BCD=∠ABC=∠CEM，∠ACB=∠BEC=∠EMC=90° ∴△ACB∽△BEC∽△CME，BC=2，AC=4 BC EC EM 2412∴AC BC CM 设 CE=x，在 Rt△CEB 中，BE=2x，BC=2， 2则2x  x2  22 2 5 2 5 54 5 5解得 即，BE= x  EC  525同理可得：EM= 11 25 45 45∴S△BEC = EC  BE   225511245 AC  EM  4  S△ACE =21215 AC  BC  42  4 S△ABC =224 4 12 4    △ABE= S△ABC-S△ACE-S△BEC= S5 5 54SACE SABE 13512 ∴=5（2）在 Rt△ABC 中，BC=2，AC=4， 22 +42 =2 5 1则 AB= 124= 2 5CD ∴2245解得：CD= 5∵∠A=∠BCD，∠ADC=∠BDC ∴△ADC∽△BDC ∴CD2=BD·AD 2 4即5= 2 5-AD  AD 5855解得：AD= ∵DM∥A´B´∴∠A´=∠CDM，∠A´CB´=∠DAN ∴△CDN∽△CA´B´ 4CN CD 5CD 25∴，即 5CN   B C  2  5B CA C A C 4∵∠ADC=∠A´CB´=90° ∴CN∥AB 25MN CN 1458==∴DM AD 58DM  4 ∴∴NM DN  3 NM 【点睛】本题考查是三角形旋转综合题，涉及到旋转的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行 线分线段成比例定理、三角形的面积、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解题的 关键． 126. y = x2 – 2x 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过坐标原点，与 x 轴正半轴交于点 A，该抛物线的 OM 31y  x  b 顶点为 M，直线 经过点 A，与 y 轴交于点 B，连接 ．2（1）求 b 的值及点 M 的坐标； （2）将直线 向下平移，得到过点M 的直线 y  mx  n D 2,0 ，且与 x 轴负半轴交于点 C，取点 ，连 交于 AB 接，求证： ：ADM  ACM  45 DM OM 的延长线与线段 （3）点 E 是线段 上一动点，点 F 是线段 上一动点，连接 ，线段 OA AB EF EF 点 G．当 时，是否存在点 E，使得 ？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在， BEF  2BAO 3GF  4EF 请说明理由． 备用图 9234【答案】（1）b=3，M（3，-3）；（2）详见解析；（3）点 E 的坐标为（ ，）. 【解析】 【分析】 11y = x2 – 2x y = x2 – 2x （ 1 ） 将 配 方 后 可 得 顶 点M 的 坐 标 ， 利 用 求 出 点A 的 坐 标 后 代 入 331y  x  b 即可求出 b 的值； 232321212（2）先求出平移后的直线 CM 的解析式为 y=- x，过点 D 作 DH⊥直线 y=- x，得到直线 DH 1y  x  2y  2x  4 32的解析式为 y=2x-4，根据 求出交点 H（1，-2），分别求得 DH= ，DM= ，根据 510 DH DM 12sin∠DMH= 得到∠DMH=45°，再利用外角与内角的关系得到结论； （3）过点 G 作 GP⊥x 轴，过点 E 作 EQ⊥x 轴，先求出 AB= ，根据 得到 BEF  2BAO 3 5 6 5 512 5 5∠BAO=∠AFE，设 GF=4a，则 AE=EF=3a，证明△AEQ∽△ABO，求得 AQ= a，AF= a，再证 8 5 54 5 54 5 58 512 5 △FGP∽△AEQ，得到 FP= a，OP=PG= ，由此得到 +aa+ a=6，求出 a 得到 AQ= a559136 5 5532的中，得 y= ，即可得到点 E 坐标. y  x  3 ，将 x= 代入 242411y = x2 – 2x (x 3)2 3 【详解】（1）∵ =，33∴顶点 M 的坐标为（3，-3）. 1y = x2 – 2x 令中 y=0，得 x1=0，x2=6， 3∴A（6,0）， 将点 A 的坐标代入 ∴b=3； 1y  x  b 中，得-3+b=0， 21y  mx  n （2）∵ y  x  3 由平移得来， 21∴m=- ，2∵过点 M(3，-3), 33 n  3 ∴，解得 n= ，223212∴平移后的直线 CM 的解析式为 y=- x.321过点 D 作 DH⊥直线 y=- x ，2∴设直线 DH 的解析式为 y=2x+k，将点 D（2,0）的坐标代入，得 4+k=0， ∴k=-4， ∴直线 DH 的解析式为 y=2x-4. 1y  x  2y  2x  4 32x 1 解方程组 ，得 ，y  2 ∴H（1，-2）. ∵D(2，0)，H(1，-2)， ∴DH= ，5∵M(3，-3)，D（2,0）, ∴DM= ，10 DH DM 2∴sin∠DMH= ，2∴∠DMH=45°， ∵∠ACM+∠DMH=∠ADM， ∴；ADM  ACM  45 （3）存在点 E， 过点 G 作 GP⊥x 轴，过点 E 作 EQ⊥x 轴， ∵A(6，0)，B（0,3）, ∴AB= .3 5 ∵，∠BEF=∠BAO+∠AFE， BEF  2BAO ∴∠BAO=∠AFE， ∴AE=EF， ∵∴，3GF  4EF GF EF 43，设 GF=4a，则 AE=EF=3a， ∵EQ⊥x 轴， ∴EQ∥OB， ∴△AEQ∽△ABO， AQ AE ∴∴，AO AB AQ 3a ，63 5 6 5 5∴AQ= a， 12 5 5∴AF= a. ∵∠AFE=∠PFG， ∴△FGP∽△AEQ， GF FP ∴,AE AQ 8 5 ∴FP= a， 54 5 5∴OP=PG= ，a4 5 8 512 5 ∴+a+ a=6, a5555解得 a= ∴AQ= ，46 5 553,429∴OQ= ，29134y  x  3 将 x= 代入 中，得 y= ，229234∴当 时，存在点 E，使得 ，此时点 E 的坐标为（ ，）. BEF  2BAO 3GF  4EF 【点睛】此题考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数平移的性质，两个一次函数交点 坐标与方程组的关系，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质定理，是一道 抛物线的综合题，较难. 本试卷的题干 0635