广西梧州市2018年中考数学真题试题（含解析）

2018 年广西梧州市中考数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选均得零分。） 1．（3 分）﹣8 的相反数是（）118A．﹣8 B．8 C． D． 8【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可．【解答】解：由相反数的定义可知，﹣8 的相反数是﹣（﹣8）=8．故选：B．【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2．（3 分）研究发现，银原子的半径约是 0.00015 微米，把 0.00015 这个数字用科学计数法表示应是（）﹣﹣﹣﹣6455A．1.5×10 B．1.5×10 C．15×10 D．15×10 ﹣n【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学计数法表示，一般形式为 a×10 ，与较大数的科学计数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． ﹣4【解答】解：0.00015=1.5×10 故选：A．，﹣n【点评】本题考查用科学计数法表示较小的数，一般形式为 a×10 ，其中 1≤ |a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 3．（3 分）如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F， DE= 6，则 DF 的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．6 1【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．【解答】解：∵BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE=DF=6，故选：D．【点评】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 4．（3 分）已知∠A=55°，则它的余角是（ A．25° B．35° C．45° D．55° ）【分析】由余角定义得∠A 的余角为 90°减去 55°即可．【解答】解：∵∠A=55°， ∴它的余角是 90°﹣∠A=90°﹣55°=35°，故选：B．【点评】本题考查了角的余角，由其定义很容易解得． 5．（3 分）下列各式计算正确的是（）11﹣4 3 12 12 3 5 D．（x ） =x A．a+2a=3a B．x •x =xC．（）=﹣ xx【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、负指数幂和合并同类项法则逐个判断即可．【解答】解：A、a+2a=3a，正确； 4 3 7 B、x •x =x ，错误； 11C、（）- =x，错误； x2 3 6 D、（x ） =x ，错误；故选：A．【点评】此题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、负指数幂和合并同类项，关键是根据法则计算． 6．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，A、B、C 三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣ 1，0）、（﹣3，0），将正方形 ABCD 向右平移 3 个单位，则平移后点 D 的坐标是（）2A．（﹣6，2） B．（0，2）C．（2，0） D．（2，2）【分析】首先根据正方形的性质求出 D 点坐标，再将 D 点横坐标加上 3，纵坐标不变即可．【解答】解：∵在正方形 ABCD 中，A、B、C 三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣ 1，0）、（﹣3，0）， ∴D（﹣3，2）， ∴将正方形 ABCD 向右平移 3 个单位，则平移后点 D 的坐标是（0，2），故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化﹣平移，是基础题，比较简单． 7．（3 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称，∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：连接 BB′ ∵△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称， ∴△BAC≌△B′AC′， ∵AB=AC，∠C=70°， ∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°， ∴∠BAC=∠B′AC′=40°， ∵∠CAF=10°， ∴∠C′AF=10°， ∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°， ∴∠ABB′=∠AB′B=40° ．故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠ BAC 度数是解题关键． 38．（3 分）一组数据：3，4，5，x，8 的众数是 5，则这组数据的方差是（ A．2 B．2.4 C．2.8 D．3 ）【分析】根据数据的众数确定出 x 的值，进而求出方差即可．【解答】解：∵一组数据 3，4，5，x，8 的众数是 5， ∴x=5， 112∴这组数据的平均数为 ×（3+4+5+5+8）=5，则这组数据的方差为 ×[（3﹣5） +（4﹣5 55222） +2×（5﹣4） +（8﹣5） ]=2.8．故选：C．【点评】此题考查了方差，众数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 9．（3 分）小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各 1 箱子中随机摸出 1 个，这些球除颜色外无其他差别，从个球，然后放回箱子中轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同的概率是（）1131A． B． C． D． 927 29【分析】画出树状图，利用概率公式计算即可．【解答】解：如图，一共有 27 种可能，三人摸到球的颜色都不相同有 6 种可能， 629∴P（三人摸到球的颜色都不相同）= = ．27 故选：D．【点评】本题考查列表法与树状图，解题的关键是学会利用树状图解决概率问题． 410．（3 分）九年级一班同学根据兴趣分成 A、B、C、D、E 五个小组，把各小组人数分布绘制成如图所示的不完整统计图．则 D 小组的人数是（）A．10 人 B．l1 人 C．12 人 D．15 人【分析】从条形统计图可看出 A 的具体人数，从扇形图找到所占的百分比，可求出总人数．然后结合 D 所占的百分比求得 D 小组的人数． 5【解答】解：总人数= =50（人） D 10% 86.4 小组的人数=50× =12（人）． 360 故选：C．【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，从上面可得到具体的值，以及用样本估计总体和扇形统计图，扇形统计图表示部分占整体的百分比． 11．（3 分）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（）A．3：2 D．8：5 B．4：3 C．6：5 【分析】过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由 DF∥CE DF BD 255DF DG 14得到 ==，则 CE= DF，由 DF∥AE 得到 2==，则 AE=4DF，然后计算 CE DC AE AG AE CE 的值．【解答】解：过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F，如图， ∵DF∥CE， DF BD ∴=CE DC ，而 BD：DC=2：3， DF CE 255∴=，则 CE= DF， 2∵DF∥AE， DF DG ∴=AE AG ，∵AG：GD=4：1， 5DF AE 14∴=，则 AE AE=4DF，∴ =CE 4DF 855DF 2故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 12．（3 分）按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第 100 个数是（ A．9999 B．10000 C．10001 D．10002 ）【分析】观察不难发现，第奇数是序数的平方加 1，第偶数是序数的平方减 1，据此规律得到正确答案即可． 2【解答】解：∵第奇数个数 2=1 +1， 210=3 +1， 226=5 +1， …， 2第偶数个数 3=2 ﹣1， 215=4 ﹣1， 225=6 ﹣1， …， 2∴第 100 个数是 100 ﹣1=9999，故选：A．【点评】本题是对数字变化规律的考查，分数所在的序数为奇数和偶数两个方面考虑求解是解题的关键，另外对平方数的熟练掌握也很关键．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）式子 x 3 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x≥3 ．【分析】直接利用二次根式的有意义的条件得出 x 的取值范围，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：x﹣3≥0，解得：x≥3． 6故答案为：x≥3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 14．（3 分）如图，已知在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC=6cm，则 DE 的长度是 3cm．【分析】根据三角形中位线定理解答．【解答】解：∵D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， 1∴DE= BC=3cm， 2故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． k15．（3 分）已知直线 y=ax（a≠0）与反比例函数 y= （k≠0）的图象一个交点 x坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是（﹣2，﹣4）．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此进行解答．【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点（2，4）关于原点对称， ∴该点的坐标为（﹣2，﹣4）．故答案为：（﹣2，﹣4）．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数． 16．（3 分）如图，已知在⊙O 中，半径 OA= AB 交于点 C，则∠ACO= 81 度． 2 ，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与 7【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB 的形状，由圆周角定理可以求得 ∠BOD 的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得∠AOC 的度数．【解答】解：∵OA= 2 ，OB= 2 ，AB=2， 2 2 2 ∴OA +OB =AB ，OA=OB， ∴△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB=90°， ∴∠OBA=45°， ∵∠BAD=18°， ∴∠BOD=36°， ∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°，故答案为：81．【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 17．（3 分）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高 OC 的长度是4 2．【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出 OA，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为 r， 8∵AC=6，∠ACB=120°， 120 6 ∴l  =2πr， 180 ∴r=2，即：OA=2，在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC= AC2 OA2 =4 2 ，故答案为：4 2 ．【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，求出 OA 是解本题的关键． 18．（3 分）如图，点 C 为 Rt△ACB 与 Rt△DCE 的公共点，∠ACB=∠DCE=90°，连接 AD、BE，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，延长 FC 交 BE 于点 G．若 AC=BC=25，CE=15， DC=20，则 EG BG 34的值为．【分析】过 E作EH⊥GF 于H，过 B作BP⊥GF 于EG EH P，依据△EHG∽△BPG，可得 =，再根据△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，即可得到 BG BP 3EG BG 34EH= CF，BP=CF，进而得出 4=．【解答】解：如图，过 E 作 EH⊥GF 于 H，过 B 作 BP⊥GF 于 P，则∠EHG=∠BPG=90°，又∵∠EGH=∠BGP， ∴△EHG∽△BPG， EG EH ∴=，BG BP ∵CF⊥AD， ∴∠DFC=∠AFC=90°， ∴∠DFC=∠CHF，∠AFC=∠CPB，又∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠CDF=∠ECH，∠FAC=∠PCB， ∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP， 9EH CEBP BC ∴,1 CF DCCF CA 3∴EH= CF，BP=CF， 4EH BP EG BG 3∴=，43∴=，43故答案为：．4【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行推算．三、解答题（本大题共 8 小题，满分 66 分，） 5 3 9 ﹣2 ÷2 +|﹣1|×5﹣（π﹣3.14） 019．（6 分）计算：【分析】依据算术平方根的定义、有理数的乘方法则、绝对值的性质、有理数的乘法法则、零指数幂的性质进行计算，最后，再进行加减计算即可．【解答】解：原式=3﹣32÷8+5﹣1=3﹣4+5﹣1=3．【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 220．（6 分）解方程：2x ﹣4x﹣30=0．【分析】利用因式分解法解方程即可； 2【解答】解：∵2x ﹣4x﹣30=0， 2∴x ﹣2x﹣15=0， ∴（x﹣5）（x+3）=0， ∴x =5，x =﹣3． 21【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法，属于中考基础题． 10 21．（6 分）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA 求出△AOE≌△COF，即可得出答案．【解答】证明：∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， ∴AO=CO，AD∥BC， ∴∠EAC=∠FCO，在△AOE 和△COF 中 EAO  FCO AO  OC AOE  COF ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 3x  6  x x  3 22 8分）解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式 •4x  5 x 1 x2  2x 1 p10 2xx 3 （﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值． x  3 x2 9 【分析】先解不等式组求得 x 的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，最后选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得．【解答】解：解不等式 3x﹣6≤x，得：x≤3， 4x  5 x 1 解不等式＜，得：x＞0， 10 2则不等式组的解集为 0＜x≤3，所以不等式组的整数解为 1、2、3， x  3 x2 3x (x 1)2 (x  3)(x 3) (x  3)(x 3) x 3 原式= •[ ]x  3 (x 1)(x 3) ==•(x 1)2 (x  3)(x 3) 1x 1 11 ∵x≠±3、1， ∴x=2，则原式=1．【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，正确进行分式的混合运算是解题关键． 23．（8 分）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 GF=17.6m（注：C、G、F 坡角∠ECD=40°．求瀑布 AB 的高度．（参考数据： ≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17， 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG=27m，三点在同一直线上，CF⊥AB 于点 F）．斜坡 CD=20m， 3cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【分析】过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN ⊥AB，交 AB 于点 N，在 Rt△ CMD 的长度，再在的长度，结合 AB=AN+BN 中，通过解直角三角形可求出 CM 的长度，进而可得出 MF、DN Rt△BDN、Rt△ADN 中，利用解直角三角形求出 BN、AN 即可求出瀑布 AB 的高度．【解答】解：过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点图所示． M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，如在 Rt△CMD 中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°， ∴CM=CD•cos40°≈15.4m，DM=CD•sin40°≈12.8m， ∴DN=MF=CM+CG+GF=60m．在 Rt△BDN 中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m， ∴BN=DN•tan10°≈10.8m．在 Rt△ADN 中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m， ∴AN=DN•tan30°≈34.6m． ∴AB=AN+BN=45.4m．答：瀑布 AB 的高度约为 45.4 米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通过解直角三角形求出 AN、BN 的长度是解题的关键． 12 24．（10 分）我市从 2018 年 1 月 1 日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入 8 万元购进 A、B 两种型号的电动自行车共 30 辆，其中每辆 B 型电动自行车比每辆 A 型电动自行车多 500 元．用 5 万元购进的 A 型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数量一样．（1）求 A、B 两种型号电动自行车的进货单价；（2）若 A 型电动自行车每辆售价为 2800 元，B 型电动自行车每辆售价为 3500 元，设该商店计划购进 A 型电动自行车 m 辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润 y 元．写出 y 与 m 之间的函数关系式；（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？【分析】（1）设 A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元（x+500）元，构建分式方程即可解决问题；（2）根据总利润=A 型两人+B 型的利润，列出函数关系式即可；（3）利用一次函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）设 A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元（x+500）元． 50000 60000 由题意： x解得 x=2500， =，x+500 经检验：x=2500 是分式方程的解．答：A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 2500 元 3000 元．（2）y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000（20≤m≤30），（3）∵y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000， ∵﹣200＜0，20≤m≤30， ∴m=20 时，y 有最大值，最大值为 11000 元．【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 25．（10 分）如图，AB 是⊙M 的直径，BC 是⊙M 的切线，切点为 B，C 是 BC 上（除 B 点外）的任意一点，连接 CM 交⊙M 于点 G，过点 C 作 DC⊥BC 交 BG 的延长线于点 D，连接 AG 并延长交 BC 于点 E．（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）若 MB=BE=1，求 CD 的长度．【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；（2）利用勾股定理和面积法得到 AG、GE，根据三角形相似求得 GH，得到 MB、 GH 和 CD 的数量关系，求得 CD．【解答】（1）证明：∵BC 为⊙M 切线 ∴∠ABC=90° ∵DC⊥BC 13 ∴∠BCD=90° ∴∠ABC=∠BCD ∵AB 是⊙M 的直径 ∴∠AGB=90° 即：BG⊥AE ∴∠CBD=∠A ∴△ABE∽△BCD （2）解：过点 G 作 GH⊥BC 于 H ∵MB=BE=1∴AB=2 ∴AE= AB2  BE2  5 由（1）根据面积法 AB•BE=BG•AE 2 5 ∴BG= 5由勾股定理： 4 5 55AG= ，GE= 5∵GH∥AB GH GE ∴AB AE 5GH 55 5 5∴225∴GH= 又∵GH∥AB HC GH ①BC MB BH GH 同理： BC DC ②HC  BH GH GH +①+②，得 BC MB DC GH GH ∴+=1 MB DC 2∴CD= 3【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形． 14 15 9226．（12 分）如图，抛物线 y=ax +bx﹣ 与 x 轴交于 A（1，0）、B（6，0）两点， 2D 是 y 轴上一点，连接 DA，延长 DA 交抛物线于点 E．（1）求此抛物线的解析式；（2）若 E 点在第一象限，过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，△ADO 与△AEF 的面积比为 SADO SAEF 19=，求出点 E 的坐标；（3）若 D 是 y 轴上的动点，过 D 点作与 x 轴平行的直线交抛物线于 M、N 两点， 2是否存在点 D，使 DA =DM•DN？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得 AF 的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据两点间距离，可得 AD 的长，根据根与系数的关系，可得 x •x ，根据 1 2 2DA =DM•DN，可得关于 n 的方程，根据解方程，可得答案． 9a  b  0 2【解答】解：（1）将 A（1，0），B（6，0）代入函数解析式，得 936a  6b  0 23421 4a=  解得，b=  321 922抛物线的解析式为 y=﹣ x +x﹣ 4；4（2）∵EF⊥x 轴于点 F， ∴∠AFE=90°． ∵∠AOD=∠AFE=90°，∠OAD=∠FAE， ∴△AOD∽△AFE． SADO AO 19∵==SAEF AF ∵AO=1， ∴AF=3，OF=3+1=4， 16 17 321 9 9 2当 x=4 时，y=﹣ ×4 +×4﹣ = 4，42 2 9∴E 点坐标是（4，）， 22（3）存在点 D，使 DA =DM•DN，理由如下：设 D 点坐标为（0，n）， 22AD =1+n ， 321 92当 y=n 时，﹣ x +x﹣ =n 2化简，得 442﹣3x +21x﹣18﹣4n=0，设方程的两根为 x ，x ， 1 2 18 4n x •x = 1 2 3DM=x ，DN=x ， 2118 4n 22DA =DM•DN，即 1+n = ，3化简，得 523n ﹣4n﹣15=0，解得n1= ，n2=3， 35∴D 点坐标为（0，﹣ ）或（0，3）． 3【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出数的关系得出 x •x ，又利用了解方程． AF 的长；解（3）的关键是利用根与系 1 2 18