2017年四川省泸州市中考数学试卷（含解析版）

2017年四川省泸州市中考数学试卷一、选择题（每题3分，共36分） 1．（3分）﹣7的绝对值是（　　） A．7 B．﹣7 C． D．﹣ 2．（3分）“五一”期间，某市共接待海内外游客约567000人次，将567000用科学记数法表示为（　　） A．567×103 B．56.7×104C．5.67×105D．0.567×106 3．（3分）下列各式计算正确的是（　　） A．2x•3x=6x B．3x﹣2x=x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x 4．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） A． 5．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 B． C． D． 6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（　　）A． B．2 C．6 D．8 7．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．四边都是相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是矩形第1页（共26页） 8．（3分）下列曲线中不能表示y与x的函数的是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S= ，其中p= ；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S= 形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　），若一个三角 A． B． C． D． 11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　） A． B． C． D． 12．（3分）已知抛物线y= x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y= x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 　二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）第2页（共26页） 13．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是　　． 14．（3分）分解因式：2m2﹣8=　 15．（3分）若关于x的分式方程　． +=3的解为正实数，则实数m的取值范围是　　．16．（3分）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD =2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为　　　cm．三、解答题（每题6分，共18分） 17．（6分）计算：（﹣3）2+20170﹣ ×sin45°． 18．（6分）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证： AB=DE． 19．（6分）化简： •（1+ ）第3页（共26页）　四、本大题共2小题，每小题7分，共14分 20．（7分）某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐数量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；（3）估计该单位750名职工共捐书多少本？ 21．（7分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．　第4页（共26页）五、本大题共2小题，每小题8分，共16分. 22．（8分）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmi le到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．23．（8分）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y=﹣ 的图象交于点B（a，4）（1）求一次函数的解析式；（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1=k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2= 的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．　六、本大题共两个小题，每小题12分，共24分 24．（12分）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．（1）求证：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．第5页（共26页） 25．（12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0 ）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若 △PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．　第6页（共26页） 2017年四川省泸州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共36分） 1．（3分）（2017•泸州）﹣7的绝对值是（　　） A．7 B．﹣7 C． D．﹣ 【分析】根据绝对值的性质解答，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．【解答】解：|﹣7|=7．故选A．【点评】本题考查了绝对值的性质，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零．　2．（3分）（2017•泸州）“五一”期间，某市共接待海内外游客约567000人次，将567000 用科学记数法表示为（　　） A．567×103 B．56.7×104C．5.67×105D．0.567×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：567000=5.67×105，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　3．（3分）（2017•泸州）下列各式计算正确的是（　　） A．2x•3x=6x B．3x﹣2x=x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x 第7页（共26页）【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=6×2，不符合题意； B、原式=x，符合题意； C、原式=4×2，不符合题意； D、原式=3，不符合题意，故选B 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　4．（3分）（2017•泸州）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） A． B． C． D．【分析】根据左视图是从左边看到的图形解答．【解答】解：左视图有2行，每行一个小正方体．故选D．【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．　5．（3分）（2017•泸州）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得 a=4，b=﹣1， a+b=3，故选：C．第8页（共26页）【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．　6．（3分）（2017•泸州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD 的长是（　　） A． B．2 C．6 D．8 【分析】根据垂径定理，可得答案．【解答】解：由题意，得 OE=OB﹣AE=4﹣1=3， CE=CD= =，CD=2CE=2 ，故选：B．【点评】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，垂径定理是解题关键．　7．（3分）（2017•泸州）下列命题是真命题的是（　　） A．四边都是相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是矩形【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误； B、矩形的对角线相等，故错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故选D．【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命第9页（共26页）题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．　8．（3分）（2017•泸州）下列曲线中不能表示y与x的函数的是（　　） A． B． C． D．【分析】函数是在一个变化过程中有两个变量x，y，一个x只能对应一个y．【解答】解：当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．选项C中的图形中对于一个自变量的值，图象就对应两个点，即y有两个值与x的值对应，因而不是函数关系．故选C．【点评】考查了函数的概念，理解函数的定义，是解决本题的关键．　9．（3分）（2017•泸州）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S= ，其中p= ；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣ 1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S= 一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　），若 A． B． C． D．【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为2，3，4的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵S= ，∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S= =，第10页（共26页）故选B．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．　11．（3分）（2017•泸州）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　） A． B． C． D．【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF= AF，EF= AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF = DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF= =2 x，再由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵点E是边BC的中点， ∴BE= BC= AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴= ， ∴EF= AF， ∴EF= AE， ∵点E是边BC的中点， ∴由矩形的对称性得：AE=DE， ∴EF= DE，设EF=x，则DE=3x， ∴DF= =2 x， ∴tan∠BDE= = =；第11页（共26页）故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．　12．（3分）（2017•泸州）已知抛物线y= x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y = x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y= x2+1于点P，由PF=PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长取最小值，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△ PMF周长的最小值．【解答】解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y= x2+1于点P，此时△PMF周长最小值， ∵F（0，2）、M（，3）， ∴ME=3，FM= =2， ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．故选C．【点评】本题考查了二次函数的性质以及三角形三边关系，根据三角形的三边关系确定点P 的位置是解题的关键．　二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 13．（3分）（2017•泸州）在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，这些球除了颜第12页（共26页）色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是　．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解；袋子中球的总数为：4+2=6， ∴摸到白球的概率为： = 故答案为：【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相，．同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．　14．（3分）（2017•泸州）分解因式：2m2﹣8=　2（m+2）（m﹣2）　．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．【解答】解：2m2﹣8， =2（m2﹣4）， =2（m+2）（m﹣2）．故答案为：2（m+2）（m﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．　15．（3分）（2017•泸州）若关于x的分式方程值范围是　m＜6且m≠2　． +=3的解为正实数，则实数m的取【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．【解答】解： =3，方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m=3x﹣6， +解得，x= ，由题意得，＞0，解得，m＜6，第13页（共26页） ∵≠2， ∴m≠2，故答案为：m＜6且m≠2．【点评】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．　16．（3分）（2017•泸州）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为　4 　cm．【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．【解答】解：连接AO并延长，交BC于H，由勾股定理得，DE= =2 ，∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线， ∴BC=2DE=4 ，O是△ABC的重心， ∴AH是中线，又BD⊥CE， ∴OH= BC=2 ，∵O是△ABC的重心， ∴AO=2OH=4 故答案为：4 ，．【点评】本题考查的是重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．　三、解答题（每题6分，共18分） 17．（6分）（2017•泸州）计算：（﹣3）2+20170﹣ ×sin45°．第14页（共26页）【分析】首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（﹣3）2+20170﹣ =9+1﹣3 × ×sin45° =10﹣3 =7 【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．　18．（6分）（2017•泸州）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，B C∥EF，求证：AB=DE．【分析】欲证明AB=DE，只要证明△ABC≌△DEF即可．【解答】证明：∵AF=CD， ∴AC=DF， ∵BC∥EF， ∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．第15页（共26页）　19．（6分）（2017•泸州）化简： •（1+ ）【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式= •=．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　四、本大题共2小题，每小题7分，共14分 20．（7分）（2017•泸州）某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐数量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；（3）估计该单位750名职工共捐书多少本？【分析】（1）根据题意列式计算得到D类书的人数，补全条形统计图即可；（2）根据次数出现最多的数确定众数，按从小到大顺序排列好后求得中位数；（3）用捐款平均数乘以总人数即可．【解答】解（1）捐D类书的人数为：30﹣4﹣6﹣9﹣3=8，补图如图所示；（2）众数为：6 平均数为： = 中位数为：6 （4×4+5×6+6×9+7×8+8×3）=6；（3）750×6=4500，即该单位750名职工共捐书约4500本．第16页（共26页）【点评】此题主要考查了中位数，众数，平均数的求法，条形统计图的画法，用样本估计总体的思想和计算方法；要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．　21．（7分）（2017•泸州）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程求解即可；（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙图书柜总费用、总经费W≤1820且购买的甲种图书柜的数量≥乙种图书柜数量列出不等式组，解不等式组即可的不等式组的解集，从而确定方案．【解答】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：，解之得：，答：设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；第17页（共26页）由题意得：解之得：8≤m≤10 因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10 即：学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．【点评】本题主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．　五、本大题共2小题，每小题8分，共16分. 22．（8分）（2017•泸州）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得： ∠BCD=30°，设BC=x，则：在Rt△BCD中，BD=BC•sin30°= x，CD=BC•cos30°= x； ∴AD=30 x， ∵AD2+CD2=AC2，即：（30+ x）2+（ x）2=702，解之得：x=50（负值舍去），答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．第18页（共26页）【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．　23．（8分）（2017•泸州）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y=﹣ 的图象交于点B（a，4）（1）求一次函数的解析式；（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1=k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2= 的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．【分析】（1）根据点B的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）根据“上加下减”找出直线l的解析式，联立直线l和反比例函数解析式成方程组，解方程组可找出交点坐标，画出函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出使y1＜y 2成立的x的取值范围．【解答】解：（1）∵反比例函数y=﹣ ∴4=﹣ ，解得：a=﹣3， ∴点B的坐标为（﹣3，4）．将A（2，﹣6）、B（﹣3，4）代入y=kx+b中，，解得：的图象过点B（a，4），，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣2．（2）直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为：y1=﹣2x+8．联立直线l和反比例函数解析式成方程组，，解得：，，第19页（共26页） ∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2）．画出函数图象，如图所示．观察函数图象可知：当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象在直线l的上方， ∴使y1＜y2成立的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出两函数图象的交点坐标．　六、本大题共两个小题，每小题12分，共24分 24．（12分）（2017•泸州）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．（1）求证：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．【分析】（1）欲证明DF∥OA，只要证明OA⊥CD，DF⊥CD即可；（2）过点作EM⊥OC于M，易知 = ，只要求出EM、FM、FC即可解决问题；第20页（共26页）【解答】（1）证明：连接OD． ∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点， ∴AC=AD，∵OC=OD， ∴OA⊥CD， ∴CD⊥OA， ∵CF是直径， ∴∠CDF=90°， ∴DF⊥CD， ∴DF∥AO．（2）过点作EM⊥OC于M， ∵AC=6，AB=10， ∴BC= =8， ∴AD=AC=6， ∴BD=AB﹣AD=4， ∵BD2=BF•BC， ∴BF=2， ∴CF=BC﹣BF=6．OC= CF=3， ∴OA= =3 ，∵OC2=OE•OA， ∴OE= ，∵EM∥AC， ∴ = = = ，∴OM= ，EM= ，FM=OF+OM= ，∴ = = = ， ∴CG= EM=2．第21页（共26页）【点评】本题考查切线的性质、直径的性质、切线长定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．　25．（12分）（2017•泸州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1， 0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若 △PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D 在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出△ PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S1﹣S 2的最大值．第22页（共26页）【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2；（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1， ∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称， ∴四边形ABDC为等腰梯形， ∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件， ∴D（3，2）；当点D在x轴下方时， ∵∠DBA=∠CAO， ∴BD∥AC， ∵C（0，2）， ∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2， ∴直线AC解析式为y=2x+2， ∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8， ∴直线BD解析式为y=2x﹣8，联立直线BD和抛物线解析式可得 ∴D（﹣5，﹣18）；，解得或，综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；第23页（共26页）（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，设P（t，﹣ t2+ t+2），由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣ x+2， ∴H（t，﹣ t+2）， ∴PH=yP﹣yH=﹣ t2+ t+2﹣（﹣ t+2）=﹣ t2+2t，设直线AP的解析式为y=px+q， ∴，解得，∴直线AP的解析式为y=（﹣ t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣ t， ∴F（0，2﹣ t）， ∴CF=2﹣（2﹣ t）= t，联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x= ，即E点的横坐标为，∴S1= PH（xB﹣xE）= （﹣ t2+2t）（5﹣ ），S2= • • ，∴S1﹣S2= （﹣ t2+2t）（5﹣ ）﹣ • • =﹣ t2+5t=﹣ （t﹣ ）2+ ，∴当t= 时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的第24页（共26页）面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．　第25页（共26页）参与本试卷答题和审题的老师有：bjf；gbl210；sks；星期八；dbz1018；2300680618；王学峰；弯弯的小河；zgm666；家有儿女；曹先生；三界无我；知足长乐；放飞梦想；nhx60 0；Ldt（排名不分先后）菁优网 2017年6月23日第26页（共26页）