2015年辽宁省阜新市中考数学试卷（含解析版）

2015年辽宁省阜新市中考数学试卷一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共18分） 1．﹣3的绝对值是（　　）　 A． 3 B． ﹣ C． ﹣3 D． 2．某几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）　 A． B． C． D． 3．某中学篮球队12名队员的年龄如下表所示： 15 416 517 218 1年龄（岁）人数则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（　　）　 A． 15，15 4．不等式组 B． 15，16 C． 16，16 D． 16，16.5 的解集，在数轴上表示正确的是（　　）　 A．　 C． B． D． 5．反比例函数y= 的图象位于平面直角坐标系的（　　）　 A．第一、三象限B．第二、四象限　 C．第一、二象限D．第三、四象限 6．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（　　）　 A． 30° B． 40° C． 50° D． 60° 　二、填空题（每小题3分，共18分） 7．函数y= 的自变量取值范围是　　　　　　． 8．如图，直线a∥b，被直线c所截，已知∠1=70°，那么∠2的度数为　　　　　　．9．为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为　　　　　　个． 10．如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE交BD于点F，如果S△DEF=a，那么S△BCF=　　　　　　． 11．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为　　　　　　 m（结果保留根号）． 12．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是　　　　　　折．　三、解答题（13、14、15、16题每题10分，17、18题每题12分，共64分） 13．（1）计算：（）﹣2+ ﹣2cos60°；（2）先化简，再求值：（a﹣ ）÷ ，其中a= +1．　14．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（ ﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C 的对应点分别为点B′，C′，（1）画出△AB′C′；（2）写出点B′，C′的坐标；（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．　15．为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查共抽查了　　　　　　名学生，两幅统计图中的m=　　　　　　，n=　　　　　　．（2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选送2人参赛，求选送的两名参赛同学为1男1女的概率是多少？　16．为了丰富学生的体育生活，学校准备购进一些篮球和足球，已知用900元购买篮球的个数比购买足球的个数少1个，足球的单价为篮球单价的0.9倍．（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？（2）如果计划用5000元购买篮球、足球共52个，那么至少要购买多少个足球？　[ ]17．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转 90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E． ①如图b，求证：BE⊥DQ； ②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．源:Z*xx*k.C om] 　18．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0 ，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．　　2015年辽宁省阜新市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共18分） 1．﹣3的绝对值是（　　）　 A． 3 B． ﹣ C． ﹣3 D．考点：绝对值．分析：根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．解答：解：|﹣3|=3，故选：A．点评：本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键．　2．某几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）　 A． B． C． D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据几何体的三视图可以得出几何体，然后判断即可．解答：解：根据题意发现主视图和左视图为矩形，俯视图是一个圆，可以得出这个图形是圆柱．故选B．点评：本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操作能力，较简单．　3．某中学篮球队12名队员的年龄如下表所示： 15 416 517 218 1年龄（岁）人数则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（　　）　 A． 15，15 B． 15，16 C． 16，16 D． 16，16.5 考点：众数；加权平均数．专题：计算题．分析：根据表格中的数据，求出众数与平均数即可．解答：解：根据题意得：这12名队员年龄的众数为16；平均数为 =16，故选C 点评：此题考查了众数，以及加权平均数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．　4．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）　 A． B． C． D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：先解不等式，然后在数轴上表示出解集．解答：解：解不等式1﹣x＜2得，x＞﹣1，解不等式3x≤6得：x≤2，则不等式的解集为：．故选B．点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．　5．反比例函数y= 的图象位于平面直角坐标系的（　　）　 A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限考点：反比例函数的性质．分析：根据反比例函数的图象性质求解．解答：解：∵k=2＞0， ∴反比例函数y= 的图象在第一，三象限内，故选A 点评：此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．　6．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（　　）　 A． 30° B． 40° C． 50° D． 60° 考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．解答：解：∵∠AOB与∠ACB都对，且∠AOB=100°， ∴∠ACB= ∠AOB=50°，故选C 点评：此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．　二、填空题（每小题3分，共18分） 7．函数y= 的自变量取值范围是　x≠2　．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．解答：解：根据题意得，2﹣x≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．　8．如图，直线a∥b，被直线c所截，已知∠1=70°，那么∠2的度数为　110°　．考点：平行线的性质．分析：先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由补角的定义即可得出结论．解答：解：∵直线a∥b，被直线c所截，∠1=70°， ∴∠3=∠1=70°， ∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°．故答案为：110°．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．　9．为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为　20　个．考点：利用频率估计概率．分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解答：解：设暗箱里白球的数量是n，则根据题意得： =0.2，解得：n=20，故答案为：20．点评：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．　10．如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE交BD于点F，如果S△DEF=a，那么S△BCF=　4a　．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△EFD∽△CFB，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△EFD∽△CFB， ∵E是边AD的中点， ∴DE= BC， ∴S△DEF：S△BCF=1：4， ∵S△DEF=a，∴S△BCF=4a，故答案为：4a．点评：本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．　11．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为　10 m（结果保留根号）．　考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．解答：解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°， ∴∠ABC=30°， ∴AC=AB•tan30°=30× =10 （米）． ∴楼的高度AC为10 米．故答案为：10 点评：．本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．　12．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11 本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是　七　折．考点：一次函数的应用．分析：根据函数图象求出打折前后的单价，然后解答即可．解答：解：打折前，每本练习本价格：20÷10=2元，打折后，每本练习本价格：（27﹣20）÷（15﹣10）=1.4元， =0.7，所以，在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是七折．故答案为：七．点评：本题考查了一次函数的应用，比较简单，准确识图并求出打折前后每本练习本的价格是解题的关键．　三、解答题（13、14、15、16题每题10分，17、18题每题12分，共64分） 13．（1）计算：（）﹣2+ ﹣2cos60°；（2）先化简，再求值：（a﹣ ）÷ ，其中a= +1．考点：分式的化简求值；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别根据负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及数的开方法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=2代入进行计算即可．解答：解：（1）原式=4+2﹣2× =6﹣1 =5；（2）原式= =a﹣1， •当a= +1时，原式= +1﹣1= 点评：．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．　14．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（ ﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C 的对应点分别为点B′，C′，（1）画出△AB′C′；（2）写出点B′，C′的坐标；（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．考点：作图-旋转变换；弧长的计算．分析：（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，然后根据网格结构找出点B、C的对应点B′，C′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据图形即可得出点A的坐标；（3）利用AC的长，然后根据弧长公式进行计算即可求出点B转动到点B′所经过的路程．解答：解：（1）△AB′C′如图所示；（2）点B′的坐标为（3，2），点C′的坐标为（3，5）；（3）点C经过的路径为以点A为圆心，AC为半径的圆弧，路径长即为弧长， ∵AC=4， ∴弧长为： ==2π，即点C经过的路径长为2π．点评：本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．　15．为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查共抽查了　120　名学生，两幅统计图中的m=　48　，n=　15　．（2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选送2人参赛，求选送的两名参赛同学为1男1女的概率是多少？考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．分析：（1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数，用总数减去A，C，D类的人数，即可求出m的值，用C类的人数除以总人数，即可得出n的值；（2）用该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数=学校总人数×A类的百分比求解即可；（3）列出图形，即可得出答案．解答：解：（1）这次调查的学生人数为42÷35%=120（人）， m=120﹣42﹣18﹣12=48， 18÷120=15%；所以n=15 故答案为：120，48，15．（2）该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数为：960×35%=336（人），（3）抽出的所有情况如图：两名参赛同学为1男1女的概率为：．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　16．为了丰富学生的体育生活，学校准备购进一些篮球和足球，已知用900元购买篮球的个数比购买足球的个数少1个，足球的单价为篮球单价的0.9倍．（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？（2）如果计划用5000元购买篮球、足球共52个，那么至少要购买多少个足球？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）设篮球、足球的单价分别为x，y元，列出二元一次方程组，即可求出 x和y的值；（2）由（1）中的单价可列出一元一次不等式，解不等式即可得到至少要购买多少个足球．解答：解：（1）设篮球、足球的单价分别为x，y元，由题意列方程组得：，解得：，答：求篮球、足球的单价分别为100，90元；（2）设至少要购买m个足球，由题意得： 52×90+100m≤5000，解得：m≤3.2，所以至少要购买3个足球．点评：此题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解决本题的关键．　17．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转 90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E． ①如图b，求证：BE⊥DQ； ②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．考点：四边形综合题．分析：（1）根据旋转的性质证明∠BCP=∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；（2）①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案； ②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判断△DE P的形状．解答：（1）证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°， ∴∠BCP=∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ；（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ， ∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE， ∴∠DEF=∠BCF=90°， ∴BE⊥DQ； ②∵△BCP为等边三角形， ∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD， ∴∠CPDF=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°， ∴∠EPD=45°，∠EDP=45°， ∴△DEP为等腰直角三角形．点评：本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质是解题的关键．　18．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0 ，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．考点：二次函数综合题．分析：（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x +3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．解答：解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得．故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）． ∵S△AOP=4S△BOC ，∴ ×3×|﹣x2﹣2x+3|=4× ×1×3．整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得x=﹣1或x=﹣1± ．则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+ ，﹣4）或（﹣1﹣ ，﹣ 4）；（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得，解得．即直线AC的解析式为y=x+3．设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）， QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+ ， ∴当x=﹣ 时，QD有最大值．点评：此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．