2015年四川省广元市中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．一个数的相反数是3，这个数是（ ） ﹣3 A BC 3 D﹣．．．．2．（3分）（2015•广元）下列运算正确的是（ ） A ． C ．B3a+2a=5a2 （﹣ab2）3÷（ab2）2=﹣ab2 ．D（2a+b）2=4a2+b2 （2a+b）（2a﹣b）=2a2﹣b2 ．3．（3分）（2015•广元）如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一 定错误的是（ ） A．CE=DE B．AE=OE C． =D．△OCE≌△ODE 4．（3分）（2015•广元）一元一次不等式组 的解集中，整数解的个 数是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 ．．．．5．（3分）（2015•广元）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形 的边数为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 ．．．．6．（3分）（2015•广元）一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°．若 设∠1=x°，∠2=y°，则可得到的方程组为（ ） A． B． C． D． 7．（3分）（2015•广元）下列说法正确的是（ ） A ． B ．为了解我国中学生的体能情况，应采用普查的方式 若甲队成绩的方差是2，乙队成绩的方差是3，说明甲队成绩比乙队成绩稳 定 C ． D ．明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨 一组数据4，6，7，6，7，8，9的中位数和众数都是6 8．（3分）（2015•广元）当0＜x＜1时，x， ，x2的大小顺序是（ ） A ＜x＜x2 x＜x2＜ x2＜x＜ ＜x2＜x BCD．．．．9．（3分）（2015•广元）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90° ，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移 ，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（ ） A 4 B 8 C 16 D 8 ．．．．10．（3分）（2015•广元）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发 ，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y 关于x的函数大致图象是（ ） A BCD．．．．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（2015•广元）一组数据10，13，9，16，13，10，13的众数与平 均数的和是 ． 12．（3分）（2015•广元）若第二象限内的点P（x，y）满足|x|=3，y2=25， 则点P的坐标是 ． 13．（3分）（2015•广元）一个等腰三角形两边的长分别为2cm，5cm，则它 的周长为 cm． 14．（3分）（2015•广元）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点， 点C是 的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD， 分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=G D；③点P是∠ACQ的外心，其中正确结论是 （只需填写序号）． 15．（3分）（2015•广元）从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中抽取一个数， 作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值． 若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ． 三、解答题（共9小题，满分75分） 16．（7分）（2015•广元）计算：（2015﹣π）0+（﹣ ）﹣1+| ﹣1|﹣3tan3 0°+6 ．17．（7分）（2015•广元）先化简：（ ﹣）÷ ，然后解答 下列问题： （1）当x=3时，求原代数式的值； （2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？ 18．（7分）（2015•广元）求证：平行四边形的对角线互相平分（要求：根 据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）． 19．（8分）（2015•广元）图1是某中学九年级一班全体学生对三种水果喜欢 人数的频数分布统计图，根据图中信息回答下列问题： （1）九年级一班总人数是多少人？ （2）喜欢哪种水果人数的频数最低？并求出该频率； （3）请根据频数分布统计图（图1）的数据，补全扇形统计图（图2）； （4）某水果摊位上正好只摆放有这三种水果出售，王阿姨去购买时，随机购 买其中两种水果，恰好买到樱桃和枇杷的概率是多少？用树状图或列表说明． 20．（8分）（2015•广元）某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看 台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手A B及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的低端分别为D 、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）． （1）求点D与点C的高度差DH； （2）求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC的长）． 21．（8分）（2015•广元）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/ 小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米的 时候就造成交通堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/ 千米，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流 密度x的一次函数． （1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度； （2）在某一交通时段，为使大桥上的车流书店大于60千米/小时且小于80千米 /小时，应把大桥上的车流密度控制在什么范围内？ 22．（9分）（2015•广元）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁 丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法 正确吗？请说明理由． 23．（9分）（2015•广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作C D⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA= ，求⊙O的半径． 24．（12分）（2015•广元）如图，已知抛物线y=﹣ （x+2）（x﹣m）（m＞ 0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧． （1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题： ①求出△ABC的面积； ②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标； （3）在第四现象内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三 角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 2015年四川省广元市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．一个数的相反数是3，这个数是（ ） ﹣3 A BC 3 D﹣．．．．【答案】D 【考点】本题考查了相反数的概念 【解答】3的相反数是 -3 【错点】不要将相反数和倒数的概念搞混 【星级】★ 2．（3分）（2015•广元）下列运算正确的是（ ） A ． C ．B3a+2a=5a2 （﹣ab2）3÷（ab2）2=﹣ab2 ．D（2a+b）2=4a2+b2 （2a+b）（2a﹣b）=2a2﹣b2 ．【答案】A 【考点】本题考查了代数式的基本运算 【解答】A：将 ab2 看做一个整体，那么 (ab2 )3 (ab2 )2 (ab2 )3 (ab2 )2 ab2 ，所以A的运算是正确的，基础比较好的同学至此可以完成本题的解答。 但也有时候由于忽略了某方面的因素，自己以为是正确的答案其实是错 的，为此，我们可以继续查看其它各选项有否问题： B：3a C：根据乘法公式：(2a b)(2a b) (2a)2 b2 4a2 b2 ，所以 D. 同样根据乘法公式：(2a b)2 (2a)2 2 2a b b2 4a2 4ab b2 B和 ； 2a 是同类项，根据合并同类项法则：3a 2a 5a ，所以 C；，D。【错点】同类项的合并、同底数幂的乘法和单项式的乘方，是不同性质的运算 ，刚开始学习相关内容时，比较容易将之搞混； 在C和D中使用到了相关的乘法公式，如果这些公式不熟悉，那么也可以 不使用公式，而就按照一般的多项式和多项式相乘的法则进行运算，也 可获得同样的结果。 【星级】★★ 3．（3分）（2015•广元）如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一 定错误的是（ ） A．CE=DE B．AE=OE C． 【答案】B =D．△OCE≌△ODE 【考点】本题考查了圆的性质 【考点】垂直于弦的直径，平分这条弦和这条弦所对的优（劣）弧 【解答】因为AB是直径，且AB⊥CD，所以AB平分弦CD以及CD所对的优弧， 所以A，C都一定是正确的； △OCE和△ODE都是直角三角形，且CE=DE，CO=DO（都是半径）， 因此这两个直角三角形一定全等（HL），所以D也是正确的答案。 既然A，C，D都一定是正确的，那么唯一可能错误的就只能选B了。 【一题多解】根据题意，整个图形关于直线AB对称，所以A，C，D中的相应元 素都关于直线AB对称，也就是说它们都能重合，所以A，C，D这三个结 论都是正确的。 【错点】你可能会说：当∠COD=120°时，AE=OE同样可以正确， 换句话说：选项B并不是“一定错误”的，因此，本题不存在“一定错误”的 选项。 这话很对！ 但是（问题往往出现在这两个字），中考是选拔性考试，只能按照评分 标准来给你评分，你没有和他们讲道理的机会，而分数决定了你的前途 。所以，在这样的情况下，你只能选择唯一错误、但并不是“一定错误” 的选项。 【星级】★★ 4．（3分）（2015•广元）一元一次不等式组 的解集中，整数解的个 数是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 ．．．．【答案】C 【考点】本题考查了一元一次不等式组的解法 1【解答】解这个不等式组，可以得到 x≤5， 2在这个范围内的整数有0，1，2，3，4，5，一共有这6个，所以选C。 【错点】一是“ ≤5”中也包含了“5”本身，但在“ x 5 ”中并不包含5； 另一个是从0到5的这几个连续整数中，一共有6个数，而不是5个数。 【星级】★★ x 5．（3分）（2015•广元）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形 的边数为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 ．．．．【答案】B 【考点】本题考查了多边形内角和与外交和 【考点】 边形（ ≥3）的内角和为180(n 2) ，任何凸多边形的外角和都是3 n n 60°。 【解答】设这个多边形的边数是 ，那么内角和是180(n 2) ，外角和是360° n，根据题意，有：180(n 2) 2360 ，所以n 6 。【一题多解】可以假设每一个内角都相等（这并不影响我们它的求边数），那 么每一个内角都是外角的2倍；而同一顶点上的内角和外角互补，所以 每一个内角都是120°，这样的多边形只能是六边形。 【错点】忘记多边形内角和的求法，忘记多边形外角和是360° 【星级】★★ 6．（3分）（2015•广元）一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°．若 设∠1=x°，∠2=y°，则可得到的方程组为（ ） A B．．D C ．．【答案】D 【考点】本题考查了补角和余角的概念，和方程思想的运用 【考点】两角之和等于90°，称这两个角互余；平角等于180° A【解答】∠1比∠2大50°，也就是说∠1=∠2+50°，所以 ， ； C∠1与∠2互余，也就是∠1+∠2=90°，所以 B，这样，只有D是正确的。 【错点】1）∠1与∠2之间的大小关系；2）搞错余角与补角的概念 【星级】★★ 7．（3分）（2015•广元）下列说法正确的是（ ） A ． B ．为了解我国中学生的体能情况，应采用普查的方式 若甲队成绩的方差是2，乙队成绩的方差是3，说明甲队成绩比乙队成绩稳 定 C ． D ．明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨 一组数据4，6，7，6，7，8，9的中位数和众数都是6 【答案】B 【考点】本题考查了统计数据中的相关统计量的概念和意义 【解答】如果采用普查的方式来了解全国中学生体能情况的话，不仅数据量过 于庞大，而且也没有必要，所以A排除； 方差所反映的，是样本数据组的“整齐性”情况，方差越小，说明越“整齐 ”，甲队成绩的方差比乙队成绩的方差小，所以甲队比乙队成绩要稳定 ，因此B正确； 既然概率是99%（不等于1），那么它就不是必然事件，还是一个随机事 件，所以“明天不下雨”的可能性还是存在的，C错误； 这组数据的中位数是6.5,而不是6，所以D错。 【错点】采集数据的方式要根据样本容量来确定； 当数据个数是偶数时，中位数等于最中间两个数的算术平均数（在本题 中，就是 （6+7）÷2=6.5） 【星级】★★ 8．（3分）（2015•广元）当0＜x＜1时，x， ，x2的大小顺序是（ ） ＜x＜x2 x＜x2＜ x2＜x＜ ＜x2＜x A BCD．．．．【答案】C 【考点】本题考查了实数大小的比较 111【解答】取 x 时， 2 ，x2 ，此时，A，B，D都 2×4不对，所以唯一可能的答案只能是C了。 1【一题多解】构造三个函数： y1 x ，y2 ，y3 x2 x，画出它们的图象如图。 1由图象知：当0 x 1时， y2 对应的图形位置在最上方， y1 x 其x次， y3 x2 在最下方，也就是说 2 最大， 1 居中， y3 最小，所以是 y y 1×2 x 。x【星级】★★★ 9．（3分）（2015•广元）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90° ，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移 ，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（ ） A 4 B 8 C 16 D 8 ．．．．【答案】C 【考点】本题考查了直角坐标系，一次函数的图象和性质，勾股定理，平行四 边形的面积计算 【思路】既然是平移，那么其平移过程中扫过的区域就是 一个平行四边形，这个平行四边形的底边长就是点 C（或点B）走过的路径的长；而这个平行四边形的 高，就是点C到 轴的距离，也就是CA的长。 x【解答】由A（1，0），B（4，0），则AB=3， Rt△ABC中，因为AB=3，BC=5，所以AC=4，则C（1，4）， 当点C落在直线 y 2x 6 上点D时，因为CD∥ 轴，所以 y 4， x而点D在直线 y 2x 6 上，可求得D（5，4）， ∴CD=4， ∴S□BCDE=CD·AC=16 【星级】★★★ 10．（3分）（2015•广元）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发 ，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y 关于x的函数大致图象是（ ） A BCD．．．．【答案】D 【考点】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，相似形的性质 【解答】当点P在线段AB上时， 从0变化到3，此时，点D到直线PA的距离就 是线段AD的长。也就是说：当0≤ ≤3时， y 4，那么排除A； 当点P运动到达点C时，AP为矩形的对角线，可求得其长为5。 当点P在由点B运动到点C时， 由3变化到5， 如果记点D在直线AP上的射影为E，那么容易证明△APB∽△DAE， xxx3xAB AP 12 则有 ，也就是 ， ∴ y DE AD y4x12 即当3≤ 选D。 x≤5时， y ，符合这一特征的有A和D，而A已被排除，所以 x【星级】★★★★ 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（2015•广元）一组数据10，13，9，16，13，10，13的众数与平 均数的和是 25 ． 【答案】25 【考点】本题考查了众数与平均数的概念 【解答】这一组数据中的众数是13，求得平均数是12，它们的和是25 【星级】★★ 12．（3分）（2015•广元）若第二象限内的点P（x，y）满足|x|=3，y2=25， 则点P的坐标是 （﹣3，5） ． 【答案】（-3，5） 【考点】本题考查了平面直角坐标系和解方程 【解答】由 x 3，得 x 3； 由y2 25，得 y 5 ，y y 0，所以 x 3 y 5 因为点P（ ， ）在第二象限，所以x 0， ， x，所以P（-3，5）。 【星级】★★ 13．（3分）（2015•广元）一个等腰三角形两边的长分别为2cm，5cm，则它 的周长为 12 cm． 【答案】12 【考点】本题考查了三角形的基本性质 【考点】三角形两边之和大于第三边 【解答】因为已知等腰三角形的两边，所以三边应该是2，2，5或2，5，5， 但是因为三角形两边之和大于第三边，2，2，5不能构成三角形的三条 边， ∴三边长为2cm，5 cm，5 cm， 则周长为12 cm。 【错点】忽视了“三角形两边之和大于第三边” 【星级】★★ 14．（3分）（2015•广元）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点， 点C是 的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD， 分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=G D；③点P是∠ACQ的外心，其中正确结论是 ②③ （只需填写序号）． 【答案】②，③ 【考点】本题考查了直角三角形两锐角之间的关系； 圆周角、弦切角及其它们之间的相互关系；转化的思想 【解答】①从图中我们可以看到：如果把点D向右移动，那么D的位置越来越 低，也就是∠BAD随着点D的右移而减小； 因为点C是 的中点，所以在D向右移动的过程中，点C也随之向右、向 上移动，那么∠ABC越来越大，所以①错误； ②GP=GD是否成立，只要看∠1=∠2是否正确（如图）。 连结BD，因为点C是 的中点，那么 因为AB是直径，所以∠ACB=∠ADB=90°， 则∠5+∠CAE=90°， ，所以∠5=∠6=∠4， 又因为CE⊥AB，所以∠3+∠CAE=90°， 所以∠3=∠5； ∠1是△ACP外角，所以∠1=∠3+∠4=∠5+∠5=2∠5； 因为GD切半圆于点D，所以∠2=∠ABD=∠5+∠6=2∠5， 所以，∠1=∠2，则GP=GD，也就是②正确； ③由AB是直径，则∠ACQ=90°，如果能说明P是斜边AQ的中点，那么P也 就是这个直角三角形外接圆的圆心了。 Rt△BQD中，∠BQD=90°-∠6， Rt△BCE中，∠8=90°-∠5， 而∠7=∠BQD，∠6=∠5， 所以∠8=∠7， 所以CP=QP； 由②知：∠3=∠5=∠4，则AP=CP； 所以AP=CP=QP，则点P是△ACQ的外心， 所以③成立。 【方法规律】通过第三方媒介搭桥，从而说明两个量相等，这是证明两个元素 相等的常用的策略。 【星级】★★★★ 15．（3分）（2015•广元）从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中抽取一个数， 作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值． 若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ﹣2 ． 【答案】-2 【考点】本题考查了一元二次方程实数根的判别式，和正比例函数的图象与性 质【考点】正比例函数 y kx(k 0) 的图象为过原点的一条直线，且当 k 0 ，该直线位于一、三象限； 时一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 当b2 4ac ≥0时，该方程有两个实数 根。 【解答】函数 y (5 m2 )x 的图象经过第一、三象限，那么有5 m2 0 逐一验证， 可取0，-1，-2； 一元二次方程(m 1)x2 mx 1 0 有实数根，那么 ，mm 1 0 ，m2 4(m 1) 0 逐一检验， 综上所述， mm可取-2，-3； 可取的值只有-2。 【错点】关于 x的方程(m 1)x2 mx 1 0 是一元二次方程，那么首先必须保 证其二次项系数(m 1) 不为0，其次才是考虑根的判别式的值不小于0； 在其它场合，当看到方程(m 1)x2 mx 1 0 时，不要其所当然地就认 为它一定是一元二次方程，因为在 m 1 0时，它是一元一次方程； 同样的，在看到函数 y (5 m2 )x 时，它也未必是正比例函数， 本题中，因为有“函数 y (5 m2 )x 的图象经过第一、三象限”这一条件 ，首先必须想到它一定是正比例函数（一次函数），那么就必须保证 5 m2 0 另一个方面，在本题中，因为 这就保证了5 m2 0 ，也就是说它一定是正比例函数。 【星级】★★★ ；m的值是从给定的几个有理数当中取值， 三、解答题（共9小题，满分75分） 16．（7分）（2015•广元）计算：（2015﹣π）0+（﹣ ）﹣1+| ﹣1|﹣3tan3 0°+6 ．【考点】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值 1an 1【考点】任何一个不为0的数的0次方都等于1； an ( )n ；a3当a 0时， a a ； tan30°= 333【解答】原式=1 (3) (2 3) 3 6 33=1 3 2 3 3 2 3= 2 3 1【错点】计算( )1 以及 3 2 时不要出错； 3如果忘记了tan30°的值是多少，可画一个有30°角的直角三角形临时推 算一下 【星级】★★ 17．（7分）（2015•广元）先化简：（ ﹣）÷ ，然后解答 下列问题： （1）当x=3时，求原代数式的值； （2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？ 【考点】本题考查了因式分解，分式的运算，代数式求值，解分式方程 2x(x 1) (x 1)(x 1) x(x 1) x 1 ] 2x xx 1 x【解答】解：原式= [=() (x 1)2 xx 1 x 1 xx 1 x 1 ==，x 1 xx 1 3 1 3 1 （1）当 x 3时，原式= =2； x 1 （2）要使原式的值为-1，也就是 1 ，x 1 则x 1 (x 1) ， ， x 0 但是当 x 0时，原式无意义， 所以原代数式的值不能等于-1。 【错点】解分式方程时，我们是通过将分式方程转化为整式方程来解决的，在 这个转化过程中，方程变形前后未知数的取值范围发生了变化，因此就 可能产生曾根，所以解分式方程为什么一定要检验； 同样的，在有分式参与的运算中，化简前后字母的取值范围也可能会发 生变化，这时你必须牢记字母的取值一定要保证变形前后的各环节中的 每一个代数式都有意义。 2×2 2x x2 1 x2 x x2 2x 1 x如在本题中，原代数式是 () ， 的取值必须 xx 1 保证 x2 1 0 x2 2x 1 0 ， ， x 1 0 （后两者包含于 x2 1 0 之中 ）， 也就是 x 1 ；x另一方面， 作为除式，它的值也不能为0，那么除了 x 1，还必 x 1 须有 x 0 ，x 1 x 1 但是在化简后的 导致错误。 中， x 0 这一条件限制被“取消”了，这就很容易 【星级】★★★★ 18．（7分）（2015•广元）求证：平行四边形的对角线互相平分（要求：根 据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）． 【考点】本题考查了平行四边形的定义，平行线的性质，三角形全等的判定， 命题的解读能力 【考点】两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【解答】已知：四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC， O是AC和BD的交点， 求证：AO=CO，DO=BO。 证明：∵AB∥CD，∴∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO（两直线平行，内错角相 等） 同样的，有∠DCA=∠BAC， DAO BCO 在△ADC和△CBA中， ∵ AC CA ，DCA BAC ∴△ADC≌△CBA（ASA） ∴AD=CB； DAO BCO 在△ADO和△CBO中，∵ AD BC ADO CBO ∴△ADO≌△CBO（ASA） ∴AO=CO，DO=BO。 【错点】“对边相等”和“对角线互相平分”，是我们所熟知的平行四边形的性质 ，正因为太熟悉，所以反而可能为我们所忽视。 本题中，“AD=CB”可否直接由“平行四边形对边相等”来获得而少证一次 形全等？个人认为不妥！ 因为本题是要我们证明平行四边形对角线互相平分这一我们所熟知的性 质，如果直接用“对边相等”这一性质，恐有失分的危险。 在本题中，解读命题本身倒是难点。 【星级】★★★ 19．（8分）（2015•广元）图1是某中学九年级一班全体学生对三种水果喜欢 人数的频数分布统计图，根据图中信息回答下列问题： （1）九年级一班总人数是多少人？ （2）喜欢哪种水果人数的频数最低？并求出该频率； （3）请根据频数分布统计图（图1）的数据，补全扇形统计图（图2）； （4）某水果摊位上正好只摆放有这三种水果出售，王阿姨去购买时，随机购 买其中两种水果，恰好买到樱桃和枇杷的概率是多少？用树状图或列表说明． 【考点】本题考查了统计图的绘制，概率 【思路】要求所求的概率，只要画出树状图或列表即可 【解答】（1）9+21+30=60，所以该班共有60人； 9（2）从图1可以看出，喜欢香蕉的频数最低，其频率为 ，也就是0.15 60 ；（3）补全扇形统计图如图2； （4）所有可能的结果如下表： 第1种 第2种 第3种 香蕉 香蕉 枇杷 樱桃 樱桃 枇杷 由表知：王阿姨恰好买到樱桃和枇杷的概率是1/3。 【一题多解】一共有3种水果，要从其中挑选2种，那么剩下的第三种就是留下 不挑选的， 从3种水果中留下1种的概率为1/3。 【星级】★★ 20．（8分）（2015•广元）某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看 台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手A B及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的低端分别为D 、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）． （1）求点D与点C的高度差DH； （2）求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC的长）． 【考点】本题考查的第解直角三角形 33【解答】（1）DH= EF= 1.6 =1.2（米），所以DH为1.2米； 44（2）连结CD，∵ ，∴四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，AB∥DC， ∴∠CDH=∠BAD=66.5°， DH 1.2 Rt△CDH中， cos66.5 ， 0.4， ∴CD≈3，即AB≈3， CD CD ∴=AD+AB+BC≈0.8+3+0.8=4.6（米），即所用材料总长度约4.6米。 【星级】★★ 21．（8分）（2015•广元）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/ 小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米的 时候就造成交通堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/ 千米，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流 密度x的一次函数． （1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度； （2）在某一交通时段，为使大桥上的车流书店大于60千米/小时且小于80千米 /小时，应把大桥上的车流密度控制在什么范围内？ 【考点】本题考查了一次函数的性质 【解答】（1）根据题意，当20≤ ≤220时，车流速度 是车流密度 的一次函 x v x 数， 所以设v ax b ；∵当 x 20 时，v 80； 而当 x 220 时，v 0 ；20a b 80 220a b 0 252∴， 求得a ，b 88 ， ∴v x 88 ，5则当 x 100时， 2v 100 88 48，即此时车流速度为48千米/小时。 522（2）当60≤ v≤80时，也就是60≤ x 88≤80， 则-28≤ x≤-8， 5570≥ ≥20， ∴20≤ ≤70， xx即车流密度应控制在20辆/千米到70辆/千米之间。 【一题多解】（2）当v 60 时， x 70； 当v 80时， x 20 ，2而函数v x 88随着 x的增大而减小， 5所以当60≤ 【星级】★★★ v≤80时，20≤ x≤70。 22．（9分）（2015•广元）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁 丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法 正确吗？请说明理由． 【考点】本题考查了二次函数的性质 【解答】（1）设其中一段的长度为 cm，两个正方形面积之和为 x s cm2， x2 x40 x 2则s ( )2 ( )，s 5x 100（其中0 x 40 ）， 448×2 当，s 58时，58 5x 100，解这个方程，得 x1 12， x2 28 8∴应将之剪成12cm和28cm的两段； x2 （2）两正方形面积之和为48时， 48 5x 100 ， 8×2 40x 416 0 ，∵(40)2 41 416 64 0 ， ∴该方程无实数解， 也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确。 1【一题多解】（2）将函数改写为 s (x 20)2 50 ，8则有函数的最小值为 s最小 50 ，所以李明的看法正确。 【错点】凡是从实际背景中建立起来的数学模型，首先就要限定变量（或未知 数）取值的范围，因为接下去的一切讨论，都必须在这个范围内进行。 【星级】★★★ 23．（9分）（2015•广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作C D⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA= ，求⊙O的半径． 【思路】（1）要想说明BC是切线，自然就想到造半径OB，只要OB与BC垂直 即可； 当OB与BC垂直时，∠ABO与∠CBE互余，而∠ABO=∠BAO， 在Rt△AED中，∠EAD（也就是∠BAO）又是和∠AED互余， 如果能有∠AED=∠CBE，那么问题就解决了； （2）∠ABF和∠AOF所对的弧是同一条弧，可否从同弧所对的圆周角和 圆心角之间的关系去考虑？ （3）已知条件中有CD和BE，都与△CBE相关，这就提示我们：可否将问 题印向△CBE方向转化？ △AED中，除了有DE=CD- CE外，还有sinA的值，那么我们必然就想到 ：能否在△CBE中构造出一个与△AED相似的 三角形出来？ 【解答】（1）连结OB，则有∠ABO=∠BAO， Rt△AED中，∠BAO+∠AED=90°， 而∠AED=∠CEB，∴∠ABO+∠CEB=90°， △CEB中，∵CE=CB， ∴∠CBE=∠CEB， 又∵∠ABO+∠CEB=90°， ∴∠ABO+∠CBE=90°，即BC⊥OB， ∴BC是⊙O的切线； （2）分别连结AF，BF和OF， ∵D是AO中点，且DC⊥AO，∴直线DC是线段OA的垂直平分线， 而点F在DC上，∴AF=OF（线段中垂线上的点到线段两端点的距离相 等） △AOF中，∵AF=OF=OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF=60°， 1∴∠ABF= ∠AOF=30°（圆周角等于同弧所对圆心角的一半）； 21（3）取BE中点G，则EG= BE=5，连结CG，∵CE 2=CB，∴CG⊥BE（如图2）， △CEG和△AED中， ∵∠CGE=90°=∠ADE，∠CEG=∠AED， ∴△CEG∽△AED，∴∠ECD=∠A， EG CE 5 sin ECG sin A ， 即 13 55Rt△CEG中， ，∴CE=13， CE 13 则DE=CD-CE=15-13=2，CG= CE2 EG2 132 52 12 ，EG CG 5212 24 5∵△CEG∽△AED， ∴ ，， ∴AD= ，ED AD AD 48 48 而D是AO中点，∴AO=2AD= ，即⊙O的半径为 。55【星级】★★★★ 24．（12分）（2015•广元）如图，已知抛物线y=﹣ （x+2）（x﹣m）（m＞ 0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧． （1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题： ①求出△ABC的面积； ②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标； （3）在第四现象内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三 角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【考点】本题考查了点与坐标，相似三角形性质，二次函数的图象和性质。 1【解答】（1）抛物线过点G（2，2）时， (2 2)(2 m) 2 ， ； m 4 m1（2）在（1）的条件下， y (x 2)(x 4) ，4①则A（-2，0），B（4，0），C（0，2），则AO=CO=2，AB=6， 121∴S△ABC =AB·CO= ×6×2=6 2②求得抛物线对称轴为直线： x 1 ，点C关于的对称点为D（2，2）， 连结AD，则AD与直线的交点便为所求点H（如图1）。 1∵A（-2，0），D（2，2），∴求得线段AD所在直线为 y x 1 ，233当x 1时， y ， ∴H（1， ）； 221（3）根据题意，求得 y (x 2)(x m)与坐标轴的交点分别为 mA（-2，0），B（ m，0），C（0，2）， 则AO=CO=2，BO= m m，AB= m (2) m 2 在△ABM中，∠ABM是钝角；△ABC中，∠CAB和∠CBA都是锐角， ∴如果△ABM与△ABC要相似，只能是∠ABM=∠ACB。 Rt△ACO中，∵AO=2=CO， ∴∠CAB=45°， ③当△ABM∽△ACB时，∠BAM=∠CAB=45°， 记AM与 2），求得直线AE： y x 2 那么点M为直线AE与抛物线的交点。 y轴交点为E，则有E（0，- ，1y (x 2)(x m) 解方程组 ，求得M（2m ， ） 2m 2 my x 2 作点M到 x轴的垂线段MN，则N（2m ，0），AN=MN= 2m +2， ∴AM= ∵△ABM∽△ACB，∴AB:AC=AM:AB， AB2=AC•AM， AO= 2 2，∴(m 2)2 2 2 2 2(m 1) (m 2)2 8，∵ m 0 ，∴ m 2 2 2 ④当△ABM∽△BCA时，AB:BC=AM:BA=BM:AC，AB2=BC•AM， 2AN= 2 2(m 1)， 而AC= 2，；Rt△BCO中，BO= m，CO=2，∴BC2= BO2+CO2= m2 4 当△ABM∽△BCA时，∠CBA=∠BAM，∴CB∥AM， 则直线AM可由直线BC平移获得， 由B（ m，0），C（0，2），可 2求得直线BC： y x 2 ，m平移直线BC，使之过点A（- 2，0），则可得直线AM： 2y (x 2) ，m解方程组 1y (x 2)(x m) m2，y (x 2) m2求得M（ m 2 ，(m 4) ）， m2记点M到 x轴的垂线段为MN，则N（ m 2 ，0），MN= (m 4) ， mAN= m 4 ，4m2 (m 4)2 (m2 4) AM2=AN2+MN2=(m 4)2 m 4 (m 4)2 ，m2 AM= m2 4 ，m∵AB2=BC•AM， m 4 mm 4 m(m 2)2 m2 4 m2 4 (m2 4) ，m3 4m2 4m 16 m(m 2)2 16 16 (m 2)2 (m 2)2 ，mmm16 ∴m不存在。 0 ，此方程无实数解，则在该种情况下，这样的 m综合③，④，这样的 m只能是 2 2 2。 【星级】★★★★★
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